映射 $f:A\to B$ 给每个原像指定唯一像。单射：不同原像给不同像（等价写法 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$）；满射：值域 $=$ 陪域；双射：两者兼备（定义 2.1.2）。方向记号：单射看原像是否打架，满射看陪域是否被铺满——互不蕴含。易漏：无限集上「单射」与「满射」可以只成立一边（$\mathbb N\to\mathbb N$，$n\mapsto2n$ 是单不满）。

存在 $g:B\to A$ 使 $g\circ f=\mathrm{id}_A$ 且 $f\circ g=\mathrm{id}_B$，则称 $f$ 可逆、$g$ 为逆（定义 2.1.5）。可逆 $\iff$ 双射（定理 2.1.2），逆映射唯一（定理 2.1.1）。证明第一行（唯一性）：设 $g_1,g_2$ 都是逆，则 $g_1=g_1\circ(f\circ g_2)=(g_1\circ f)\circ g_2=g_2$——只靠结合律与两个复合等式。

可加性 $T(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=T\boldsymbol x+T\boldsymbol y$ 与齐次性 $T(k\boldsymbol x)=kT\boldsymbol x$ 缺一不可，且要求同一数域（定义 2.2.1）。等价形式：$T(a\boldsymbol x+b\boldsymbol y)=aT\boldsymbol x+bT\boldsymbol y$，进一步「保持任意线性组合」（定理 2.2.1）。$T(\boldsymbol\theta)=\boldsymbol\theta'$ 必成立（取 $k=0$），所以先算 $T(\boldsymbol\theta)$ 是否为零向量，是最快的否证法（推论 2.2.1）。

$N(T)=\{\boldsymbol x\in V\mid T\boldsymbol x=\boldsymbol\theta'\}\le V$（定义域一侧）；$R(T)=\{T\boldsymbol x\mid\boldsymbol x\in V\}\le W$（陪域一侧）（定理 2.2.4）。$T$ 单射 $\iff N(T)=\{\boldsymbol\theta\}$（定理 2.2.2）；满射 $\iff R(T)=W$。维数分别是零度与秩——只依赖 $T$，与基无关。

第 $j$ 列 $=$ 第 $j$ 个出发端基向量的像在到达端基下的坐标（定义 2.3.1）——是列不是行；依赖两组基（出发端 $\boldsymbol\varepsilon$、到达端 $\boldsymbol\eta$）。换基公式：$B=P^{-1}AQ$（左边管出发端、右边管到达端，注意「矩阵贴着旧基一侧」的口诀方向）；同一空间换同一组基（相似）时 $Q=P$，得 $B=P^{-1}AP$（定理 2.3.5、推论 2.3.4）。

同构映射：双射且 $T(a\boldsymbol x+b\boldsymbol y)=aT\boldsymbol x+bT\boldsymbol y$（定义 2.3.2）。有限维判别：维数相等（$n$ 维都同构于 $F^n$，推论 2.3.1、定理 2.3.3）。易漏前提：同一数域——$\mathbb C$ 作为 $\mathbb R$-空间与作为 $\mathbb C$-空间维数不同（2 与 1）；等势只是集合层面，不能替代维数。

矩阵版：存在非零向量 $\boldsymbol\alpha$ 使 $A\boldsymbol\alpha=\lambda\boldsymbol\alpha$（特征值与特征向量（矩阵，先修回顾） 2.4.1）——「非零」是定义的一部分；变换版：$T\boldsymbol\alpha=\lambda\boldsymbol\alpha$，$\boldsymbol\alpha\ne\boldsymbol\theta$（线性变换的特征值与特征向量 2.4.2）。互相翻译：矩阵给坐标、变换给向量本身——若题给变换而要求「特征向量」，解完坐标还要乘回基（求线性变换特征对的流程 最后一行，2.4）。

$V_\lambda=\{\boldsymbol x\mid T\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x\}=N(T-\lambda I)$，是子空间、包含零向量（特征子空间 2.4.3）。「特征向量全体」不是子空间——拿掉了零向量，加法也不封闭（两个特征向量之和可能不再是特征向量）。几何重数就是 $\dim V_\lambda$（几何重数的计算 2.4.6）。

几何重数 $=\dim V_\lambda$；代数重数 $=$ $\lambda$ 作为特征多项式根的重数（特征子空间 2.4.3、重数不等式 2.4.7）。恒有 $1\le$ 几何 $\le$ 代数（重数不等式 2.4.7）。判据：处处取等号 $\iff$ 可对角化；$n$ 个互异特征值是充分条件（不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5），不是必要条件。

