学习目标自检表

逐条对照。本表是三件事的映射：左列给出目标的简写标签（完整「能……」表述见学习目标），中列是自检口径，右列是「正文依据 + 对应习题」。若某行卡壳，回到所指小节重读再做习题。

使用建议：先做入学诊断自测与综合自测卷，用失分点定位下面若干行，再回到「依据」列的正文小节重读、做「依据与习题」列的题。不要从头到尾机械地逐行打钩。目标的具体练法见解题工具箱的流程卡（GS / 投影 / 验算清单），记忆检验走速查背记卡与闭卷回忆卡。

目标	达标检验	依据与习题
K1.1 数域	能独立完成 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 四则封闭验证并否定 $\mathbb{Z}$	1.1.3；习题 A1、B1
K1.2 八条公理	能背写八条并说出「等式型继承、存在型亲验」	1.1.4、1.2.2 证明；例 1.1.3；1.1 即时自测第 1 题
K1.3 判定定理	能陈述三条等价命题并解释先验零元的理由	定理 1.2.1 及其证明；习题 A2、A8；自测卷 2
K1.4 基本概念	能给出基 / 坐标 / 过渡矩阵 / 维数的定义并解释「坐标系」比喻	1.3.5、1.3.7、1.3.8；图 1-3；自测卷 3
K1.5 内积与矩阵	能陈述复内积四公理，并说明 Hermite、正定与 Gram 矩阵的关系	1.4.1、1.4.3、1.4.6；习题 A11–A13；自测卷 4
K1.6 长度与正交	能写出长度四条性质、C-S 不等式（含等号条件）与正交 / 正交基的定义	1.5.1、1.5.2、1.5.5、1.5.7；习题 A15、B12；自测卷 7、8
K1.7 直和与投影	能陈述直和定义、四条判据与投影定义，并说明投影依赖于整个分解	1.6.1、1.6.2、1.6.3；习题 A14、B11；自测卷 9、10
K1.8 正交与投影（下）	能陈述正交子空间、正交直和、正交补、正交投影的定义与正交基投影公式，并说明正交投影只由子空间与内积决定	1.6.5–1.6.7；习题 A16、B13；自测卷 15
S1.1 空间判定	能在 10 分钟内完成一组判定题（含新运算）	例 1.1.A、例 1.1.B；习题 A6、A7；1.1 即时自测第 3 题
S1.2 $N(A)$ 、 $R(A)$	能求指定矩阵的零空间、列空间并判断 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 可解性	例 1.2.B、例 1.2.C；习题 C1、B4；自测卷 6
S1.3 相关性判定	会用秩判 $\mathbb{R}^n$ 向量组、会用 Casorati 判信号组	例 1.3.2；习题 C2、C3、A5；自测卷 5
S1.4 坐标与换基	能求坐标、过渡矩阵并完成坐标变换，并区分旧基坐标与自然坐标	例 1.3.A、例 1.3.B；习题 C4、C5；1.3 即时自测第 2 题；自测卷 11
S1.5 维数公式	能用公式求 $\dim(W_1\cap W_2)$ 并求出交空间	例 1.3.6（修正版）、例 1.3.C；习题 C6、A4；自测卷 12
S1.6 内积判定	能从四条公理检查二元函数，并判断 $\boldsymbol y^{\mathrm H}A\boldsymbol x$ 是否为内积	1.4.2–1.4.5；习题 A11、A12、B10、C9；自测卷 14
S1.7 Gram 计算	能由基向量算度量矩阵，并以坐标公式计算和回代核验	1.4.6、1.4.7；例 1.4.D；习题 C10、C11；自测卷 13
S1.8 长度 / 正交化	能算长度与夹角、判正交，并用 Gram–Schmidt 化为标准正交基	1.5.1、1.5.3、1.5.5、1.5.6；例 1.5.B；习题 C12、C13；自测卷 13(3)
S1.9 直和与投影	能判直和并把向量拆成各子空间上的投影（含解 Gram 方程组）	1.6.2、1.6.3；例 1.6.3、例 1.6.A；习题 C14、C15；自测卷 15
S1.10 正交补与正交投影	能求 $W^{\perp}$ （含维数核算）、用两种方法求正交投影、写出 GS 的正线上三角过渡矩阵	1.6.6–1.6.9；例 1.6.6、例 1.6.7；习题 C16、C17；自测卷 15
A1.1 陷阱识别	对每个「常见错误」能口述反例	1.1.9、1.2.8 清单；习题 A2、A6、A10
A1.2 域与基的依赖性	能举「换域翻转结论」与「换基变坐标」各一例	例 1.3.1、1.3.5；习题 A9、C5；1.3 即时自测第 4 题
A1.3 复核能力	能复述勘误 E1、E2 的发现过程与改正依据，并识别证明中的跳跃（如 E9）	1.1.6 思考框、1.3.9、1.6.4；习题 C2
A1.4 约定意识	能核对线性变元、Gram 下标和「固定基」前提	1.4.1、1.4.6、1.4.7；勘误 E3、E4；习题 A13；自测卷 14
A1.5 证明书写	能写出结构完整、指明每步依据的证明	定理 1.2.1、定理 1.3.5、命题 1.4.2、定理 1.6.1 的证明；习题 B3、B8；自测卷 16、17
A1.6 复空间分辨力	能说明 C-S 的模形式在复空间仍成立，并指出实夹角公式、勾股逆命题为何不能直接搬过去	1.5.2–1.5.5 与勘误 E6 / E7；习题 A15；自测卷 7、8
A1.7 正交的辨析	能解释墙角反例与「投影公式只对正交基」，并复述例 1.6.7 的证明骨架与「包含 + 等维」技巧	1.6.5、1.6.7、1.6.9 与勘误 E11–E13；习题 A16、B14

依据 1.1 / 1.2 / 1.3 / 1.4 / 1.5 / 1.6 六节（七份）课件整理 · 整理日期 2026-09-17

全章完

Keyboard shortcuts

矩阵论 · 线性空间引论 · 线性映射与矩阵 · 矩阵分解

学习目标自检表