非空数集 $F$ 含 $0,1$，并对任意两个元素的加、减、乘、除封闭，其中除法的除数必须非零。触发反例：$\mathbb Z$ 对除法不封闭。易漏条件：$0,1\in F$。

$V$ 是非空集合，$F$ 是数域；$V$ 上有加法，$F\times V$ 上有数乘。加法四条：交换、结合、零元、负元；数乘四条：对向量加法分配、对标量加法分配、数乘结合、单位律 $1\boldsymbol x=\boldsymbol x$。第一行抓手：加法成交换群，数乘与两种加法相容。

先有 $W\subseteq V$ 且 $W$ 非空；运算必须继承自 $V$，不能另行定义。随后 $W$ 在这些运算下也构成同一数域 $F$ 上的线性空间。

对 $\sum_{i=1}^n k_i\boldsymbol\alpha_i=\boldsymbol{\theta}$：只有 $k_1=\cdots=k_n=0$ 这一平凡解时无关；存在一组不全为零的系数时相关。易错点：不是看和是否为零，而是看使它为零的系数是否只有零解。

基是线性无关且张成全空间的有序向量组；坐标是向量在指定基下的唯一表示系数；维数是任一基所含向量的个数。依赖链：无关 + 张成 → 基 → 唯一系数 → 坐标；基的个数不变 → 维数良定义。

$P$ 的第 $j$ 列是第 $j$ 个新基向量在旧基下的坐标。若旧坐标为 $\boldsymbol\alpha$、新坐标为 $\boldsymbol\beta$，则 $\boldsymbol\alpha=P\boldsymbol\beta$，所以 $\boldsymbol\beta=P^{-1}\boldsymbol\alpha$。口诀：新基贴旧基，旧坐标等于 $P$ 乘新坐标。

共轭对称、第一变元可加、第一变元齐次、正定。由前两类性质可推出第二变元共轭线性：$(\boldsymbol x,k\boldsymbol y)=\overline{k}(\boldsymbol x,\boldsymbol y)$。易错点：复空间不能把 $\mathrm H$ 写成 $\mathrm T$。

$\|\boldsymbol x\|=\sqrt{(\boldsymbol x,\boldsymbol x)}$；$(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=0$ 时正交。正交基由两两正交的非零基向量组成；标准正交基还要求每个基向量长度为 $1$，等价于 Gram 矩阵为 $I$。

直和要求每个向量的分解唯一。若 $V=W_1\dotplus W_2$ 且 $\boldsymbol x=\boldsymbol y+\boldsymbol z$，其中 $\boldsymbol y\in W_1$、$\boldsymbol z\in W_2$，则 $\boldsymbol y$ 是沿 $W_2$ 到 $W_1$ 的投影。换补空间会改变分解，所以只说「投到 $W_1$」信息不足。

$W^{\perp}=\{\boldsymbol x\in V\mid\boldsymbol x\perp W\}$，即与 $W$ 中每个向量都正交的向量全体。它是 $V$ 的子空间（零向量在内；对第一变元线性封闭）。由正交分解定理 $V=W\oplus W^{\perp}$，故 $\dim W+\dim W^{\perp}=\dim V$；顺带 $(W^{\perp})^{\perp}=W$。检验 $W\perp W_2$ 只需查基对基。

正交投影 = 沿正交补 $W^{\perp}$ 落下的投影。有限维中，正交直和分解 $V=W\oplus W_2$ 里的 $W_2$ 必等于 $W^{\perp}$（包含 + 等维），所以「在 $W$ 上的正交投影」由 $W$ 与内积唯一确定。它还是 $W$ 中离原向量最近的点（最佳逼近）。

对非空子集 $W\subseteq V$，若任意 $\boldsymbol x,\boldsymbol y\in W$、$a,b\in F$ 都有 $a\boldsymbol x+b\boldsymbol y\in W$，则且仅则 $W$ 是子空间。第一行：「先确认 $W\subseteq V$ 且 $\boldsymbol{\theta}\in W$；任取……」

$\boldsymbol\beta$ 可由原无关组唯一表示。存在性靠加入后相关，且相关式中 $\boldsymbol\beta$ 的系数不能为零；唯一性靠原向量组无关。证明唯一的第一行：「假设 $\boldsymbol\beta$ 有两种表示并相减。」

