本节回答一个问题：什么样的集合上可以做「加法」和「数乘」？ 讨论从熟悉的三维几何向量出发，把「实数 × 向量」逐步放宽到「数域 × 任意集合」，最终得到线性空间的公理化定义（定义 1.1.5 ），并建立一套判定集合是否为线性空间的标准流程。
先抓住一件事
本节的核心判断是：一套运算规则是否足够稳定，使加法、数乘的结果始终留在同一个集合内。 肯定一个空间要检查全部结构；否定它通常只需找到一条被破坏的规则。
集合 （set）是由确定的、互不相同的对象构成的整体。要讨论「什么样的集合上能做运算」，先把「集合」这个词本身说清楚：一个「整体」要算作集合，必须满足下面三条特性。
特性 含义 正反例
确定性 任一对象是否属于该集合，必须有明确标准 「接近 0 的实数」不是集合（「接近」无标准）；∥ x ∥ < 0.01 |x|\lt 0.01 ∥ x ∥ < 0.01 互异性 集合中的元素彼此不同，不允许重复 { 1 , 1 , 2 } {1,1,2} { 1 , 1 , 2 } { 1 , 2 } {1,2} { 1 , 2 } 无序性 元素没有先后顺序 { 1 , 2 , 3 } = { 3 , 1 , 2 } {1,2,3}={3,1,2} { 1 , 2 , 3 } = { 3 , 1 , 2 }
本章反复用到的是确定性 ：判定一个集合能否做运算，第一步总是问「某个对象属不属于它」有无明确标准。
但满足这三条的，还只是一堆东西。空间 （space）在数学中特指具有特殊性质及额外结构的集合 ，即「空间 = 集合 + 结构」：集合只负责装元素，空间还要求元素之间存在可以运算的关系。本章先为集合配上两种运算——加法与数乘；到 1.4 节再加入内积，线性空间才升级为能讨论长度、夹角与正交的几何空间。
以三维向量空间为例：取定空间中一点 O O O A A A O A → \overrightarrow{OA} O A A A A O A → \overrightarrow{OA} O A O A → \overrightarrow{OA} O A ( a 1 , a 2 , a 3 ) (a_1,a_2,a_3) ( a 1 , a 2 , a 3 ) 两重一一对应把「几何点」翻译成了「数组」 ——这就是解析几何的做法，也是「向量」最初的样子。
点与向量的两重一一对应
取定点 O 为起点、点 A 为终点得到向量 OA，于是点 A 与向量 OA 一一对应；建立坐标系后，向量 OA 又与三元有序数组 (a₁,a₂,a₃) 一一对应。两重对应把几何点翻译成数组。
x y z
O
A (a₁, a₂, a₃)
α
a₂ a₁
图 1-1 · 点 A、向量 O A → \overrightarrow{OA} O A ( a 1 , a 2 , a 3 ) (a_1,a_2,a_3) ( a 1 , a 2 , a 3 )
取定点 O 为起点、点 A 为终点得到向量 OA，于是点 A 与向量 OA 一一对应；建立坐标系后，向量 OA 又与三元有序数组 (a₁,a₂,a₃) 一一对应。两重对应把几何点翻译成数组。
把两重对应最右端的「有序数组」单独取出来作为研究对象，就得到本章最基本的角色。
定义 1.1.1 · n 维向量
由 n n n a 1 , a 2 , ⋯ , a n a_1,a_2,\cdots,a_n a 1 , a 2 , ⋯ , a n 有序数组 称为一个 n n n n n n ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} a 1 a 2 ⋮ a n n n n ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) n n n n n n n n n 分量 （components），其中 a i a_i a i i i i
设 α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T \boldsymbol{\alpha}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^{\mathrm T} α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T β = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T \boldsymbol{\beta}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^{\mathrm T} β = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R 加法 与数乘 两种运算：
α + β = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n ) , k α = ( k a 1 k a 2 ⋮ k a n ) , \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\ a_2+b_2\ \vdots\ a_n+b_n\end{pmatrix},\qquad k\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}ka_1\ ka_2\ \vdots\ ka_n\end{pmatrix}, α + β = a 1 + b 1 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n , k α = k a 1 k a 2 ⋮ k a n ,
即加法按分量相加、数乘把 k k k k < 0 k\lt0 k < 0 两个运算的结果仍是同维数组 ——结果跑不出这类数组之外，这正是下面「封闭性」的由来。
定义 1.1.2 · 向量空间 vector space
设 V V V n n n V V V 封闭 ，即 ∀ α , β ∈ V \forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V ∀ α , β ∈ V k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R α + β ∈ V \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V α + β ∈ V k α ∈ V k\boldsymbol{\alpha}\in V k α ∈ V V V V 向量空间 。
封闭性往往只差一个分量。下面两个集合几乎一样，结论却相反。
例 1.1.1
定义集合 V 1 = { ( 0 , a 2 , ⋯ , a n ) T ∣ a 2 , ⋯ , a n ∈ R } V_1=\left\{(0,a_2,\cdots,a_n)^{\mathrm T}\mid a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R}\right\} V 1 = { ( 0 , a 2 , ⋯ , a n ) T ∣ a 2 , ⋯ , a n ∈ R } V 1 V_1 V 1
解答 · 例 1.1.1
∀ α = ( 0 , a 2 , ⋯ , a n ) T , β = ( 0 , b 2 , ⋯ , b n ) T ∈ V 1 \forall\boldsymbol{\alpha}=(0,a_2,\cdots,a_n)^{\mathrm T},\ \boldsymbol{\beta}=(0,b_2,\cdots,b_n)^{\mathrm T}\in V_1 ∀ α = ( 0 , a 2 , ⋯ , a n ) T , β = ( 0 , b 2 , ⋯ , b n ) T ∈ V 1 ∀ k ∈ R \forall k\in\mathbb{R} ∀ k ∈ R
α + β = ( 0 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n ) ∈ V 1 , k α = ( 0 k a 2 ⋮ k a n ) ∈ V 1 , \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}0\\ a_2+b_2\\ \vdots\\ a_n+b_n\end{pmatrix}\in V_1,\qquad k\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\ ka_2\\ \vdots\\ ka_n\end{pmatrix}\in V_1, α + β = 0 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n ∈ V 1 , k α = 0 k a 2 ⋮ k a n ∈ V 1 ,
所以 V 1 V_1 V 1 定义 1.1.2 知，V 1 V_1 V 1
例 1.1.2
集合 V 2 = { ( 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T ∣ a 2 , ⋯ , a n ∈ R } V_2=\left\{(1,a_2,\cdots,a_n)^{\mathrm T}\mid a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R}\right\} V 2 = { ( 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T ∣ a 2 , ⋯ , a n ∈ R }
解答 · 例 1.1.2