实方阵 $A^{\mathrm T}A=I$；复方阵 $A^{\mathrm H}A=I$（正交矩阵与酉矩阵 2.5.1）。正交矩阵是实特例（实矩阵的 $A^{\mathrm H}=A^{\mathrm T}$）。列刻画：各列构成单位圆上的标准正交基——$A^{\mathrm T}A=I$ 的 $(i,j)$ 元即 $(\boldsymbol a_i,\boldsymbol a_j)$，逐元读出来就是「长度 1、两两正交」（列向量刻画 2.5.1）。

$T_{ij}$ 只在 $(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)$ 四个位置与单位阵不同，其余是单位块：在坐标平面 $(i,j)$ 内旋转（Givens 旋转矩阵 2.5.3）。用途：清零一个指定分量（分量清零 2.5.6）——选角使目标分量为零，可精确手算。$\det T_{ij}=+1$（旋转，Givens 矩阵的性质 2.5.5）。连乘：总变换 $T=T_k\cdots T_1$，作用顺序反着写（每次新的旋转左乘在总积外面）。

$H=I-2\boldsymbol\omega\boldsymbol\omega^{\mathrm T}$（$\|\boldsymbol\omega\|=1$），关于超平面 $\boldsymbol\omega^{\perp}$ 的镜像（Householder 矩阵 2.5.4）——不是投影（投影幂等且降秩，镜像可逆）。性质：对称 $H^{\mathrm T}=H$、对合 $H^2=I$、$\det H=-1$、保长度（正交矩阵）（Householder 矩阵的性质 2.5.7）。对准：取 $\boldsymbol\omega$ 为 $\boldsymbol x-\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1$ 方向的单位向量，则 $H\boldsymbol x=\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1$（用 Givens 把任意向量对准 $\boldsymbol{e}_1$ 的对偶版）。

定理 2.2.1：$T$ 线性 $\iff$ 对任意 $\boldsymbol x_i,k_i$ 有 $T(\sum k_i\boldsymbol x_i)=\sum k_iT\boldsymbol x_i$。证明格式：先证是映射（每个向量有唯一像），再验两条（可加、齐次）——「先证是映射、再验两条」（定理 2.2.1）。快捷否证：先算 $T(\boldsymbol\theta)$。

$T$ 单射 $\iff$ 对任意整组向量 $\boldsymbol x_1,\cdots,\boldsymbol x_m$：$\{T\boldsymbol x_i\}$ 线性无关 $\iff$ $\{\boldsymbol x_i\}$ 线性无关（定理 2.2.2）。前提：整组向量逐个检验（不是只看单个向量的 $T\boldsymbol x\ne\boldsymbol\theta$）。它把「映射层面的单射」翻译成「集合层面的无关性」，是判定可逆、构造同构、证亏加秩的通用引擎（去年考题就考它，见 2.2）。

$\dim N(T)+\dim R(T)=\dim V$（定理 2.2.5）。两半：① $R(T)=\operatorname{span}\{T(h_1),\cdots,T(h_r)\}$——取出发端一组基，核向量映零、其余像张成值域；② 这组像线性无关（若相关，组合落进核，与基的表示唯一性矛盾）。$\dim R(T)=r=\dim V-\dim N(T)$。课堂只证到 ① 的目标处下课，② 由本编补完（2.2.5）。

设 $\boldsymbol\varepsilon_1,\cdots,\boldsymbol\varepsilon_n$ 是 $V$ 的基，任给 $\boldsymbol\eta_1,\cdots,\boldsymbol\eta_n\in W$，则存在唯一线性映射 $T$ 使 $T\boldsymbol\varepsilon_j=\boldsymbol\eta_j$（定理 2.3.1）。存在：对任意 $\boldsymbol x=\sum x_j\boldsymbol\varepsilon_j$ 令 $T\boldsymbol x=\sum x_j\boldsymbol\eta_j$（表示唯一性保证良定义）；唯一：两个映射在基上相同 $\Rightarrow$ 处处相同。「造映射」的标准手法；反向用法：把目标矩阵反推成基像，解出基向量——2.4 的「设计基」考题就是它。

坐标公式：$\beta=A\alpha$，其中 $\alpha$ 是出发端坐标、$\beta$ 是到达端坐标（定理 2.3.4）——矩阵把抽象映射化成「列向量乘矩阵」。换基：$B=P^{-1}AQ$，$Q$ 把新出发端坐标送回旧出发端、$P^{-1}$ 把旧到达端坐标送进新到达端（定理 2.3.5）。「贴着旧基」的口诀：$A$ 始终读在旧基上，两侧的换基矩阵负责翻译新坐标（1.3 的同一口诀在矩阵版）。

