第一章始终围绕一个 线性空间展开：子空间、基与坐标、内积与正交。空间内部的结构理清了，下一个问题自然就是空间之间的关系——「上一章讲子空间的和与交，这一章讲两个空间之间的映射关系 」（录播 00:07:35）。本章的主角线性映射，正是这样一种关系，而它首先是一个映射；所以真正动手谈「线性」之前，得先把两件预备工作做足：一是映射的语言 （2.1.1：定义 2.1.1–2.1.6、定理 2.1.1–2.1.2，含无穷集合比大小这一经典应用），二是多项式的工具箱 （2.1.2：定义 2.1.7–2.1.11、定理 2.1.3——带余除法、公因式与公倍式、友矩阵）。前者为全章搭好说话的方式，后者是后面特征多项式与标准形要反复调用的零件。
平台与考核（据 00:02:06–00:07:35 口述，非数学内容，一句备忘）
课程平台（学习通）需电脑端 + 手机端各装一次并扫码加入；每章后题库中的「主要题」必做 ——「考试题基本上就是这个主要题……原理一样、是上面的变形」（00:04:26）；备选题比考试难。作业在学习通提交、手写拍照上传 ，AI 先批改、老师复核过程（作业发布时另行通知）。
「两个集合之间有对应」这句话要能检验，得先把它抽象成一个明确的对象——映射。一个映射由定义域、值域与对应法则三样东西共同确定，本节后面的每个概念，都在这三样之上做文章。
定义 2.1.1 · 映射
设 V , W V,W V , W 两个非空集合 。若存在 V V V W W W f f f V V V x x x W W W 唯一确定 的元素 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) f f f V V V W W W 映射 ，记 f : V → W f:V\to W f : V → W V V V f f f 定义域 。
y y y x x x f f f 像 ，x x x y y y 原像 ；当 V V V x x x f f f 全体 作为 W W W f f f 值域 ，记 R ( f ) R(f) R ( f )
三个易错点（老师逐条强调，00:08:46–00:11:00）
「唯一确定」是方向敏感的 ：每个 x x x 一个 y y y y y y 值域 R ( f ) ⊆ W R(f)\subseteq W R ( f ) ⊆ W W W W ：R ( f ) = W R(f)=W R ( f ) = W 定义域必须是整个 V V V ：不是「V V V x x x
映射的品质取决于三件事：不同的元素是否始终映到不同的像（单射）、值域能不能盖满整个 W W W
定义 2.1.2 · 单射、满射与双射
设 V V V W W W f f f V V V W W W
若对任意 x 1 , x 2 ∈ V x_1,x_2\in V x 1 , x 2 ∈ V x 1 ≠ x 2 x_1\neq x_2 x 1 = x 2 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1)\neq f(x_2) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f f f V V V W W W 单映射 （简称单射 ）；
若对任意 y ∈ W y\in W y ∈ W x ∈ V x\in V x ∈ V f ( x ) = y f(x)=y f ( x ) = y R ( f ) = W R(f)=W R ( f ) = W f f f V V V W W W 满映射 （简称满射 ）；
若映射 f f f f f f V V V W W W 一一映射 或双射 （简称双射 ）。
分清这三种性质之后，下一个问题是：两个映射在什么情况下算「同一个」？这个问题不先定下来，后面的复合与逆就无从谈唯一。
定义 2.1.3 · 映射相等
设 f 1 f_1 f 1 V 1 V_1 V 1 W 1 W_1 W 1 f 2 f_2 f 2 V 2 V_2 V 2 W 2 W_2 W 2 V 1 = V 2 V_1=V_2 V 1 = V 2 W 1 = W 2 W_1=W_2 W 1 = W 2 并且 对任意 x ∈ V 1 x\in V_1 x ∈ V 1 f 1 ( x ) = f 2 ( x ) f_1(x)=f_2(x) f 1 ( x ) = f 2 ( x ) f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 相等 ，记为 f 1 = f 2 f_1=f_2 f 1 = f 2