∀ α = ( 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T , β = ( 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T ∈ V 2 \forall\boldsymbol{\alpha}=(1,a_2,\cdots,a_n)^{\mathrm T},\ \boldsymbol{\beta}=(1,b_2,\cdots,b_n)^{\mathrm T}\in V_2 ∀ α = ( 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T , β = ( 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T ∈ V 2 k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R
α + β = ( 2 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n ) ∉ V 2 , k α = ( k k a 2 ⋮ k a n ) ∉ V 2 ( 当 k ≠ 1 ) , \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}2\\ a_2+b_2\\ \vdots\\ a_n+b_n\end{pmatrix}\notin V_2,\qquad k\boldsymbol{\alpha}=\begin{pmatrix}k\\ ka_2\\ \vdots\\ ka_n\end{pmatrix}\notin V_2\ (\text{当 } k\neq1), α + β = 2 a 2 + b 2 ⋮ a n + b n ∈ / V 2 , k α = k k a 2 ⋮ k a n ∈ / V 2 ( 当 k = 1 ) ,
相加后第一个分量变成 2，数乘后变成 k k k V 2 V_2 V 2
更有代表性的是用方程或不等式 给出的集合，这时要检验的是：条件在加法与数乘下能否保持。
例 1.1.A · 判定练习：先找零元
判断下列集合是否为 R \mathbb{R} R
(1) V 3 = { ( a 1 , ⋯ , a n ) T ∈ R n | a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 0 } V_3=\left\{(a_1,\cdots,a_n)^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^n\ \middle|\ a_1+a_2+\cdots+a_n=0\right\} V 3 = { ( a 1 , ⋯ , a n ) T ∈ R n a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 0 } V 4 = { ( a 1 , ⋯ , a n ) T ∈ R n | a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 1 } V_4=\left\{(a_1,\cdots,a_n)^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^n\ \middle|\ a_1+a_2+\cdots+a_n=1\right\} V 4 = { ( a 1 , ⋯ , a n ) T ∈ R n a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 1 } V 5 = { ( a 1 , a 2 ) T ∈ R 2 | a 1 ≥ 0 } V_5=\left\{(a_1,a_2)^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^2\ \middle|\ a_1\geq 0\right\} V 5 = { ( a 1 , a 2 ) T ∈ R 2 a 1 ≥ 0 }
解答 · 例 1.1.A
(1) 是。 任取 α , β ∈ V 3 \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V_3 α , β ∈ V 3 α + β \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} α + β 0 + 0 = 0 0+0=0 0 + 0 = 0 k α k\boldsymbol{\alpha} k α k ⋅ 0 = 0 k\cdot 0=0 k ⋅ 0 = 0 V 3 V_3 V 3 V 3 V_3 V 3 R n \mathbb{R}^n R n 超平面 」：由一个 线性方程刻画的 n − 1 n-1 n − 1 例 1.2.D 。）
(2) 不是。 最快的否决法：0 ⋅ α = θ 0\cdot\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} 0 ⋅ α = θ 0 ≠ 1 0\neq1 0 = 1 零向量不在 V 4 V_4 V 4 （V 4 V_4 V 4
(3) 不是。 对加法封闭（非负 + 非负 = 非负），但数乘不封闭：取 α = ( 1 , 0 ) T ∈ V 5 \boldsymbol{\alpha}=(1,0)^{\mathrm T}\in V_5 α = ( 1 , 0 ) T ∈ V 5 ( − 1 ) α = ( − 1 , 0 ) T ∉ V 5 (-1)\boldsymbol{\alpha}=(-1,0)^{\mathrm T}\notin V_5 ( − 1 ) α = ( − 1 , 0 ) T ∈ / V 5 这说明「只验证加法封闭」是不够的。
判定流程 · 「是不是向量空间」
否定 （任选其一即可）：① 集合不含零向量；② 找到两个具体元素，其和不在集合中；③ 找到一个元素与一个数，数乘积不在集合中。肯定 ：取「任意」元素与「任意」数（不能只取特殊值！），逐一验证加法、数乘封闭（若在更大的已知空间内讨论，封闭即够，理由见 1.2 节判定定理；若运算本身是新定义的，则须回到八条公理逐一验证，见例 1.1.3 ）。
在向量空间的定义里，「数乘」的「数」固定取自实数集 R \mathbb{R} R
定义 1.1.3 · 数域 field
设 F F F F F F 0 0 0 1 1 1 F F F 0 0 0 F F F 数域 。
基本例子。 有理数集 Q \mathbb{Q} Q R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C N \mathbb{N} N Z \mathbb{Z} Z N \mathbb{N} N 1 − 2 = − 1 ∉ N 1-2=-1\notin\mathbb{N} 1 − 2 = − 1 ∈ / N 0 0 0 Z \mathbb{Z} Z 1 ÷ 2 ∉ Z 1\div 2\notin\mathbb{Z} 1 ÷ 2 ∈ / Z
思考 · Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Q}\} Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q }
是。 下面逐条验证定义 1.1.3 。
解答 · 思考
含 0 与 1： 取 a = b = 0 a=b=0 a = b = 0 0 0 0 a = 1 , b = 0 a=1,b=0 a = 1 , b = 0 1 1 1
和、差封闭： ( a + b 2 ) ± ( c + d 2 ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) 2 (a+b\sqrt2)\pm(c+d\sqrt2)=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt2 ( a + b 2 ) ± ( c + d 2 ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) 2
积封闭： ( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2 (a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2 ( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2
商封闭： 设 a + b 2 ≠ 0 a+b\sqrt2\neq 0 a + b 2 = 0
c + d 2 a + b 2 = ( c + d 2 ) ( a − b 2 ) ( a + b 2 ) ( a − b 2 ) = a c − 2 b d + ( a d − b c ) 2 a 2 − 2 b 2 . \frac{c+d\sqrt2}{a+b\sqrt2}=\frac{(c+d\sqrt2)(a-b\sqrt2)}{(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)}=\frac{ac-2bd+(ad-bc)\sqrt2}{a^2-2b^2}. a + b 2 c + d 2 = ( a + b 2 ) ( a − b 2 ) ( c + d 2 ) ( a − b 2 ) = a 2 − 2 b 2 a c − 2 b d + ( a d − b c ) 2 .
