(1) $\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{|1|^2+|i|^2}=\sqrt2$。复向量的长度必须逐分量取模平方 $|x_i|^2=x_i\overline{x_i}$，而不是平方 $x_i^2$——后者对 $x_1=1,x_2=i$ 会算出 $0$，与「非零向量长度非零」矛盾。

(2) $\|t\|=\sqrt{\int_0^1t^2\,\mathrm dt}=\sqrt{\tfrac13}=\tfrac{1}{\sqrt3}$。同一多项式换成区间 $[-\pi,\pi]$ 上的内积长度就不同——长度由内积决定，内积变了长度就变（对照 1.4.5 的内积例库）。

(3) $\|I_n\|_F=\sqrt{\operatorname{tr}(I_n^{\mathrm H}I_n)}=\sqrt n$。

$$\lambda=\frac{(\boldsymbol x,\boldsymbol y)}{(\boldsymbol y,\boldsymbol y)}=\frac2{1}=2,\qquad \boldsymbol r=\boldsymbol x-\lambda\boldsymbol y=(0,1)^{\mathrm T}.$$

确有 $(\boldsymbol r,\boldsymbol y)=0$。不等式两边分别是

$$|(\boldsymbol x,\boldsymbol y)|=2,\qquad \|\boldsymbol x\|\,\|\boldsymbol y\|=\sqrt5,$$

所以 $2<\sqrt5$。证明中的「余量」也可直接核对：

$$\|\boldsymbol x\|^2-\frac{|(\boldsymbol x,\boldsymbol y)|^2}{\|\boldsymbol y\|^2}=5-4=1=\|\boldsymbol r\|^2.$$

若把 $\boldsymbol x$ 改成 $(2,0)^{\mathrm T}=2\boldsymbol y$，残差变为零，此时两边都等于 $2$，恰好取等号。这个例子把「严格不等号来自非零正交残差」完整显示出来。

直接展开（实空间，$(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)$ 是实数）：

$$\det G(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2) =(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_1)(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_2)-(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)^2 =\|\boldsymbol{x}_1\|^2\|\boldsymbol{x}_2\|^2-\big(\|\boldsymbol{x}_1\|\,\|\boldsymbol{x}_2\|\cos\alpha\big)^2,$$

其中 $\alpha$ 是 $\boldsymbol{x}_1$ 与 $\boldsymbol{x}_2$ 的夹角（定义 1.5.2）。于是

$$\det G(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)=\|\boldsymbol{x}_1\|^2\|\boldsymbol{x}_2\|^2\big(1-\cos^2\alpha\big)=\|\boldsymbol{x}_1\|^2\|\boldsymbol{x}_2\|^2\sin^2\alpha.$$

而「$\|\boldsymbol{x}_1\|\,\|\boldsymbol{x}_2\|\sin\alpha$」正是以 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2$ 为邻边的平行四边形的面积。所以：

$\det G(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2)$ 恰是以 $\boldsymbol{x}_1$ 与 $\boldsymbol{x}_2$ 为邻边的平行四边形面积的平方。

(1) $\boldsymbol{y}_1=(1,0)^{\mathrm T}$；

$$\boldsymbol{y}_2=\boldsymbol{x}_2-\frac{(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{y}_1)}{(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_1)}\boldsymbol{y}_1=(1,1)^{\mathrm T}-\frac{1}{1}(1,0)^{\mathrm T}=(0,1)^{\mathrm T}.$$

单位化：$\boldsymbol{q}_1=(1,0)^{\mathrm T}$，$\boldsymbol{q}_2=(0,1)^{\mathrm T}$——斜基化为标准正交基。用 $\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2$ 算内积当然比用原来的斜基（$G=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$）省事，这正是标准正交基的价值。

