首先 $A\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，故 $\boldsymbol{0}\in W$，$W$ 非空且是 $\mathbb{C}^n$ 的子集。$\forall\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W$ 和 $\mu,\lambda\in\mathbb{C}$：由矩阵运算的线性性（先修知识）

$$A(\mu\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y})=\mu A\boldsymbol{x}+\lambda A\boldsymbol{y}=\mu\boldsymbol{0}+\lambda\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0},$$

故 $\mu\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y}\in W$，即 $W$ 对线性运算封闭，从而是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间，进而是 $\mathbb{C}^n$ 的子空间。

最快判断。$W$ 经过原点，$S$ 不经过原点，于是 $S$ 不含零向量，直接排除。但「经过原点」只是必要条件：它替 $W$ 洗清了嫌疑，却不足以证明 $W$ 合格，封闭性仍要验证。

完整判断。任取 $\boldsymbol u=(x_1,y_1)^{\mathrm T},\boldsymbol v=(x_2,y_2)^{\mathrm T}\in W$ 与 $a,b\in\mathbb R$，则

$$(ax_1+bx_2)+(ay_1+by_2)=a(x_1+y_1)+b(x_2+y_2)=0,$$

所以 $a\boldsymbol u+b\boldsymbol v\in W$，由子空间判定定理，$W$ 是子空间。

而 $S$ 不仅不含零向量，也不对数乘封闭：$(1,0)^{\mathrm T}\in S$，但 $2(1,0)^{\mathrm T}=(2,0)^{\mathrm T}\notin S$。

迁移结论。线性方程组 $A\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 的解集一定是子空间。当 $\boldsymbol b\ne\boldsymbol0$ 时，$A\boldsymbol x=\boldsymbol b$ 的解集一定不是子空间：先看它是否非空——若为空集，它本就不是子空间（子空间必须非空，见 定义 1.2.1）；若非空，取任一解 $\boldsymbol x_0$，由 $\boldsymbol 0=A\boldsymbol0\ne\boldsymbol b=A\boldsymbol x_0$ 知 $\boldsymbol0$ 不在解集里，同样不是子空间。两种情形都不是子空间，区别只在于是不是空集。

不是。因为 $\mathbb{R}^3$ 中的向量是 3 元有序数组，而 $\mathbb{R}^2$ 中的向量为 2 元有序数组，$\mathbb{R}^2$ 根本不是 $\mathbb{R}^3$ 的子集——子空间的第一个前提就不满足。

但「像」不等于「是」：集合 $W=\{(\alpha_1,\alpha_2,0)^{\mathrm T}\mid \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}\}$ 的每个元素都是三元数组，它确实是 $\mathbb{R}^3$ 的子集；尽管它「很像 $\mathbb{R}^2$」，$W$ 仍是 $\mathbb{R}^3$ 的一个（真）子空间：$\forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in W,\ k\in\mathbb{R}$，和与数乘的第三分量仍为 $0$，封闭性成立。

思考：$W'=\{(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{\mathrm T}\mid \alpha_i\in\mathbb{R}\ \text{且}\ \alpha_3\neq0\}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间吗？不是：零向量 $(0,0,0)^{\mathrm T}$ 的第三分量为 $0$，不在 $W'$ 中；且第三分量非零的两向量相加第三分量可能为零（如 $(0,0,1)^{\mathrm T}+(0,0,-1)^{\mathrm T}$），加法也不封闭。

(1) 是。$O\in W_1$。任取 $A,B\in W_1$、$k,l\in\mathbb{R}$，则 $(kA+lB)^{\mathrm T}=kA^{\mathrm T}+lB^{\mathrm T}=kA+lB$，故 $kA+lB\in W_1$。

(2) 是。同法：$(kA+lB)^{\mathrm T}=kA^{\mathrm T}+lB^{\mathrm T}=-(kA+lB)$。

(3) 是。对角矩阵的和、数乘仍是对角矩阵；$O$ 是对角矩阵。

(4) 是。$\operatorname{tr}(kA+lB)=k\operatorname{tr}A+l\operatorname{tr}B=0$；$\operatorname{tr}O=0$。