只需说明分母 a 2 − 2 b 2 ≠ 0 a^2-2b^2\neq 0 a 2 − 2 b 2 = 0 a 2 = 2 b 2 a^2=2b^2 a 2 = 2 b 2 b ≠ 0 b\neq0 b = 0 ( a / b ) 2 = 2 (a/b)^2=2 ( a / b ) 2 = 2 a / b a/b a / b 2 \sqrt2 2 2 \sqrt2 2 b = 0 b=0 b = 0 a 2 = 0 a^2=0 a 2 = 0 a = 0 a=0 a = 0 a + b 2 = 0 a+b\sqrt2=0 a + b 2 = 0 p + q 2 p+q\sqrt2 p + q 2 p , q ∈ Q p,q\in\mathbb{Q} p , q ∈ Q
Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt2) Q ( 2 ) Q \mathbb{Q} Q R \mathbb{R} R Q ( i ) = { a + b i ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(i)=\{a+b i\mid a,b\in\mathbb{Q}\} Q ( i ) = { a + bi ∣ a , b ∈ Q } { a + b 2 3 } \{a+b\sqrt[3]{2}\} { a + b 3 2 }
现在把向量空间推广到一般情形，对照着放宽三处：
向量空间（定义 1.1.2 ） 一般线性空间（目标）
实数 R \mathbb{R} R 一般数域 F F F n n n 任意非空集合 V V V 数组加法、数组数乘 抽象的加法「+ + + ⋅ \cdot ⋅
三处放宽里，第三处最费思量：运算不再有现成公式，得自己规定，也就得自己保证它良定义。推广分两步走，次序不能颠倒——先让 V V V F F F V V V
定义 1.1.4 · 加群 additive group
在非空集合 V V V 加法 ，记为「+ + + ∀ α , β ∈ V \forall\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}\in V ∀ α , β ∈ V V V V 唯一 元素 α + β \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} α + β α \boldsymbol{\alpha} α β \boldsymbol{\beta} β
（1）交换律 ：α + β = β + α \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha} α + β = β + α 结合律 ：( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}) ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 零元素 θ ∈ V \boldsymbol{\theta}\in V θ ∈ V ∀ α ∈ V , α + θ = α \forall\boldsymbol{\alpha}\in V,\ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\alpha} ∀ α ∈ V , α + θ = α ∀ α ∈ V \forall\boldsymbol{\alpha}\in V ∀ α ∈ V 负元素 − α -\boldsymbol{\alpha} − α α + ( − α ) = θ \boldsymbol{\alpha}+(-\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\theta} α + ( − α ) = θ
则称 V V V ( V , + ) (V,+) ( V , + )
「加群」的来历。 「加群」（additive group）一词借自近世代数：把「一个集合配上一种运算，运算封闭、满足结合律、有单位元、每个元素有逆元」的整体称为群 ；运算还可交换的群称为交换群 。「加群」＝把运算记作加法、单位元记作 θ \boldsymbol{\theta} θ 拆成两段打包 ：加法四条说「V V V 不 需要任何进一步的群论知识——见到「加群」，回想这四条即可。
关于良定义。 定义中「都有 V V V 良定义 （well-defined）：结果只由元素本身决定，不依赖元素的写法。一个经典反例：在正分数集合上规定 a b ⊕ c d = a + c b + d \dfrac{a}{b}\oplus\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d} b a ⊕ d c = b + d a + c 1 2 \dfrac12 2 1 2 4 \dfrac24 4 2 同一个 元素，但
1 2 ⊕ 1 3 = 2 5 , 2 4 ⊕ 1 3 = 3 7 , \frac12\oplus\frac13=\frac25,\qquad \frac24\oplus\frac13=\frac37, 2 1 ⊕ 3 1 = 5 2 , 4 2 ⊕ 3 1 = 7 3 ,
结果随写法而变——这个「运算」不良定义，没有资格进入公理体系。
加法就位之后，轮到数乘。它把数域 F F F V V V
定义 1.1.5 · 线性空间 linear space
设 ( V , + ) (V,+) ( V , + ) F F F F F F V V V 数乘 ，使得 ∀ λ ∈ F , α ∈ V \forall\lambda\in F,\ \boldsymbol{\alpha}\in V ∀ λ ∈ F , α ∈ V V V V λ α \lambda\boldsymbol{\alpha} λ α λ α \lambda\boldsymbol{\alpha} λ α λ \lambda λ α \boldsymbol{\alpha} α
（1）数乘对加法的分配律 ：λ ( α + β ) = λ α + λ β \lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda\boldsymbol{\alpha}+\lambda\boldsymbol{\beta} λ ( α + β ) = λ α + λ β 数乘对数的加法的分配律 ：( λ + μ ) α = λ α + μ α (\lambda+\mu)\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}+\mu\boldsymbol{\alpha} ( λ + μ ) α = λ α + μ α 数乘结合律 ：( λ μ ) α = λ ( μ α ) (\lambda\mu)\boldsymbol{\alpha}=\lambda(\mu\boldsymbol{\alpha}) ( λ μ ) α = λ ( μ α ) 单位律 ：1 α = α 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} 1 α = α
则称 V V V F F F 线性空间 ，记为 ( V , + , ⋅ ) (V,+,\cdot) ( V , + , ⋅ ) V V V 向量 。当 F = R F=\mathbb{R} F = R 实线性空间 ；当 F = C F=\mathbb{C} F = C 复线性空间 。
读定义的三个要点。 ① 「唯一元素与之对应」意为运算封闭且良定义：两向量相加、数乘向量，结果必须仍在 V V V 八条公理 ，一律针对「任意」元素成立——验证时不能只代具体数值。③ 定义里「F F F 同一个集合，换一个数域，结论可能不同 （见例 1.3.1 与例 1.3.5 ）。