由 $n$ 个向量组成的基所在空间中，任意多于 $n$ 个的向量组必相关。若两组基分别含 $m,n$ 个向量，先把 $m$ 个向量用另一组 $n$ 个基向量表示，得 $m\le n$；交换角色得 $n\le m$，所以 $m=n$。

$$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2).$$ 分别数 $W_1,W_2$ 时，公共方向被数了两次，因此减去一次。证明入口：先取交空间的基，再分别扩充为 $W_1,W_2$ 的基。

$G_{\mathcal F}=P^{\mathrm H}G_{\mathcal E}P$。内积有两个输入；坐标变换 $\boldsymbol\xi=P\boldsymbol\alpha$ 在第一、第二变元各出现一次，第二侧因共轭线性产生 $P^{\mathrm H}$。

$$|(\boldsymbol x,\boldsymbol y)|\le\|\boldsymbol x\|\,\|\boldsymbol y\|,$$ 等号当且仅当 $\boldsymbol x,\boldsymbol y$ 线性相关，实、复空间都成立。证明构造：$0\le\|\boldsymbol x-\lambda\boldsymbol y\|^2$，取 $\lambda=(\boldsymbol x,\boldsymbol y)/(\boldsymbol y,\boldsymbol y)$ 使残差与 $\boldsymbol y$ 正交。

先设 $\sum_i c_i\boldsymbol x_i=\boldsymbol{\theta}$。两边与 $\boldsymbol x_j$ 作内积，其他项因正交全部为零，得到 $c_j(\boldsymbol x_j,\boldsymbol x_j)=0$；因 $\boldsymbol x_j\ne\boldsymbol{\theta}$，其长度平方为正，所以 $c_j=0$。

直和；零向量表法唯一；$W_1\cap W_2=\{\boldsymbol{\theta}\}$；$\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2$。给出具体子空间时优先求交；只给维数或秩时用维数式；证明唯一时把两种表示相减。

$$\mathbb C^n=R(A)\dotplus N(A)=R(A)\dotplus R(I-A).$$ 任意 $\boldsymbol x$ 按 $\boldsymbol x=A\boldsymbol x+(I-A)\boldsymbol x$ 拆分；第一项在 $R(A)$，第二项被 $A$ 映为零，故在 $N(A)$。第一行抓手就是恒等式 $I=A+(I-A)$。

设 $\boldsymbol u\in W_1\cap W_2$，把 $\boldsymbol u$ 同时当作两边的向量，则 $(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$，正定性逼出 $\boldsymbol u=\boldsymbol{\theta}$——交为零，判据 (3) 收尾。正交性把「查交」整个免掉；代价是必须先有内积（子空间正交离开内积无定义）。

$$\operatorname{Proj}_{W}\boldsymbol y=\sum_i\frac{(\boldsymbol y,\boldsymbol x_i)}{(\boldsymbol x_i,\boldsymbol x_i)}\boldsymbol x_i;\qquad\text{标准正交基： }\operatorname{Proj}_{W}\boldsymbol y=\sum_i(\boldsymbol y,\boldsymbol x_i)\boldsymbol x_i.$$ 证明入口：构造 $\boldsymbol w$，验证残差与每个基向量正交（正交性消掉交叉项），再用拆解唯一性认定。只对正交基成立——基不正交时须先 Gram–Schmidt 或解 Gram 方程组（勘误 E12）。矩阵形式：$P=ZZ^{\mathrm H}$（$Z$ 的列是标准正交基），幂等 + Hermite。

① $R(A^{\mathrm H})\perp N(A)$：$\boldsymbol x^{\mathrm H}A^{\mathrm H}\boldsymbol u=(A\boldsymbol x)^{\mathrm H}\boldsymbol u=0$；② $\operatorname{rank}A^{\mathrm H}=\operatorname{rank}A$（转置换行列表、共轭保相关性）；③ $\dim N(A)+\dim R(A^{\mathrm H})=n$，判据 (4) 得直和。「包含 + 等维」用在升级为 $R(A^{\mathrm H})=(N(A))^{\perp}$：已有 $R(A^{\mathrm H})\subseteq(N(A))^{\perp}$，两边维数都是 $\operatorname{rank}A$，相等。对偶版本 $\mathbb C^n=N(A^{\mathrm H})\oplus R(A)$ 合称四个基本子空间。