(5) 不是。取 $E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ 与 $E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$（以 $n=2$ 为例），两者秩均为 1，但 $E_{11}+E_{22}=I$ 秩为 2，不在集合中——加法不封闭。「秩恰为某值」的集合几乎从不是子空间，因为秩对加法既不单调、也不可加：只能保证次可加 $$\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B,$$ 等号一般不成立，两个方向都会失手——上例 $E_{11}+E_{22}=I$ 是变大（$1+1\to2$），而 $E_{11}+(-E_{11})=O$ 是变小（$1+1\to0$）。

边界提醒（$n=1$ 是例外）。$\mathbb R^{1\times1}$ 中除 $O$ 外全是秩 1 矩阵，此时 $R_1=\mathbb R^{1\times1}$ 确实是子空间——所以题干必须限定 $n\geq2$，答案「不是」才成立。这类「看起来对、在小维数翻转」的情形要养成顺手检查的习惯。

$\tilde S$ 中的元素是信号（双边序列），故 $\tilde S\subseteq S$（离散时间信号空间）。由于零序列（所有 $u_k=0$）满足方程，$\tilde S$ 非空。任取 $\{u_k\},\{v_k\}\in\tilde S$ 与 $\mu,\lambda\in\mathbb{R}$，对每个下标 $k$，利用方程的线性性逐项重排：

$$\begin{aligned}&(\mu u_{k+n}+\lambda v_{k+n})+a_{n-1}(\mu u_{k+n-1}+\lambda v_{k+n-1})+\cdots+a_0(\mu u_k+\lambda v_k)\\ =&\ \mu\big(u_{k+n}+a_{n-1}u_{k+n-1}+\cdots+a_0u_k\big)+\lambda\big(v_{k+n}+a_{n-1}v_{k+n-1}+\cdots+a_0v_k\big)\\ =&\ \mu\cdot 0+\lambda\cdot 0=0,\end{aligned}$$

即 $\{\mu u_k+\lambda v_k\}$ 仍是解，$\mu\{u_k\}+\lambda\{v_k\}\in\tilde S$。由判定定理（条件 (3)），$\tilde S$ 是信号空间 $S$ 的子空间，因而是线性空间。

取 $W_1=x$ 轴，$W_2=yOz$ 平面（两者都是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间）。则

· $W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{\theta}\}$（$x$ 轴与 $yOz$ 平面只交于原点）；

· $W_1+W_2=\mathbb{R}^3$（任一向量 $(a,b,c)=(a,0,0)+(0,b,c)$，第一项在 $x$ 轴、第二项在 $yOz$ 平面）；

· $W_1\cup W_2$ 不是子空间：$(1,0,0)\in W_1$、$(0,0,1)\in W_2$，但两者的和 $(1,0,1)$ 既不在 $x$ 轴也不在 $yOz$ 平面——「或」的集合对加法不封闭。

(1) 本课程默认在 $\mathbb{C}$ 上讨论（定义 1.2.2 取 $A\in\mathbb{C}^{m\times n}$），解向量允许取复分量；本小题矩阵是实矩阵，实数解已经够用。$N(A)$：解 $x_1+x_2=0$（两行同解，取一行即可），得 $x_2=t,\ x_1=-t$，

$$N(A)=\{t(-1,1)^{\mathrm T}\mid t\in\mathbb{C}\}=\operatorname{span}\{(-1,1)^{\mathrm T}\}.$$

$R(A)$：两列 $(1,2)^{\mathrm T}$ 与 $(1,2)^{\mathrm T}$ 相同，故 $R(A)=\operatorname{span}\{(1,2)^{\mathrm T}\}\subseteq\mathbb{C}^2$。顺带记下数字：$\dim N(A)=1$，$\dim R(A)=1$，两者之和恰为 $n=2$（这不是巧合，见 1.3.10 思考题解答）。

(2) $N(A)$：解齐次方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$。高斯消元（对第 3 行作 $r_3\leftarrow r_3-r_1-r_2$）：

$$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{\,r_3-r_1-r_2\,}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix},$$