$B=P^{-1}AP$ 保持：特征多项式（从而特征值含重数）、迹、行列式、秩（相似不变量 2.4.4）。证明入口：$\det(\lambda I-B)=\det\big(P^{-1}(\lambda I-A)P\big)=\det(\lambda I-A)$；迹用 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$；秩用「乘可逆矩阵不改变秩」。相似不变量清单是概念判断题的底本——做题先问「这个量变不变」。

属于互异特征值的特征向量组线性无关（不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5）。证明第一行：在 $\sum k_i\boldsymbol\alpha_i=\boldsymbol\theta$ 上作用 $T$，得 $\sum k_i\lambda_i\boldsymbol\alpha_i=\boldsymbol\theta$，与原式消项。推论：$n$ 阶方阵有 $n$ 个互异特征值时，特征向量凑满 $n$ 个、线性无关，直接拼成过渡矩阵即对角化——互异是充分不必要（重根也可对角化，只要几何重数够）。

可对角化 $\iff$ 每个特征值的几何重数 $=$ 代数重数（几何重数的计算 2.4.6、重数不等式 2.4.7）。设计基流程（设计基使矩阵为指定形式、求线性变换特征对的流程）：① 写出目标形式矩阵 $\Lambda$；② 反推 $T$ 在目标基上的像（$T\boldsymbol\varepsilon_j=$ 第 $j$ 列的组合）；③ 解方程解出基向量；④ 验算 $T$ 在新基下的过渡矩阵使 $A=P^{-1}\Lambda P$ 或直接核验 $T$ 的作用。考点提示：这是上一届考题（2.4 课堂原话）。

$A^m$ 特征值 $\lambda_i^m$；$A$ 可逆时 $A^{-1}$ 特征值 $\lambda_i^{-1}$（幂与逆的特征值 2.4.3）；一般 $\varphi(A)$ 特征值 $\varphi(\lambda_i)$（3.5 的谱映射 推论 3.5.1，用 Schur 型证明）——2.4 的版本是这条的先行特款。前提：特征值按同一特征向量对应，不能跨特征向量混搭；幂与逆只对相应特征值逐点作用。3.5 用三角化把散装的「幂 / 逆」一句话统一为「任何多项式」。

$A^{-1}=A^{\mathrm T}$（酉：$A^{-1}=A^{\mathrm H}$）；乘积仍正交（酉）；$\det A=\pm1$（酉：$|\det A|=1$）；特征值满足 $|\lambda|=1$（正交 / 酉矩阵的运算性质 2.5.2、正交矩阵特征值的模 2.5.3）。易错：实正交阵的特征值完全可以是复数（旋转阵 $\pm\mathrm i$），「模为 1」不等于「$\pm1$」——后者只在实特征值上成立（错误证明警示，考点注记 01:09:19）。

$T$ 正交（酉）$\iff$ 保内积 $\iff$ 保长度 $\iff$ 把标准正交基映为标准正交基 $\iff$ 矩阵满足 $A^{\mathrm H}A=I$（四条等价刻画 2.5.4）。「保内积 $\Rightarrow$ 保长度」显然；反向用极化恒等式：内积可由长度多项式表示，保长度逐项代入即保内积（复情形用两式组合）。对号入座时先看题给的是「变换」还是「矩阵」。

取 $\cos\varphi,\sin\varphi$ 使 $\binom{x_i\cos\varphi+x_j\sin\varphi}{\ -x_i\sin\varphi+x_j\cos\varphi}$ 的第二分量为零（即 $c=x_i/\sqrt{x_i^2+x_j^2}$、$s=x_j/\sqrt{x_i^2+x_j^2}$ 的适当符号组合）（分量清零 2.5.6、用 Givens 把任意向量对准 $\boldsymbol{e}_1$）。逐次清零时每一步都要用更新后的向量取角——不是原向量（这是最容易偷懒出错的地方，2.5 考情注记点名「变形点」）。

性质：对称、$H^2=I$、$\det H=-1$、正交（保范）（Householder 矩阵的性质 2.5.7）。取 $\boldsymbol\omega=\dfrac{\boldsymbol x-\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1}{\|\boldsymbol x-\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1\|}$，则 $H\boldsymbol x=\|\boldsymbol x\|\boldsymbol e_1$（用 Givens 把任意向量对准 $\boldsymbol{e}_1$ 的 Householder 版）。不是投影：投影满足 $P^2=P$ 且不可逆（降维），镜像 $H^2=I$ 可逆、只翻方向不改长度——判断题常拿「$H$ 是投影」当错项。