相等定下来，映射之间就能谈运算了：只要第一个映射的终点恰好是第二个映射的起点，两个映射就可以首尾相接，接成一个新的映射。
定义 2.1.4 · 映射乘积（复合映射）
设 V 1 , V 2 V_1,V_2 V 1 , V 2 V 3 V_3 V 3 f 1 f_1 f 1 V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 f 2 f_2 f 2 V 2 V_2 V 2 V 3 V_3 V 3 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 V 1 V_1 V 1 V 3 V_3 V 3 f 3 : x ↦ f 2 ( f 1 ( x ) ) f_3:x\mapsto f_2(f_1(x)) f 3 : x ↦ f 2 ( f 1 ( x )) x ∈ V 1 x\in V_1 x ∈ V 1 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 乘积 （又称复合映射 ），记为 f 3 = f 2 ⋅ f 1 f_3=f_2\cdot f_1 f 3 = f 2 ⋅ f 1 f 3 = f 2 f 1 f_3=f_2f_1 f 3 = f 2 f 1
顺序 （00:13:02 老师专门强调）：f 2 f 1 f_2f_1 f 2 f 1 先作用 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 ——「顺序不要写反。」
复合把两个映射接成一条链，但这条链只能单向走——作用之后还能不能原路返回？这就是逆映射要回答的问题。
定义 2.1.5 · 可逆映射
设有映射 f 1 : V → W f_1:V\to W f 1 : V → W f 2 : W → V f_2:W\to V f 2 : W → V
f 2 ⋅ f 1 = I V , f 1 ⋅ f 2 = I W f_2\cdot f_1=I_V,\qquad f_1\cdot f_2=I_W f 2 ⋅ f 1 = I V , f 1 ⋅ f 2 = I W
式中 I V : x ↦ x I_V:x\mapsto x I V : x ↦ x x ∈ V x\in V x ∈ V V V V 恒等映射 ，I W I_W I W W W W f 2 f_2 f 2 f 1 f_1 f 1 逆映射 ，记为 f 1 − 1 f_1^{-1} f 1 − 1 f 1 f_1 f 1 f 1 f_1 f 1 可逆映射 。
「I V I_V I V I W I_W I W
I V : V → V I_V:V\to V I V : V → V I W : W → W I_W:W\to W I W : W → W 定义域不同 ——按 定义 2.1.3 ，映射相等要求定义域一致，故 I V ≠ I W I_V\neq I_W I V = I W
定理 2.1.1 · 逆映射唯一
设映射 f : V → W f:V\to W f : V → W f f f f − 1 f^{-1} f − 1 唯一 的。
证明（课堂给出结论，此处补全）
设 g 1 , g 2 g_1,g_2 g 1 , g 2 f f f
g 1 = g 1 ⋅ I W = g 1 ⋅ ( f ⋅ g 2 ) = ( g 1 ⋅ f ) ⋅ g 2 = I V ⋅ g 2 = g 2 g_1=g_1\cdot I_W=g_1\cdot(f\cdot g_2)=(g_1\cdot f)\cdot g_2=I_V\cdot g_2=g_2 g 1 = g 1 ⋅ I W = g 1 ⋅ ( f ⋅ g 2 ) = ( g 1 ⋅ f ) ⋅ g 2 = I V ⋅ g 2 = g 2
（用了复合的结合律与恒等映射的性质）。故逆映射唯一。∎
∎ 定理 2.1.2 · 可逆的判别
设映射 f : V → W f:V\to W f : V → W 充分必要条件 是 f f f 双射 。此时还有复合的逆序公式：对可复合的 f 1 , f 2 f_1,f_2 f 1 , f 2
( f 2 ⋅ f 1 ) − 1 = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1 . (f_2\cdot f_1)^{-1}=f_1^{-1}\cdot f_2^{-1}. ( f 2 ⋅ f 1 ) − 1 = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1 .
