入学诊断自测

这份教程假设你已修过本科线性代数（矩阵运算、行列式、线性方程组）。不过「修过」的程度差别很大：有人记得 Ax=b 怎么解但忘了秩是什么意思，有人对 $\mathbb{R}^n$ 熟得很却没见过抽象空间。

花十五分钟做完下面 14 道小题，对照评分标准决定从哪一页开始。 不要翻书，凭直觉作答即可——目的只是定位，不是考试。

一、先修诊断（6 题）

判断下列说法的真假，并在纸上一句话写出理由（能说清理由才算会）：

先修诊断答案与理由

真。 $\det A=0\Longleftrightarrow A$ 不可逆 $\Longleftrightarrow$ 齐次方程组有非零解（先修工具箱 §3）。
真。这正是矩阵乘法的列观点： $A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n$ （先修工具箱 §1）。
假。正确形式是 $(AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}$ ，顺序要反过来（先修工具箱 §2）。
真。二者是同一件事的两种说法（先修工具箱 §3 的等价表）。
真。这是秩的定义性算法（先修工具箱 §4）。
真。自由未知量个数 $m-\operatorname{rank}A\geq m-n>0$ （先修工具箱 §4 结论 A）。

下列概念，能用自己的话说清楚就打 ✓：

本章内容预诊自查

7–14 题的答案散落在正文各处。快速定位：

第 7 题 → 1.1.3（定义 1.1.3）
第 8 题 → 1.1.4（定义 1.1.5）
第 9 题 → 1.2.2（定理 1.2.1 的思考框）
第 10 题 → 1.2.7（位置口诀）
第 11 题 → 1.3.7（命题 1.3.1 第 (3) 条）
第 12 题 → 1.4.2（例 1.4.3）
第 13 题 → 1.5.1（定义 1.5.1 与注 1；长度 $=\sqrt{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})}$ ，换个内积长度就变——实例见 1.4.3 例 1.4.E）
第 14 题 → 1.6.1（定义 1.6.1）；一句话： $+$ 只要求和， $\dotplus$ 要求和空间里每个向量拆法唯一

若 7–14 全部能答：说明你已具备本章的先修直觉，可以直接进入正文，跳过对应章节的铺垫。

先数一数第一部分的答对题数（每题说清理由才算对），再看第二部分能打几个 ✓。

第一部分	第二部分	建议入口
6 题全对	8 个 ✓	直接从 1.3 开始。1.1 / 1.2 对你只是术语统一，通读目录即可；重点放在过渡矩阵、维数公式、Gram–Schmidt 与直和投影。
4–5 题对	4–7 个 ✓	按正常顺序通读。先扫一遍先修工具箱补齐缺口，再从 1.1 进入。
≤3 题对	≤3 个 ✓	先补先修，再进正文。完整读完先修工具箱，并做本科线性代数中「行列式、矩阵的秩、线性方程组」三节的习题，然后回到 1.1。

三条阅读路径

按时间预算选一条即可：快速预习约 25 分钟 / 标准通读约 90 分钟 / 刷题检验。本页只负责「诊断 → 入口」：上表按得分给出起点，路线按时间预算自行选择。

一个提醒

本教程不假设你熟悉「群」「域」这类近世代数名词（定义 1.1.4 旁的边注已就地解释「加群」）。若你在第 7 题上卡住，那不是先修缺口，而是本章第 1.1.3 小节要讲的内容——直接往下读即可。