勘误与补注（对照课件与口述）

本页汇总第二章的三类差异：口述转写校正、课件与素材的核对说明、课件留白 / 笔误处的补注。引用前请按此核对。

素材批次说明（三批）：2.1–2.2 依据第 3 周录播（2026-09-22）与配套课件；2.3 只有课件、无录播（《2.3 矩阵与同构》25 页，文字版 PDF，现存 _sources/matrix/），故各条为课件勘误、不涉及口述；2.4–2.5 只有第 5 周录播（2026-10-08）的转录、官方课件尚未入库，故其勘误以口述转写订正为主，逐条列在 2.4 / 2.5 的页内勘误框里，本页不重复。

一、课件留白处的一处补注：最大公因式与互素

课件给出定义 2.1.9（公因式）与定义 2.1.10（公倍式）后未展开「最大公因式 / 互素」的完整定义，但后续（若尔当标准形、多项式矩阵、 $\lambda$ -矩阵的初等因子）都以此为语言。补注如下（与第一章配套）——今后讨论「两多项式互素」「 $f$ 与 $f'$ 互素 ⟺ $f$ 无重根」时直接引用。

补注 · 最大公因式与互素

设 $g,h\in F[\lambda]$ 不全为零。若 $d\in F[\lambda]$ 满足：

$d\mid g$ 、 $d\mid h$ （是公因式）；
$g,h$ 的任一公因式都整除 $d$ （最大性，按整除关系而非「次数最大」）；

则称 $d$ 为 $g,h$ 的最大公因式，记 $d=(g,h)$ 。最大公因式在相差非零常数倍的意义下唯一（取首一者即唯一）；其存在性由辗转相除法给出，且存在 $u,v\in F[\lambda]$ 使

$u(\lambda)g(\lambda)+v(\lambda)h(\lambda)=(g,h)\qquad(\text{Bezout 等式}).$

当 $(g,h)=1$ 时称 $g,h$ 互素——等价于 $\gcd$ 意义下无公共因式，也等价于存在 $u,v$ 使 $ug+vh=1$ 。

二、素材核对的两处说明

友矩阵为定义 2.1.11（2.1-预备知识.pdf 第 11 页原文，本编定义 2.1.11 照录）。两处形状「上次对角线为 1、最后一列系数」与「次对角线为 1、最后一列系数」互为转置，课件并列给出、未指定唯一形式——写答案时二者皆可，但必须前后一致。
若尔当块未出现在 2.1 课件中：早期素材整理曾把「若尔当块」与友矩阵并列收入 2.1 节；经逐页核对三份官方课件确认，2.1 课件只出现友矩阵（第 11 页），若尔当块是后续讨论标准形时的话题。本编因此未收若尔当块，以免与后续小节重复。

三、口述转写校正对照（录播 → 标准术语）

平台 ASR 错字极多，下表汇总本编正文引用时已纠正的系统性误识：

转写/口误	实际含义
现金映射 / 先行论述	线性映射
双色	双射
单色 / 单磁轮	单射
零远处	零元素（零向量）
为数	维数
平移 → 「评理」	平移
变换 → 「磁罐」	变换
邮局针	若尔当
大 G（迭代语境）	迭代矩阵 $G$ （本课程属数值分析，误入无关）
$\mathcal L(V,W)$ 的读法	「 $L$ 、 $V$ 、 $W$ 」（英文 linear）

另注：转录稿 00:04:59–00:06:43、00:10:41、00:12:16、00:37:01、00:55:16、01:09:03–01:09:31、01:10:22 等段落 ASR 崩溃，不要按字面引用；本编相应位置均以课件与板书为准。

四、两处「考试信号」备忘

录播中有两句关于考试的原话，正文已标注、此处再集中提醒：

00:15:49「（变换这个概念）考试考过」——「变换 / 一一变换 / 置换」三词辨析要练熟；
00:53:38「这道题去年考试考过」——例题 2.2.7（由基定义的线性变换）的两步法（先证是映射、再证线性）是标准答题格式。

五、2.3 课件的三处勘误与两处补注（无录播，逐页核对）

以下各条均逐页核对课件原文（《2.3 矩阵与同构》）后列出，正文相应位置已标注。编号沿用本页体例（E2.x）。

E2.1 · 「定理 2.3.6(2)」的证明省略了关键一句

课件对 $\dim R(T)=\dim R(A)=\operatorname{rank}A$ 的证明写道：「假设 $T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_r)$ 为 $R(T)$ 的一组基，易得 $A_1,\cdots,A_r$ 线性无关，且 $A_i$ （ $i=r+1,\cdots,n$ ）可由 $A_1,\cdots,A_r$ 线性表出。」其中 $A_i$ 未加说明——按上下文它指「矩阵 $A$ 的第 $i$ 列」。漏掉这句（以及「取坐标是同构映射，故无关性可以平移」的论证），整个证明无从对照。

本编处理：在定理 2.3.6 的证明框中给出完整版本（含 $R(T)\to R(A)$ 的同构映射构造），并在正文以 errata 框标出此处，见 2.3.5。

E2.2 · 「例 2.3.5」默认了

a_0\neq0

课件写差分方程的 $k$ 取 $0,\pm1,\pm2,\cdots$ ，并断言「当 $x_0$ 给定，序列 $\{u_k\}$ 唯一确定」——这句话默认了 $a_0\neq0$ （ $a_0=0$ 时友矩阵奇异，反方向无法唯一还原）。

本编处理：完整说明与改正见例 2.3.5 解答后紧随的勘误框，此处不重复；引用时补上「设 $a_0\neq0$ 」即可，只讨论正方向（ $k\ge0$ ）则无此要求。

E2.3 · 课件未给「例 2.3.3」的答案

课件仅提问「求 $T$ 在基 $\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵」，未给答案。本编补： $T$ 的矩阵恰是由 $\varepsilon$ 到 $\eta$ 的过渡矩阵 $P$ （例 2.3.3），这一步把「坐标不能直接搬用」的几何直觉（2.2）变成了可计算的结论。

补注 · 「整数集与偶数集同构」这句注记该怎么读

课件在定义 2.3.2 旁标注「整数集与偶数集同构」。注意它说的是集合层面的等势（ $n\leftrightarrow2n$ ，定义 2.1.1），而不是线性空间的同构——后者还要求保持加法与数乘。正文已在定义 2.3.2 后辨析：同构 $=$ 等势 $+$ 保持线性运算，判别依据是维数相等（定理 2.3.3）而非元素个数。

补注 · 相抵与相似的关系

课件注 1、注 2 分别给出相抵（ $A\cong B$ ）与相似（ $B=P^{-1}AP$ ），但未点明两者的关系（因为这需要 2.3.4 的矩阵语言与「秩」的完整理论）：

相似必相抵： $B=P^{-1}AP$ 就是取 $Q=P$ 的相抵（同一组基的两侧也用同一个 $P$ ）；
相抵未必相似：相抵允许两侧用不同的可逆矩阵（ $B=P^{-1}AQ$ ， $P,Q$ 独立），且不要求同阶方阵—— $2\times3$ 矩阵也谈相抵，但只有同阶方阵才谈相似；
对应到映射：相抵 $=$ 同一个线性映射 + 出发 / 到达两组基各自换（甚至可以是同秩的另一个映射）；相似 $=$ 同一个线性变换（ $V\to V$ ）+ 同一个空间的两组基。