证明（四条，课堂上给了大意，此处补全）
单射 + 满射 ⟹ 逆存在 ：定义 g : W → V g:W\to V g : W → V g g g y ∈ W y\in W y ∈ W g g g W W W g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g ( f ( x )) = x f ( g ( y ) ) = y f(g(y))=y f ( g ( y )) = y g = f − 1 g=f^{-1} g = f − 1
逆存在 ⟹ 单射 ：若 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f(x_1)=f(x_2) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f − 1 f^{-1} f − 1 x 1 = x 2 x_1=x_2 x 1 = x 2
逆存在 ⟹ 满射 ：∀ y ∈ W \forall y\in W ∀ y ∈ W x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x = f − 1 ( y ) f ( x ) = y f(x)=y f ( x ) = y R ( f ) = W R(f)=W R ( f ) = W
逆序公式 ：记 h = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1 h=f_1^{-1}\cdot f_2^{-1} h = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1
h ⋅ ( f 2 ⋅ f 1 ) = f 1 − 1 ⋅ ( f 2 − 1 ⋅ f 2 ) ⋅ f 1 = f 1 − 1 ⋅ I ⋅ f 1 = I V , h\cdot(f_2\cdot f_1)=f_1^{-1}\cdot(f_2^{-1}\cdot f_2)\cdot f_1=f_1^{-1}\cdot I\cdot f_1=I_V, h ⋅ ( f 2 ⋅ f 1 ) = f 1 − 1 ⋅ ( f 2 − 1 ⋅ f 2 ) ⋅ f 1 = f 1 − 1 ⋅ I ⋅ f 1 = I V ,
同理 ( f 2 ⋅ f 1 ) ⋅ h = I (f_2\cdot f_1)\cdot h=I ( f 2 ⋅ f 1 ) ⋅ h = I 定理 2.1.1 的唯一性得 ( f 2 ⋅ f 1 ) − 1 = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1 (f_2\cdot f_1)^{-1}=f_1^{-1}\cdot f_2^{-1} ( f 2 ⋅ f 1 ) − 1 = f 1 − 1 ⋅ f 2 − 1 顺序颠倒的直觉 ：脱衣服要「先穿的后脱」。∎
∎ 映射的语言到这里已经齐备：相等让「两个映射是同一个」这种说法有依据，复合把映射串起来，可逆则回答了「何时能撤销」。最后把出现得最多的一类映射单独命名——定义域与值域是同一个集合的映射。
定义 2.1.6 · 变换
设 V V V V V V 自身 的映射称为 V V V 变换 ；V V V V V V 一一变换 ；若 V V V V V V V V V 置换 。
「这个考试考过」（00:15:49）
老师原话：「变换这个概念之前好像还没介绍过，而且考试考过 。」要点有三：① 「变换」= 定义域与值域同一个 集合的特殊映射；② 「一一变换」= 变换 + 双射；③ 有限集的一一变换另有名字「置换 」。后面「线性变换」（W = V W=V W = V 定义 2.2.1 ）是本章第一个重点，判题时先看是不是 V → V V\to V V → V 。
定理 2.1.2 让双射与可逆画上了等号；双射还有第二个用处——它让「两个集合一样多」这句话对无穷集合也有了意义。「映射有一个非常重要的作用 ，就是判断两个无穷集合的大小」（00:16:10）。无穷集合不能靠「数个数」比大小（「无穷减无穷」没有意义），正确做法是构造双射 。
定义 2.1.1 · 等势
若存在双射 f : A → B f:A\to B f : A → B A A A B B B 等势 （equipotent），记 A ∼ B A\sim B A ∼ B
例 2.1.A（课件原文）· N ∼ Z \mathbb N\sim\mathbb Z N ∼ Z
定义函数 f : N → Z f:\mathbb N\to\mathbb Z f : N → Z
f ( n ) = { n 2 , n 为偶数 , − n + 1 2 , n 为奇数 . f(n)=\begin{cases}\dfrac{n}{2}, & n\ \text{为偶数},\\[4pt] -\dfrac{n+1}{2}, & n\ \text{为奇数}.\end{cases} f ( n ) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 n , − 2 n + 1 , n 为偶数 , n 为奇数 .