(2) $\boldsymbol{y}_1=(1,1,0)^{\mathrm T}$，$(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_1)=2$；

$$\boldsymbol{y}_2=\boldsymbol{x}_2-\frac{(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{y}_1)}{2}\boldsymbol{y}_1=(1,0,1)^{\mathrm T}-\tfrac12(1,1,0)^{\mathrm T}=\big(\tfrac12,-\tfrac12,1\big)^{\mathrm T},\qquad(\boldsymbol{y}_2,\boldsymbol{y}_2)=\tfrac32;$$

$$\boldsymbol{y}_3=\boldsymbol{x}_3-\frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{y}_1)}{2}\boldsymbol{y}_1-\frac{(\boldsymbol{x}_3,\boldsymbol{y}_2)}{3/2}\boldsymbol{y}_2=(0,1,1)^{\mathrm T}-\tfrac12(1,1,0)^{\mathrm T}-\tfrac13\big(\tfrac12,-\tfrac12,1\big)^{\mathrm T}=\big(-\tfrac23,\tfrac23,\tfrac23\big)^{\mathrm T}.$$

核算：$(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2)=\tfrac12-\tfrac12+0=0$ ✓，$(\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_3)=-\tfrac23+\tfrac23=0$ ✓，$(\boldsymbol{y}_2,\boldsymbol{y}_3)=-\tfrac13-\tfrac13+\tfrac23=0$ ✓。单位化（$\|\boldsymbol{y}_1\|=\sqrt2$，$\|\boldsymbol{y}_2\|=\sqrt{3/2}$，$\|\boldsymbol{y}_3\|=\tfrac{2}{\sqrt3}$）：

$$\boldsymbol{q}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{q}_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol{q}_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1)^{\mathrm T}.$$

（$\boldsymbol{y}_2$ 乘以 $2$、$\boldsymbol{y}_3$ 乘以 $\tfrac32$ 只改变长度不改变方向，正交性不受影响——用整数形式验证更方便。）

内积合法性（对称、线性、正定）与 例 1.4.B 完全同理。逐类验证正交性——被积函数的奇偶性与积化和差使积分直接为零：

• 与常数 $1$ 正交：$k\geq1$ 时 $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos kt\,\mathrm dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin kt\,\mathrm dt=0$（整周期积分；$\sin kt$ 还是奇函数）；
• $\sin$ 与 $\cos$ 交叉：$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mt\cos nt\,\mathrm dt=0$（对任意 $m,n$：被积函数是奇函数，对称区间积分自动为零）；
• 同类不同频（$m\neq n$）：积化和差把 $\cos mt\cos nt$、$\sin mt\sin nt$ 化为 $\tfrac12\big[\cos(m-n)t\pm\cos(m+n)t\big]$，而 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos lt\,\mathrm dt=0$（$l\neq0$ 整数），故两个积分都为零。

各向量的长度平方为：$(1,1)=2\pi$，$(\cos kt,\cos kt)=(\sin kt,\sin kt)=\pi$。于是三角函数系两两正交、每个函数都非零，确实构成一个正交向量组。

但按本章定义 1.3.3 的代数定义，「基」要求每个向量都能写成基向量的有限线性组合。三角函数系的有限线性组合只是三角多项式，不能覆盖所有光滑函数；因此它不是光滑函数空间 $S$ 的 Hamel 基。傅里叶分析中常说的「正交基」，实际指在 $L^2[-\pi,\pi]$ 的范数与收敛意义下的完备正交系：允许用无穷级数逼近或表示函数。这需要先给空间规定范数、极限和完备性，已经超出本章的纯代数框架。

在满足相应收敛条件时，光滑函数 $f(t)$ 的傅里叶级数写成

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nt+b_n\sin nt\big)\qquad\text{（傅里叶三角级数）},$$

各系数由「与对应的正交函数作内积、再除以该函数自身的长度平方」得到。这与有限维正交基求坐标的公式同构，但无穷级数还多了一道必须单独处理的收敛问题。

这是 定义 1.4.4 坐标公式 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm H}G_{\mathcal E}\boldsymbol{\xi}$ 的特例：标准正交基满足 $(\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j)=\delta_{ij}$，故度量矩阵的每个元素恰按 $I_n$ 摆放，$G(\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n)=I_n$，于是

$$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm H}\boldsymbol{\alpha}=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\overline{\beta_i}.$$

标准正交基把任意（实 / 复）内积空间的内积运算，变成坐标向量的标准内积——长度与正交的判定全部可以在 $\mathbb C^n$ 里完成（夹角只对实空间有定义，见勘误 E6）。1.4 节引入的「度量矩阵」在此兑现：它一般不是 $I$，但 Gram–Schmidt 正交化保证总能换到一组使它是 $I$ 的基。