为什么第 (4) 条 1 α = α 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} 1 α = α
这些公理并非彼此独立。 例如加法交换律其实可由其余条款推出：由 ( 1 + 1 ) ( α + β ) = ( 1 + 1 ) α + ( 1 + 1 ) β = α + α + β + β (1+1)(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=(1+1)\boldsymbol{\alpha}+(1+1)\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\beta} ( 1 + 1 ) ( α + β ) = ( 1 + 1 ) α + ( 1 + 1 ) β = α + α + β + β ( 1 + 1 ) ( α + β ) = 1 ( α + β ) + 1 ( α + β ) = α + β + α + β (1+1)(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=1(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+1(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta} ( 1 + 1 ) ( α + β ) = 1 ( α + β ) + 1 ( α + β ) = α + β + α + β α + β = β + α \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha} α + β = β + α 1 α = α 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} 1 α = α ( V , + ) (V,+) ( V , + ) k ⋅ α ≡ θ k\cdot\boldsymbol{\alpha}\equiv\boldsymbol{\theta} k ⋅ α ≡ θ θ \boldsymbol{\theta} θ 1 α = θ ≠ α 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta}\neq\boldsymbol{\alpha} 1 α = θ = α α ≠ θ \boldsymbol{\alpha}\neq\boldsymbol{\theta} α = θ 1 1 1
八条公理只保证零元素、负元素存在 ，没有保证唯一；而 − α -\boldsymbol{\alpha} − α 0 0 0
注 1 · 基本性质
设 V V V F F F
（1）零向量是唯一的；k ∈ F k\in F k ∈ F α ∈ V \boldsymbol{\alpha}\in V α ∈ V 0 α = θ 0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} 0 α = θ ( − 1 ) α = − α (-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ( − 1 ) α = − α k θ = θ k\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta} k θ = θ k α = θ k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} k α = θ k = 0 k=0 k = 0 α = θ \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} α = θ
证
（1） 设 θ 1 , θ 2 \boldsymbol{\theta}_1,\boldsymbol{\theta}_2 θ 1 , θ 2 θ 1 + θ 2 = θ 1 \boldsymbol{\theta}_1+\boldsymbol{\theta}_2=\boldsymbol{\theta}_1 θ 1 + θ 2 = θ 1 θ 2 \boldsymbol{\theta}_2 θ 2 θ 1 + θ 2 = θ 2 \boldsymbol{\theta}_1+\boldsymbol{\theta}_2=\boldsymbol{\theta}_2 θ 1 + θ 2 = θ 2 θ 1 \boldsymbol{\theta}_1 θ 1 θ 1 = θ 2 \boldsymbol{\theta}_1=\boldsymbol{\theta}_2 θ 1 = θ 2
（2） 设 β , γ \boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\gamma} β , γ α \boldsymbol{\alpha} α α + β = θ = α + γ \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma} α + β = θ = α + γ
β = β + θ = β + ( α + γ ) = ( β + α ) + γ = θ + γ = γ , \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\beta}+(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma})=(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\theta}+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\gamma}, β = β + θ = β + ( α + γ ) = ( β + α ) + γ = θ + γ = γ ,
依次用了零元素定义、γ \boldsymbol{\gamma} γ β + α = α + β = θ \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\theta} β + α = α + β = θ
（3） 先证 0 α = θ 0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} 0 α = θ
0 α = ( 0 + 0 ) α = 0 α + 0 α , 0\boldsymbol{\alpha}=(0+0)\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}+0\boldsymbol{\alpha}, 0 α = ( 0 + 0 ) α = 0 α + 0 α ,
两边加上 0 α 0\boldsymbol{\alpha} 0 α θ = 0 α \boldsymbol{\theta}=0\boldsymbol{\alpha} θ = 0 α x = x + x x=x+x x = x + x k θ = θ k\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta} k θ = θ θ = 0 β \boldsymbol{\theta}=0\boldsymbol{\beta} θ = 0 β β \boldsymbol{\beta} β
k θ = k ( 0 α ) = ( k ⋅ 0 ) α = 0 α = θ . k\boldsymbol{\theta}=k(0\boldsymbol{\alpha})=(k\cdot 0)\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta}. k θ = k ( 0 α ) = ( k ⋅ 0 ) α = 0 α = θ .