课件逐项算出：f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = − 1 , f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = − 2 , f ( 4 ) = 2 , f ( 5 ) = − 3 , f ( 6 ) = 3 , … f(0)=0,\ f(1)=-1,\ f(2)=1,\ f(3)=-2,\ f(4)=2,\ f(5)=-3,\ f(6)=3,\dots f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = − 1 , f ( 2 ) = 1 , f ( 3 ) = − 2 , f ( 4 ) = 2 , f ( 5 ) = − 3 , f ( 6 ) = 3 , … Z \mathbb Z Z 0 ↔ 0 , 1 ↔ − 1 , 2 ↔ 1 , 3 ↔ − 2 , 4 ↔ 2 , … 0\leftrightarrow 0,\ 1\leftrightarrow-1,\ 2\leftrightarrow 1,\ 3\leftrightarrow-2,\ 4\leftrightarrow 2,\dots 0 ↔ 0 , 1 ↔ − 1 , 2 ↔ 1 , 3 ↔ − 2 , 4 ↔ 2 , … ∥ \parallel ∥ N ∥ Z ∥ Q \mathbb N\parallel\mathbb Z\parallel\mathbb Q N ∥ Z ∥ Q
N ∼ Z \mathbb N\sim\mathbb Z N ∼ Z Z ⊋ N \mathbb Z\supsetneq\mathbb N Z ⊋ N 「部分小于整体」在无穷集合上失效 ，这正是不能用数数法比大小的原因。
例 2.1.B（新增）· 有理数可数
N ∼ Q \mathbb N\sim\mathbb Q N ∼ Q 1 / 1 1/1 1/1 2 / 1 , 1 / 2 2/1,1/2 2/1 , 1/2 3 / 1 , 2 / 2 , 1 / 3 3/1,2/2,1/3 3/1 , 2/2 , 1/3 i + j i+j i + j 对角线列举法 ），跳过可约分数即可得到 N \mathbb N N 0 0 0 例 2.1.A 的交替法插入。结论：「前三个集合 N , Z , Q \mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q N , Z , Q
实数不可数（课件注「课后自行了解」，00:20:44–00:21:08）
老师课堂原话是「实数的元素个数多于有理数，因为实数里还包括无理数」——这句话作为理由是不成立的 ，恰好踩了本小节刚强调的坑：「包含关系」在无穷集合上不 蕴含「元素更多」（回忆 Z ⊋ N \mathbb Z\supsetneq\mathbb N Z ⊋ N Z ∼ N \mathbb Z\sim\mathbb N Z ∼ N 康托对角线法 ：假设 [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) x i = 0. x i 1 x i 2 x i 3 ⋯ x_i=0.x_{i1}x_{i2}x_{i3}\cdots x i = 0. x i 1 x i 2 x i 3 ⋯ y = 0. y 1 y 2 y 3 ⋯ y=0.y_1y_2y_3\cdots y = 0. y 1 y 2 y 3 ⋯ y i y_i y i x i i x_{ii} x ii y y y x i x_i x i i i i
一个容易漏掉的补丁： 十进小数表示不唯一（0.4999 ⋯ = 0.5 0.4999\cdots=0.5 0.4999 ⋯ = 0.5 每位只从两个数字里挑 ，例如规定「x i i ≠ 1 x_{ii}\neq1 x ii = 1 y i = 1 y_i=1 y i = 1 y i = 2 y_i=2 y i = 2 y y y 9 9 9 x i x_i x i
康托对角线法当堂未讲，留作课后自学 ——这条留白是本节的钩子，不是考点。但请记住：结论对，理由不能照抄课堂那句话 。
映射的预备到此完成，接下来补上第二件：多项式。在第一章里，多项式只是线性空间的一个例子（P n ( x ) P_n(x) P n ( x )
「这些都是我们以前学过的，不再细讲证明」（00:21:13），本节按课件要点清点工具箱。
定义 2.1.7 · 一元多项式
设 F F F n n n λ \lambda λ
g ( λ ) = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 g(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0 g ( λ ) = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0
