第二变元可加性来自「交换变元，在第一变元中拆开，再交换回来」：

$$\begin{aligned} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}) &=\overline{(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z},\boldsymbol{x})} =\overline{(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})+(\boldsymbol{z},\boldsymbol{x})}\\ &=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}). \end{aligned}$$

同理，

$$(\boldsymbol{x},k\boldsymbol{y})=\overline{(k\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})}=\overline{k(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})}=\overline{k}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}).$$

最后，$(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{y})=(0\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0$；共轭对称性再给出 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{\theta})=0$。这也回答了原课件页 3 的思考题。

对称性来自标量乘法可交换，可加性与齐次性来自矩阵乘法的分配律；而

$$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=x_1^2+\cdots+x_n^2\geq0,\qquad (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0\Longleftrightarrow x_1=\cdots=x_n=0,$$

因此它确实是内积。

不能。在 $\mathbb C^1$ 中取 $\boldsymbol{x}=i$，便有 $(i,i)=i^2=-1$，违反正定性。故复向量空间必须使用共轭转置：

$$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^{\mathrm H}\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\overline{y_i}.$$

此时 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=\sum_i|x_i|^2\geq0$，且只有零向量取到零。

$$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^{\mathrm H}\boldsymbol{x}=(1+i)\cdot1+2i=1+3i,$$ $$(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm H}\boldsymbol{y}=1\cdot(1-i)-i\cdot2=1-3i=\overline{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})}.$$

检查复内积时，「交换两个向量以后取共轭」是最直接的数值自检。

可加性和第一变元齐次性对任意 $A$ 都成立。共轭对称性要求

$$\boldsymbol{y}^{\mathrm H}A\boldsymbol{x} =\overline{\boldsymbol{x}^{\mathrm H}A\boldsymbol{y}} =\boldsymbol{y}^{\mathrm H}A^{\mathrm H}\boldsymbol{x}\qquad(\forall\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}).$$

因此 $\boldsymbol{y}^{\mathrm H}(A-A^{\mathrm H})\boldsymbol{x}=0$ 对任意 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ 成立。依次取 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{e}_i$、$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{e}_j$，得 $A-A^{\mathrm H}$ 的每个元素都为零，故 $A=A^{\mathrm H}$。正定公理又直接要求 $\boldsymbol{x}^{\mathrm H}A\boldsymbol{x}\gt0$ 对每个非零 $\boldsymbol{x}$ 成立。

反过来，若 $A=A^{\mathrm H}$ 且 $A$ 正定，上述计算倒过来即得共轭对称性，矩阵乘法给出可加性与齐次性，正定性由假设保证，四条公理全部成立。

长度。标准长度为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$；而

$$\|\boldsymbol x\|_A=\sqrt{\boldsymbol x^{\mathrm T}A\boldsymbol x}=\sqrt{4+1}=\sqrt5.$$

正交。标准内积给出 $\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol y=1-1=0$，所以二者在通常几何中正交；但

$$(\boldsymbol x,\boldsymbol y)_A=\boldsymbol y^{\mathrm T}A\boldsymbol x=(1,-1)\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=3\ne0,$$

所以它们在 $A$-内积下不正交。

单位圆。$\|\boldsymbol z\|_A=1$ 等价于 $4z_1^2+z_2^2=1$，在普通坐标纸上看是一条椭圆。内积没有改变向量加法，却改变了测量长度与夹角的「尺子」。

先转置再逐元素共轭：

$$A^{\mathrm H}=\overline{A^{\mathrm T}} =\overline{\begin{pmatrix}1&-i\\i&2\end{pmatrix}} =\begin{pmatrix}1&i\\-i&2\end{pmatrix}=A.$$

共轭转置把 $A$ 原样送回，所以 $A$ 是 Hermite 矩阵。

(2) 反例：对角元不是实数的矩阵。 取 $B=\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}$，则 $B^{\mathrm H}=\overline{B^{\mathrm T}}=\begin{pmatrix}-i&0\\0&-i\end{pmatrix}\neq B$，$B$ 不是 Hermite 矩阵。后果是具体的：对 $\boldsymbol{x}=(1,0)^{\mathrm T}\neq\boldsymbol{0}$，

$$\boldsymbol{x}^{\mathrm H}B\boldsymbol{x}=i\,|1|^2=i\notin\mathbb R .$$

「非零向量算出的值竟然不是实数」——这直接违反内积公理 (1)（共轭对称要求 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})$ 等于自己的共轭，从而必为实数）。这就是为什么复内积必须要求共轭对称、而不能只要求对称：只要求对称的话，$B$ 这样的矩阵也会混进来。

令 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2)^{\mathrm T}$，对 $A_1$ 直接展开并配方：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{x}^{\mathrm H}A_1\boldsymbol{x} &=|x_1|^2+i\overline{x_1}x_2-i\overline{x_2}x_1+2|x_2|^2\\ &=|x_1+i x_2|^2+|x_2|^2. \end{aligned}$$

两项同时为零强制 $x_2=0$、$x_1=0$，故 $A_1$ 正定。若把右下角的 $2$ 改成 $1$，得

$$A_2=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{x}^{\mathrm H}A_2\boldsymbol{x}=|x_1+i x_2|^2\geq0.$$

但取 $x_1=-i x_2\neq0$ 便取到零，因而 $A_2$ 只是半正定。区别不在「能不能小于零」，而在「非零向量能不能取到零」。

对称、可加和齐次性由积分的线性性质给出。又因 $p(t)^2\geq0$，$(p,p)=\int_0^1p(t)^2\,\mathrm dt\geq0$；若积分为零，连续函数 $p(t)^2$ 必在 $[0,1]$ 上恒为零，所以 $p$ 是零多项式。因此该定义是内积。

例如 $(1+t,t)=\int_0^1(t+t^2)\,\mathrm dt=\tfrac12+\tfrac13=\tfrac56$。

这就是把矩阵的 $mn$ 个元素排成向量后使用标准内积：共轭对称、可加与齐次性来自转置、迹与矩阵乘法的运算律；特别地，$(X,X)=\sum_{i,j}|x_{ij}|^2\geq0$，且和为零迫使每个 $x_{ij}=0$，因此满足正定性。由它诱导的矩阵「长度」$\|X\|_F=\sqrt{(X,X)}$ 称为 Frobenius 范数——向量欧氏长度的直接推广，后续章节衡量矩阵「整体大小」时反复使用。

(1) 由定义 $g_{ij}=(\boldsymbol{\varepsilon}_j,\boldsymbol{\varepsilon}_i)$：

$$G_{\mathcal E}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

(2) 代入坐标公式：

$$(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm T}G_{\mathcal E}\boldsymbol{\xi} =\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=1.$$

直接验算：$\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2=(1,-1)^{\mathrm T}$，$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varepsilon}_1+3\boldsymbol{\varepsilon}_2=(4,3)^{\mathrm T}$，点积为 $4-3=1$，两种算法一致。