最后证 ( − 1 ) α = − α (-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ( − 1 ) α = − α
α + ( − 1 ) α = 1 α + ( − 1 ) α = ( 1 + ( − 1 ) ) α = 0 α = θ , \boldsymbol{\alpha}+(-1)\boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}+(-1)\boldsymbol{\alpha}=(1+(-1))\boldsymbol{\alpha}=0\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta}, α + ( − 1 ) α = 1 α + ( − 1 ) α = ( 1 + ( − 1 )) α = 0 α = θ ,
即 ( − 1 ) α (-1)\boldsymbol{\alpha} ( − 1 ) α α \boldsymbol{\alpha} α ( − 1 ) α = − α (-1)\boldsymbol{\alpha}=-\boldsymbol{\alpha} ( − 1 ) α = − α
（4） 设 k α = θ k\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} k α = θ k ≠ 0 k\neq 0 k = 0 k k k F F F k − 1 k^{-1} k − 1
α = 1 α = ( k − 1 k ) α = k − 1 ( k α ) = k − 1 θ = θ . \boldsymbol{\alpha}=1\boldsymbol{\alpha}=(k^{-1}k)\boldsymbol{\alpha}=k^{-1}(k\boldsymbol{\alpha})=k^{-1}\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}. α = 1 α = ( k − 1 k ) α = k − 1 ( k α ) = k − 1 θ = θ .
故 k = 0 k=0 k = 0 α = θ \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\theta} α = θ
∎
注 2。 线性空间中的加法与数乘两种运算合称线性运算 。「线性」二字的一切后续展开（线性组合、线性子空间、线性相关性）都由这八条公理派生。
公理搭好了台子，接下来要回答一个具体问题：一个向量能不能由给定的几个向量拼出来？ 这就是线性组合与线性表示。
定义 · 线性组合 / 线性表示
设 V V V F F F α , α 1 , ⋯ , α n ∈ V \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n\in V α , α 1 , ⋯ , α n ∈ V k i ∈ F , i = 1 , ⋯ , n k_i\in F,\ i=1,\cdots,n k i ∈ F , i = 1 , ⋯ , n
α = k 1 α 1 + ⋯ + k n α n , \boldsymbol{\alpha}=k_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n, α = k 1 α 1 + ⋯ + k n α n ,
则称 α \boldsymbol{\alpha} α α 1 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α 1 , ⋯ , α n 线性组合 ，或者说 α \boldsymbol{\alpha} α α 1 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α 1 , ⋯ , α n 线性表示 。
几何上，线性组合就是「沿每个方向各走一段，再把终点相加」：
两个基向量张成平面
从原点出发的两个不共线向量，经过任意数乘和相加，可到达它们所张成平面中的任意点。
c₁α₁ c₂α₂
相加后的向量 α
系数取遍数域 → 张成整个平面
线性组合的几何读法： 先沿第一个方向走 c 1 c_1 c 1 c 2 c_2 c 2 span ( α 1 , α 2 ) \operatorname{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2) span ( α 1 , α 2 )
这里有两件事要记住。其一，θ \boldsymbol{\theta} θ k 1 = ⋯ = k n = 0 k_1=\cdots=k_n=0 k 1 = ⋯ = k n = 0 平凡表示 。其二，定义并不要求系数唯一——唯一性何时成立，是 1.3 节定理 1.3.1 要回答的问题。向量未必是数组，「表示」也就未必等于解方程组：下面的例子发生在矩阵空间里。
例 1.1.5 · 矩阵的线性表示
试判断矩阵 A 2 A^2 A 2 A A A I I I A = ( 1 1 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} A = ( 1 0 1 1 )
解答 · 例 1.1.5
先算出 A 2 A^2 A 2 待定系数法 找表示式：设 A 2 = x A + y I A^2=xA+yI A 2 = x A + y I x , y ∈ R x,y\in\mathbb{R} x , y ∈ R
A 2 = ( 1 1 0 1 ) ( 1 1 0 1 ) = ( 1 2 0 1 ) , x A + y I = ( x + y x 0 x + y ) . A^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\qquad xA+yI=\begin{pmatrix}x+y&x\\0&x+y\end{pmatrix}. A 2 = ( 1 0 1 1 ) ( 1 0 1 1 ) = ( 1 0 2 1 ) , x A + y I = ( x + y 0 x x + y ) .
比较得 x = 2 x=2 x = 2 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) x + y = 1 x+y=1 x + y = 1 y = − 1 y=-1 y = − 1
2 A − I = ( 2 2 0 2 ) − ( 1 0 0 1 ) = ( 1 2 0 1 ) = A 2 . 2A-I=\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=A^2 . 2 A − I = ( 2 0 2 2 ) − ( 1 0 0 1 ) = ( 1 0 2 1 ) = A 2 .
因此 A 2 A^2 A 2 A A A I I I A 2 = 2 ⋅ A + ( − 1 ) ⋅ I A^2=2\cdot A+(-1)\cdot I A 2 = 2 ⋅ A + ( − 1 ) ⋅ I
思考 · A 3 A^3 A 3 A k A^k A k A n A^n A n
第一层。 A 3 A^3 A 3 A , I A,I A , I A 3 = A ( 2 A − I ) = 5 A − 2 I A^3=A(2A-I)=5A-2I A 3 = A ( 2 A − I ) = 5 A − 2 I A 3 = A ( 2 A − I ) = 2 A 2 − A = 2 ( 2 A − I ) − A A^3=A(2A-I)=2A^2-A=2(2A-I)-A A 3 = A ( 2 A − I ) = 2 A 2 − A = 2 ( 2 A − I ) − A
A 3 = 3 A − 2 I ( 直接验证： A 3 = ( 1 3 0 1 ) = 3 ( 1 1 0 1 ) − ( 2 0 0 2 ) ) . A^3=3A-2I\qquad\Big(\text{直接验证：}A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\Big). A 3 = 3 A − 2 I ( 直接验证： A 3 = ( 1 0 3 1 ) = 3 ( 1 0 1 1 ) − ( 2 0 0 2 ) ) .