其中 a i ∈ F a_i\in F a i ∈ F i = 0 , 1 , ⋯ , n i=0,1,\cdots,n i = 0 , 1 , ⋯ , n F F F 一元多项式 。如果 a n ≠ 0 a_n\neq0 a n = 0 a n λ n a_n\lambda^n a n λ n 首项 ，n n n g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) 次数 ，记为 deg ( g ( λ ) ) = n \deg(g(\lambda))=n deg ( g ( λ )) = n a n a_n a n g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) a n = 1 a_n=1 a n = 1 g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) 首 1 多项式 （首一多项式）。
零多项式是唯一的例外。 所有系数全为 0 0 0 g ( λ ) = 0 g(\lambda)=0 g ( λ ) = 0 零多项式 ，它不定义次数 （也不谈首项与首项系数、不谈首一）——因为上面每一条都要求某个 a n ≠ 0 a_n\neq0 a n = 0 定理 2.1.3 里余式 q ( λ ) = 0 q(\lambda)=0 q ( λ ) = 0 定义 2.1.11 ）的「首一」要求也只在非零多项式上才有意义。为便于陈述，下文凡写 deg g \deg g deg g g ≠ 0 g\neq0 g = 0
工具箱的第一件是带余除法。它把「除不尽」的情形也纳入一套确定的算式，并强制余式的次数严格低于除式——后面反复要用的，正是这个「次数下降」。
定理 2.1.3 · 带余除法
设 g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) F F F h ( λ ) ≠ 0 h(\lambda)\neq0 h ( λ ) = 0 唯一 的多项式 p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) q ( λ ) q(\lambda) q ( λ )
g ( λ ) = p ( λ ) h ( λ ) + q ( λ ) , g(\lambda)=p(\lambda)h(\lambda)+q(\lambda), g ( λ ) = p ( λ ) h ( λ ) + q ( λ ) ,
式中 q ( λ ) = 0 q(\lambda)=0 q ( λ ) = 0 deg ( q ( λ ) ) < deg ( h ( λ ) ) \deg(q(\lambda))<\deg(h(\lambda)) deg ( q ( λ )) < deg ( h ( λ ))
余式为零是带余除法中一个特别干净的情形，值得单独命名。
定义 2.1.8 · 多项式整除
设 g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) F F F p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) g ( λ ) = p ( λ ) h ( λ ) g(\lambda)=p(\lambda)h(\lambda) g ( λ ) = p ( λ ) h ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) 整除 g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) ∣ g ( λ ) h(\lambda)\mid g(\lambda) h ( λ ) ∣ g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) 因式 ，g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) 倍式 。
为什么这一个定理撑起整个多项式理论
带余除法是多项式版的「除法算式」，它保证「余式次数严格下降」——辗转相除法求最大公因式、判定互素、乃至后面证明「λ 0 \lambda_0 λ 0 ⟺ ( λ − λ 0 ) ∣ f ( λ ) \iff(\lambda-\lambda_0)\mid f(\lambda) ⟺ ( λ − λ 0 ) ∣ f ( λ ) 唯一性 同样重要：它让「余式」成为可计算的确定对象。
整除把「因式」与「倍式」这两个词定了下来，接下来自然要问：两个多项式之间有没有共同的因式、共同的倍式？
定义 2.1.9 / 2.1.10 · 公因式与公倍式
设 g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) F F F
若多项式 p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) 公因式 （定义 2.1.9）；
若多项式 p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) p ( λ ) p(\lambda) p ( λ ) g ( λ ) g(\lambda) g ( λ ) h ( λ ) h(\lambda) h ( λ ) 公倍式 （定义 2.1.10）。
（补注 ：课件未展开「最大公因式 / 互素」的完整定义，但其后讨论矩阵与多项式的互素性、互素多项式矩阵时都要用到；标准定义与性质见 勘误与补注 的一处补注。）