得 $x_1=-x_3,\ x_2=-x_3$，取 $x_3=t$：$N(A)=\operatorname{span}\{(1,1,-1)^{\mathrm T}\}\subseteq\mathbb{C}^3$（$(1,1,-1)^{\mathrm T}$ 是 $(-t,-t,t)$ 的 $-1$ 倍，span 相同）。

$R(A)$：三列 $(1,0,1)^{\mathrm T},(0,1,1)^{\mathrm T},(1,1,2)^{\mathrm T}$，且第三列 = 第一列 + 第二列，前两列不成比例（「不成比例 ⟹ 线性无关」的严格说法在 1.3 节建立；此处先按这个朴素判据使用），故

$$R(A)=\operatorname{span}\{(1,0,1)^{\mathrm T},\ (0,1,1)^{\mathrm T}\}\subseteq\mathbb{C}^3.$$

再次记录：$\dim N(A)=1$，$\dim R(A)=2$，和为 $n=3$。

(1) 记 $\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3)^{\mathrm T}\neq\boldsymbol{0}$，则 $W=\{\boldsymbol{x}\mid \boldsymbol{n}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}=0\}=N(\boldsymbol{n}^{\mathrm T})$——它是「$1\times3$ 矩阵」$\boldsymbol{n}^{\mathrm T}$ 的零空间，由例 1.2.1 立得是子空间。

给出一组可直接使用的基。 若 $(n_1,n_2)\neq(0,0)$，取

$$\boldsymbol{u}=(-n_2,n_1,0)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{v}=(-n_1n_3,-n_2n_3,n_1^2+n_2^2)^{\mathrm T};$$

这两个向量不是猜出来的：$\boldsymbol u$ 是「在 $xOy$ 平面内、与 $\boldsymbol n$ 的水平分量 $(n_1,n_2)$ 垂直」的方向（故第三分量为 $0$），$\boldsymbol v$ 用来补足第三个方向。直接计算得 $\boldsymbol n^{\mathrm T}\boldsymbol u=\boldsymbol n^{\mathrm T}\boldsymbol v=0$，故 $\operatorname{span}\{\boldsymbol u,\boldsymbol v\}\subseteq W$。

反向包含（分三步，逐步收紧）。 任取 $\boldsymbol{x}\in W$：

1. 消掉第三分量：令 $t=\dfrac{x_3}{n_1^2+n_2^2}$，则 $\boldsymbol{w}=\boldsymbol{x}-t\boldsymbol{v}$ 的第三分量为 $0$；
2. 把 $\boldsymbol w$ 归入 $\boldsymbol u$ 的方向：因 $W$ 是子空间且 $\boldsymbol v\in W$，故 $\boldsymbol w\in W$，于是 $n_1w_1+n_2w_2=0$。若 $n_2\neq0$，取 $s=-w_1/n_2$，则 $w_1=-n_2s$，代入方程得 $w_2=n_1s$，即 $\boldsymbol{w}=s\boldsymbol{u}$（若 $n_2=0$，则 $n_1\neq0$，同理可解出 $\boldsymbol{w}=s\boldsymbol{u}$）；
3. 收口：于是 $\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{u}+t\boldsymbol{v}\in\operatorname{span}\{\boldsymbol u,\boldsymbol v\}$。

两个包含合起来即 $W=\operatorname{span}\{\boldsymbol u,\boldsymbol v\}$，且 $\boldsymbol u,\boldsymbol v$ 不成比例（第三分量一为 $0$、一为 $n_1^2+n_2^2\neq0$），这确是 $W$ 的一组基。

退化情形。 若 $n_1=n_2=0$（此时 $n_3\neq0$），则 $W=\operatorname{span}\{(1,0,0)^{\mathrm T},(0,1,0)^{\mathrm T}\}$，即 $xOy$ 平面。

(2) 不是。$\boldsymbol{\theta}$ 的第三分量是 $0\neq1$，零向量不在 $W''$ 中；从平移的角度看也一样：过原点的平面是子空间，整体平移离开原点之后就不再是。