第二层。 对任意自然数 k k k A k A^k A k A , I A,I A , I
A k = k A − ( k − 1 ) I , k = 1 , 2 , 3 , ⋯ A^k=kA-(k-1)I,\qquad k=1,2,3,\cdots A k = k A − ( k − 1 ) I , k = 1 , 2 , 3 , ⋯
对 k k k k = 1 k=1 k = 1 A 1 = 1 ⋅ A − 0 ⋅ I A^1=1\cdot A-0\cdot I A 1 = 1 ⋅ A − 0 ⋅ I A k = k A − ( k − 1 ) I A^k=kA-(k-1)I A k = k A − ( k − 1 ) I
A k + 1 = A ⋅ A k = k A 2 − ( k − 1 ) A = k ( 2 A − I ) − ( k − 1 ) A = ( k + 1 ) A − k I , A^{k+1}=A\cdot A^k=kA^2-(k-1)A=k(2A-I)-(k-1)A=(k+1)A-kI, A k + 1 = A ⋅ A k = k A 2 − ( k − 1 ) A = k ( 2 A − I ) − ( k − 1 ) A = ( k + 1 ) A − k I ,
命题对 k + 1 k+1 k + 1 k k k A k A^k A k A A A I I I
第三层。 任意方阵 A n A^n A n A n − 1 , ⋯ , A , I A^{n-1},\cdots,A,I A n − 1 , ⋯ , A , I 答案：是 ，这正是著名结论「任意 n n n
课程预告
「任意 n n n A A A n n n A n A^n A n A n − 1 , ⋯ , A , I A^{n-1},\cdots,A,I A n − 1 , ⋯ , A , I Cayley–Hamilton 定理 ，完整证明见附录 A.5 。本讲只要求：对具体的 2 × 2 2\times2 2 × 2
下列例子今后反复引用，需要逐个确认「元素是什么、数域是什么、运算是什么」。它们说明：线性空间的元素完全不必是「数组」。
例 1.1.4 · 常见的线性空间
（1）向量空间 R n \mathbb{R}^n R n n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 是线性空间：按分量加法与数乘后仍得到 n n n
（2）复矩阵空间 C m × n \mathbb{C}^{m\times n} C m × n 设 V V V C \mathbb{C} C m × n m\times n m × n V = { ( a i j ) m × n ∣ a i j ∈ C } V=\{(a_{ij})_{m\times n}\mid a_{ij}\in\mathbb{C}\} V = {( a ij ) m × n ∣ a ij ∈ C } V V V C \mathbb{C} C C m × n \mathbb{C}^{m\times n} C m × n R m × n \mathbb{R}^{m\times n} R m × n 「向量」在这里是一个矩阵。
（3）多项式空间 P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 一元多项式集合
P n ( x ) = { ∑ i = 0 n a i x i | a i ∈ C } P_n(x)=\left\{\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\ \middle|\ a_i\in\mathbb{C}\right\} P n ( x ) = { i = 0 ∑ n a i x i a i ∈ C }
（次数不超过 n n n C \mathbb{C} C 「向量」在这里是一个多项式。 要小心的是「次数恰好等于 n n n 不是 线性空间——不含零多项式，两个 n n n x n + ( − x n + 1 ) = 1 x^n+(-x^n+1)=1 x n + ( − x n + 1 ) = 1
（4）函数空间链： 在区间 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] S 1 S_1 S 1 S 2 S_2 S 2 S 3 S_3 S 3 S 4 S_4 S 4 S 5 S_5 S 5
S 1 ⊂ S 2 ⊂ S 3 ⊂ S 4 ⊂ S 5 , S_1\subset S_2\subset S_3\subset S_4\subset S_5, S 1 ⊂ S 2 ⊂ S 3 ⊂ S 4 ⊂ S 5 ,
且这五个集合均为 R \mathbb{R} R
（5）离散时间信号空间 S S S 设 S S S { x k } \{x_k\} { x k } { x k ∣ x k ∈ R , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ } \{x_k\mid x_k\in\mathbb{R},\ k=0,\pm1,\pm2,\cdots\} { x k ∣ x k ∈ R , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ } { x k } + { y k } = { x k + y k } \{x_k\}+\{y_k\}=\{x_k+y_k\} { x k } + { y k } = { x k + y k } c { x k } = { c x k } c\{x_k\}=\{cx_k\} c { x k } = { c x k } S S S R \mathbb{R} R 「向量」在这里是一整个信号。
空间 「向量」是…… 数域 维数（1.3 节揭晓）
R n \mathbb{R}^n R n n n n R \mathbb{R} R n n n C m × n \mathbb{C}^{m\times n} C m × n m × n m\times n m × n C \mathbb{C} C m n mn mn P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 次数 ≤ n \leq n ≤ n C \mathbb{C} C n + 1 n+1 n + 1 S 1 ⊂ ⋯ ⊂ S 5 S_1\subset\cdots\subset S_5 S 1 ⊂ ⋯ ⊂ S 5 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] R \mathbb{R} R 均为无限维（见 1.3.8 注 3） R \mathbb{R} R P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 次数 ≤ n \leq n ≤ n 实 系数多项式 R \mathbb{R} R n + 1 n+1 n + 1 S 1 S_1 S 1 同数域 才谈得上子空间）信号空间 S S S 双边序列 { x k } {x_k} { x k } R \mathbb{R} R 无限维（例 1.3.4 ）