工具箱的最后一件跨出了多项式：把一个多项式的系数整编成一个矩阵，多项式的问题从此可以交给矩阵来处理。
定义 2.1.11 · 友矩阵（伴侣矩阵）
设 f ( λ ) f(\lambda) f ( λ ) F F F
f ( λ ) = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 , f(\lambda)=\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0, f ( λ ) = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 ,
定义 n n n
A = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 − a 0 − a 1 − a 2 ⋯ − a n − 1 ] 或 A = [ 0 0 ⋯ 0 − a 0 1 0 ⋯ 0 − a 1 0 1 ⋯ 0 − a 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 − a n − 1 ] A=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots&-a_{n-1}\end{bmatrix} \quad\text{或}\quad A=\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{n-1}\end{bmatrix} A = 0 0 ⋮ 0 − a 0 1 0 ⋮ 0 − a 1 0 1 ⋮ 0 − a 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ 1 − a n − 1 或 A = 0 1 0 ⋮ 0 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋮ 1 − a 0 − a 1 − a 2 ⋮ − a n − 1
称为多项式 f ( λ ) f(\lambda) f ( λ ) 友矩阵 （或伴侣矩阵 ）。f ( λ ) f(\lambda) f ( λ ) A A A
为什么这个矩阵出现在「预备知识」
友矩阵是「把多项式的全部系数信息打包成一个矩阵」的标准做法——它将多项式的因式分解信息编码进矩阵的特征结构 。将来讨论特征值与特征向量（2.4）、矩阵相似与标准形时，它是主角：f f f 0 0 0 f f f g g g A A A ker g ( A ) \ker g(A) ker g ( A )
一条主线 ：映射的三要素（定义域、值域、法则）→ 单 / 满 / 双射 → 相等与复合（顺序！）→ 可逆（逆唯一 定理 2.1.1 ；可逆 ⟺ 双射 定理 2.1.2 ）→ 变换与置换 → 用双射量无穷集合（N ∼ Z ∼ Q \mathbb N\sim\mathbb Z\sim\mathbb Q N ∼ Z ∼ Q 定理 2.1.3 、整除 定义 2.1.8 、公因式 / 公倍式、友矩阵 定义 2.1.11 。一个视角 ：「等势」把「一样多」翻译成「存在双射」——映射是计数概念的推广 。
常见错误清单 · 自查三条
判「是不是映射」只看有没有对应、不查唯一性 （如「取平方根」在 R \mathbb R R
复合与逆的顺序想当然——f 2 f 1 f_2f_1 f 2 f 1 f 1 f_1 f 1 ( f 2 f 1 ) − 1 = f 1 − 1 f 2 − 1 (f_2f_1)^{-1}=f_1^{-1}f_2^{-1} ( f 2 f 1 ) − 1 = f 1 − 1 f 2 − 1
把「变换」当任意映射——它要求定义域 = 值域 ；「置换」还额外要求集合有限，这两个条件都要在。
即时自测（不看上文，3 分钟）
写出 例 2.1.A 的 f ( 9 ) f(9) f ( 9 ) f ( 10 ) f(10) f ( 10 ) f f f
判断：若有两个映射 g : W → V g:W\to V g : W → V f : V → W f:V\to W f : V → W f ⋅ g = I W f\cdot g=I_W f ⋅ g = I W g ⋅ f = I V g\cdot f=I_V g ⋅ f = I V f f f
什么是首一多项式？友矩阵的两种形状差在什么位置？
说出「变换」「一一变换」「置换」三个概念的区别。
解答 · 即时自测
f ( 9 ) = − ( 9 + 1 ) / 2 = − 5 f(9)=-(9+1)/2=-5 f ( 9 ) = − ( 9 + 1 ) /2 = − 5 f ( 10 ) = 5 f(10)=5 f ( 10 ) = 5 Z \mathbb Z Z 是；按 定义 2.1.5 ，g g g f f f g = f − 1 g=f^{-1} g = f − 1 定理 2.1.2 f f f
首项系数为 1 的多项式；两种形状分别是「上次对角线为 1、最后一行 为系数」与「次对角线为 1、最后一列 为系数」，互为转置。
变换 = V → V V\to V V → V V → V V\to V V → V 有限集 上的一一变换。