第一章 · 线性空间引论

本教程依据本课程六次课的课件整理扩充而成，覆盖线性空间、线性子空间、基与坐标、内积空间、向量长度与夹角、直和与投影六节。

图解读图：六站依次加装工具：空间 → 子空间 → 基与坐标 → 内积 → 正交 → 投影；后一步使用前一步建立的结构。

六节各问一个问题

节	核心问题
1.1 线性空间	什么集合上能做线性运算？
1.2 线性子空间	大空间中哪些部分自成空间？
1.3 基与坐标	怎样给空间装「坐标系」并数出「刻度数」？
1.4 内积空间	怎样在线性空间里定义长度、夹角与正交？
1.5 向量长度与夹角	有了内积，怎样量出长度、夹角与垂直？
1.6 直和与投影	和空间何时拆法唯一？分量怎么算？

每节的关键结论与典型陷阱见章末总结的「六节一览」——本页只负责「先知道每节在问什么」，不重复结论清单。

一条主线

六节一环扣一环：先规定规则（1.1），再找封闭的部分（1.2），用基把信息压成坐标（1.3），加入几何（1.4），提炼出长度、夹角与正交（1.5），最后研究拆法唯一的和与投影（1.6）。

带结构图、逐环展开的完整版本见全章知识地图。

怎么用这份教程

编辑原则：「保留原编号、补全省略的证明、勘误原课件、新增例题与习题」四件事的完整说明见范围声明，正文相应位置均可跳转对照，此处不重复。
练习下笔：先读证明怎么下笔：六种骨架，动笔前先用其中的骨架预测路线；目标不是背答案，而是能从定义写出第一行。
节末自测：每节末尾除「小结与常见错误」清单外，另有 3–4 道回忆题的即时自测。
间隔回忆：读完一遍后，不从头重读；按闭卷回忆卡给出的日程（当天 / 1 / 3 / 7 天）做主动提取，配合速查背记卡的压缩层。
自检与验收：习题集三组分层、全部附解（高难题另有「提示」层）；综合自测卷闭卷计时、含评分标准；自检表把每条学习目标对到正文小节与习题。
学前准备：不确定从哪开始，先做入学诊断自测；先修记忆模糊，先看先修工具箱。

建议反复做的五道「母题」

下面五道题各自连接一串概念，换数字、换对象后仍可复用，适合闭卷重做。

母题	一题串起什么	做完应能复述
齐次与非齐次解集	零向量、封闭性、子空间、仿射平移	「常数项为什么会破坏子空间？」
从约束方程读出基	自由变量、生成、无关、基、维数、坐标	「参数向量为什么就是候选基？」
加权内积改变几何	正定矩阵、长度、正交、单位圆	「内积改变的是哪把尺子？」
数值化 C–S 的残差	投影系数、正交残差、不等式、等号条件	「严格不等号从哪里产生？」
正交投影两法	正交补、直和拆解、正交基投影公式	「两条路线为什么必须殊途同归？」

做题顺序：先预测 → 合上解答计算 → 展开核对 → 总结机制。