表中两处值得停顿：第 5 行说明 R \mathbb{R} R P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) C \mathbb{C} C P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 子空间只在同一数域内比较 ；最后一行说明线性空间可以没有有限维数。维数那一列的来历，1.3 节给出算法。
当运算不是「天然的」而是重新定义 的，就不能只查封闭性，必须回到八条公理逐条验证——特别是零元素、负元素会「改头换面」。
例 1.1.3 · R + \mathbb{R}^+ R +
设 V = R + V=\mathbb{R}^+ V = R + F = R F=\mathbb{R} F = R V V V x ⊕ y = x y x\oplus y=xy x ⊕ y = x y V V V F F F k ⋅ x = x k k\cdot x=x^k k ⋅ x = x k ( V , ⊕ , ⋅ ) (V,\oplus,\cdot) ( V , ⊕ , ⋅ )
证明 · 例 1.1.3
封闭性： ∀ x , y ∈ V \forall x,y\in V ∀ x , y ∈ V k ∈ F k\in F k ∈ F x ⊕ y = x y ∈ V x\oplus y=xy\in V x ⊕ y = x y ∈ V k ⋅ x = x k ∈ V k\cdot x=x^k\in V k ⋅ x = x k ∈ V
再逐条验证八条性质。 加法四条：
（1）交换律：x ⊕ y = x y = y x = y ⊕ x x\oplus y=xy=yx=y\oplus x x ⊕ y = x y = y x = y ⊕ x
（2）结合律：( x ⊕ y ) ⊕ z = ( x y ) z = x ( y z ) = x ⊕ ( y ⊕ z ) (x\oplus y)\oplus z=(xy)z=x(yz)=x\oplus(y\oplus z) ( x ⊕ y ) ⊕ z = ( x y ) z = x ( yz ) = x ⊕ ( y ⊕ z )
（3）零元素是 1 1 1 ：∃ 1 ∈ V \exists\,1\in V ∃ 1 ∈ V ∀ x ∈ V , x ⊕ 1 = x ⋅ 1 = x \forall x\in V,\ x\oplus1=x\cdot1=x ∀ x ∈ V , x ⊕ 1 = x ⋅ 1 = x
（4）负元素是倒数 ：∀ x ∈ V , ∃ x − 1 ∈ V \forall x\in V,\ \exists\,x^{-1}\in V ∀ x ∈ V , ∃ x − 1 ∈ V x ⊕ x − 1 = x ⋅ x − 1 = 1 x\oplus x^{-1}=x\cdot x^{-1}=1 x ⊕ x − 1 = x ⋅ x − 1 = 1
数乘四条（∀ k , l ∈ F \forall k,l\in F ∀ k , l ∈ F x , y ∈ V x,y\in V x , y ∈ V
（5）k ⋅ ( x ⊕ y ) = ( x y ) k = x k y k = ( k ⋅ x ) ⊕ ( k ⋅ y ) k\cdot(x\oplus y)=(xy)^k=x^ky^k=(k\cdot x)\oplus(k\cdot y) k ⋅ ( x ⊕ y ) = ( x y ) k = x k y k = ( k ⋅ x ) ⊕ ( k ⋅ y )
（6）( k + l ) ⋅ x = x k + l = x k x l = ( k ⋅ x ) ⊕ ( l ⋅ x ) (k+l)\cdot x=x^{k+l}=x^kx^l=(k\cdot x)\oplus(l\cdot x) ( k + l ) ⋅ x = x k + l = x k x l = ( k ⋅ x ) ⊕ ( l ⋅ x )
（7）k ⋅ ( l ⋅ x ) = ( x l ) k = x l k = x k l = ( k l ) ⋅ x k\cdot(l\cdot x)=(x^l)^k=x^{lk}=x^{kl}=(kl)\cdot x k ⋅ ( l ⋅ x ) = ( x l ) k = x l k = x k l = ( k l ) ⋅ x
（8）1 ⋅ x = x 1 = x 1\cdot x=x^1=x 1 ⋅ x = x 1 = x
八条全部成立，故 ( V , ⊕ , ⋅ ) (V,\oplus,\cdot) ( V , ⊕ , ⋅ )
∎
为什么会这样？ 取对数来看：x ⊕ y = x y x\oplus y=xy x ⊕ y = x y lg x + lg y \lg x+\lg y lg x + lg y k ⋅ x = x k k\cdot x=x^k k ⋅ x = x k k lg x k\lg x k lg x R \mathbb{R} R lg \lg lg
下面四题都只要找出一条 被破坏的规则，难的是说准是哪一条。
例 1.1.B · 判定题组
判断下列 ( V , F ) (V,F) ( V , F )
(1) V = R + V=\mathbb{R}^+ V = R + F = R F=\mathbb{R} F = R x + y x+y x + y k x kx k x
(2) V = { n V=\{n V = { n } ⊂ R n × n \}\subset\mathbb{R}^{n\times n} } ⊂ R n × n F = R F=\mathbb{R} F = R
(3) V = { n V=\{n V = { n } \} } F = R F=\mathbb{R} F = R
(4) V = Q n V=\mathbb{Q}^n V = Q n n n n F = R F=\mathbb{R} F = R
解答 · 例 1.1.B
(1) 不是。 数乘不封闭：x ∈ V x\in V x ∈ V 0 ⋅ x = 0 ∉ R + 0\cdot x=0\notin\mathbb{R}^+ 0 ⋅ x = 0 ∈ / R + V V V 0 0 0
(2) 不是。 0 ⋅ A = O 0\cdot A=O 0 ⋅ A = O V V V A + ( − A ) = O A+(-A)=O A + ( − A ) = O
(3) 不是。 正交矩阵 Q Q Q Q T Q = I Q^{\mathrm T}Q=I Q T Q = I ( k Q ) T ( k Q ) = k 2 I (kQ)^{\mathrm T}(kQ)=k^2I ( k Q ) T ( k Q ) = k 2 I k 2 ≠ 1 k^2\neq1 k 2 = 1 k Q kQ k Q
(4) 不是。 数乘的「数」必须来自 F = R F=\mathbb{R} F = R α = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T ∈ V \boldsymbol{\alpha}=(1,0,\cdots,0)^{\mathrm T}\in V α = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) T ∈ V 2 α = ( 2 , 0 , ⋯ , 0 ) T ∉ V \sqrt2\,\boldsymbol{\alpha}=(\sqrt2,0,\cdots,0)^{\mathrm T}\notin V 2 α = ( 2 , 0 , ⋯ , 0 ) T ∈ / V F = Q F=\mathbb{Q} F = Q Q n \mathbb{Q}^n Q n Q \mathbb{Q} Q 「在哪个数域上」是判定的一部分 。
小结。 ① 线性空间的定义（八条公理）与性质（注 1 四条）；② 线性空间的例子（R n \mathbb{R}^n R n 1.2 讨论子空间，用的正是这条链。
常见错误清单（1.1 节）
E-a 只验封闭性就下肯定结论（运算是新定义时）。 新运算必须验八条公理；零元素可能不是 θ \boldsymbol{\theta} θ 例 1.1.3 中是 1 1 1
E-b 验证时只代具体数值。 如「2 ( 1 , 1 ) = ( 2 , 2 ) ∈ V 2(1,1)=(2,2)\in V 2 ( 1 , 1 ) = ( 2 , 2 ) ∈ V k k k
E-c 把「数域」默认成 R \mathbb{R} R 同一集合换数域结论会变（例 1.1.B （4）、例 1.3.1 、例 1.3.5 ）。
E-d 认为「对加法封闭」就够。 反例：{ ( a 1 , a 2 ) ∣ a 1 ≥ 0 } \{(a_1,a_2)\mid a_1\geq0\} {( a 1 , a 2 ) ∣ a 1 ≥ 0 } 例 1.1.A （3））。
E-e 把「次数恰为 n n n P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 多项式空间必须含零多项式与低次多项式（例 1.1.4 （3））。
E-f 满足七条公理就当作线性空间。 数乘恒为零的反例满足其余七条（见 1.1.4 思考框）。
即时自测 · 1.1
先自行作答，再展开核对。
第 1 题 · 记忆
不看正文，写出线性空间八条公理中数乘的四条 。（对应 1.1.4 ）
第 1 题答案
① λ ( α + β ) = λ α + λ β \lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda\boldsymbol{\alpha}+\lambda\boldsymbol{\beta} λ ( α + β ) = λ α + λ β ( λ + μ ) α = λ α + μ α (\lambda+\mu)\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha}+\mu\boldsymbol{\alpha} ( λ + μ ) α = λ α + μ α ( λ μ ) α = λ ( μ α ) (\lambda\mu)\boldsymbol{\alpha}=\lambda(\mu\boldsymbol{\alpha}) ( λ μ ) α = λ ( μ α ) 1 α = α 1\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} 1 α = α 1.1.4 重读那个反例——它是唯一不能由其余条款推出的。
第 2 题 · 辨析
「V V V W W W W W W 1.1.9 ）
第 2 题答案
不对。 加法封闭不蕴含数乘封闭，也不保证含零元。反例见 例 1.1.A 的 (3)：V 5 = { ( a 1 , a 2 ) T ∣ a 1 ≥ 0 } V_5=\{(a_1,a_2)^{\mathrm T}\mid a_1\geq0\} V 5 = {( a 1 , a 2 ) T ∣ a 1 ≥ 0 } ( − 1 ) ⋅ ( 1 , 0 ) T ∉ V 5 (-1)\cdot(1,0)^{\mathrm T}\notin V_5 ( − 1 ) ⋅ ( 1 , 0 ) T ∈ / V 5
第 3 题 · 应用
设 V = R + V=\mathbb{R}^+ V = R + x ⊕ y = x y 2 x\oplus y=\dfrac{xy}{2} x ⊕ y = 2 x y k ⋅ x = x k 2 k − 1 k\cdot x=\dfrac{x^k}{2^{k-1}} k ⋅ x = 2 k − 1 x k V V V R \mathbb{R} R 1.1.8 ）
第 3 题答案
是。 思路与 例 1.1.3 完全同构：注意 x y 2 = 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 \dfrac{xy}{2}=2\cdot\dfrac x2\cdot\dfrac y2 2 x y = 2 ⋅ 2 x ⋅ 2 y u = lg ( x / 2 ) u=\lg(x/2) u = lg ( x /2 ) R \mathbb{R} R
判定的入手点。 新定义运算时不能只查封闭性，应先找零元与负元——它们往往改头换面（本题零元是 2 2 2 4 / x 4/x 4/ x
第 4 题 · 迁移
举出一个线性空间，它的「向量」不是数组、不是多项式、也不是函数。（对应 1.1.7 ）
第 4 题答案
离散时间信号空间 S S S ：元素是双边序列 { x k } \{x_k\} { x k } C m × n \mathbb{C}^{m\times n} C m × n
换个角度。 线性空间可以是数组、矩阵、多项式、函数或信号——它是公理系统，而不是某一种具体的集合。