2.5 正交变换与酉变换

第一章给内积空间装上了「长度与角度」；本节研究把它们完整保下来的线性变换。判据出乎意料地简单：只要保住内积这一个量，长度、角度、标准正交基便全部自动保住——这就是「四条等价刻画」定理，本节的主干（课堂用了整整半小时逐条证明，并两次停下来纠正展开过程中的共轭错误）。理论之后是两个「造正交矩阵的工厂」：Givens 旋转每次只动两个坐标分量，把向量的分量一个个清零；Householder 反射让整个向量照一次镜子，一步到位。它们都是后续 QR 分解与数值线性代数的地基。

素材与说明

本页依据第 5 周星期 4 第 6,7 节录播（2026-10-08，王振乾，1:39:09，第 5 周转录稿 00:32:33–01:36:01）整理。该讲官方课件尚未入库，本页不沿用课件编号，盒子自动编号；课堂口述标注时间戳。老师在本节多次给出考试信号：正交矩阵特征值问题（01:09:19 起）、Givens 矩阵「过去三四年没考过、但更早年份考过且容易变形」（01:14:16–01:14:54）、Householder 性质「在之前的考试中考过」（01:31:37）。

2.5.1 正交矩阵与酉矩阵

在讨论变换之前，先把矩阵这一侧的名字定下来：能完整保住内积的实方阵与复方阵，各有一个专门的称呼。

正交矩阵与酉矩阵 2.5.1

设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵。若

$A^{\mathrm T}A=I,$

则称 $A$ 为正交矩阵。设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵。若

$A^{\mathrm H}A=I,$

则称 $A$ 为酉矩阵（实矩阵的 $A^{\mathrm H}=A^{\mathrm T}$ ，故正交矩阵是酉矩阵的实特例）。

$A^{\mathrm T}$ 是转置、 $A^{\mathrm H}$ 是共轭转置（见符号表）。两类矩阵「有非常多的相似性」（00:15:25），差别只在实与复——往下凡是两类都有的性质，都并列写出这一对版本，实矩阵那一版把 $\mathrm H$ 换成 $\mathrm T$ 即可。

定义 $A^{\mathrm T}A=I$ 是个矩阵等式，看不出列向量受什么约束。第一个刻画就从这里下手——把乘积的 $(i,j)$ 元读出来，答案立刻显形：

列向量刻画 2.5.1

设 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ，其列向量为 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n$ 。则

$A\ \text{是正交矩阵}\iff \boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n\ \text{是}\ \mathbb{R}^n\ \text{的一组标准正交基}$

（对行向量组同样成立；酉矩阵的刻画把「标准正交基」换成 $\mathbb{C}^n$ 中按 $A^{\mathrm H}A=I$ 的版本）。

证明

$A^{\mathrm T}A$ 的 $(i,j)$ 元恰是 $(\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j)=\boldsymbol{a}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{a}_i$ 。于是 $A^{\mathrm T}A=I$ 说的正是：各列长度为 $1$ 、两两正交。 $n$ 个两两正交的非零向量自动线性无关（定理 1.5.2），故是 $\mathbb{R}^n$ 的基。反过来，若各列已构成标准正交基，上面每个内积都取 $\delta_{ij}$ ，逐元读回去就得到 $A^{\mathrm T}A=I$ 。

∎

课堂原话（01:13:12–01:14:04）：「 $A$ 的 $n$ 个列向量就构成了 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基……这是一个当且仅当的关系。」

把正交矩阵放在一起看，还要追问它们作为集合的整体结构：能不能相乘、能不能求逆、转置之后还是不是正交矩阵——这三问的答案就是下面的运算性质，也是后面比较两个「工厂」行列式的依据。

正交 / 酉矩阵的运算性质 2.5.2

设 $A,B$ 同为 $n$ 阶正交（酉）矩阵，则：

$A$ 可逆，且 $A^{-1}=A^{\mathrm T}$ （酉： $A^{-1}=A^{\mathrm H}$ ）；
$AB$ 仍是正交（酉）矩阵； $A^{\mathrm T}$ （酉： $A^{\mathrm H}$ ）与 $A^{-1}$ 亦然；
$\det A=\pm1$ （酉： $|\det A|=1$ ）。

证明

$A^{\mathrm T}A=I$ 直接给出可逆性与逆的形状；
$(AB)^{\mathrm T}(AB)=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T}AB=B^{\mathrm T}B=I$ ，其余同理；
取行列式： $\det(A^{\mathrm T}A)=(\det A)^2=1$ ，故 $\det A=\pm1$ ；酉情形 $|\det A|^2=1$ ，故模为 $1$ 。

∎

课堂逐条列出（01:10:04–01:10:29）：「行列式必为 $\pm1$ 」「特征值的模值为 $1$ 」「转置仍为正交」「乘积仍为正交」。

清单里「特征值的模值为 $1$ 」一条离「特征值一定是 $\pm1$ 」只有一步之遥，而后一句是错的——这正是本讲明确的考点（01:09:19 起）。正确命题与需要提防的错误证明如下：

正交矩阵特征值的模 2.5.3

设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵（酉矩阵同）， $\lambda$ 是其任一特征值，则 $|\lambda|=1$ 。但 $\lambda$ 未必是实数，更未必是 $\pm1$ ；即使 $A$ 是实矩阵，也可能取到复特征值。

证明

设 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}$ （列向量属于 $\mathbb{C}^n$ ）。用共轭转置计算长度：

$\|A\boldsymbol{x}\|^2=(A\boldsymbol{x})^{\mathrm H}(A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm H}A^{\mathrm H}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{\mathrm H}\boldsymbol{x}=\|\boldsymbol{x}\|^2,$

又 $\|A\boldsymbol{x}\|^2=\|\lambda\boldsymbol{x}\|^2=|\lambda|^2\|\boldsymbol{x}\|^2$ 。除以 $\|\boldsymbol{x}\|^2>0$ 得 $|\lambda|=1$ 。

∎

错误证明警示（课堂原样演示）

错误论证：由 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ 两边取转置得 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}A^{\mathrm T}=\lambda\boldsymbol{x}^{\mathrm T}$ ，两式相乘

$\boldsymbol{x}^{\mathrm T}A^{\mathrm T}A\boldsymbol{x}=\lambda^2\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}\implies \boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}=\lambda^2\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}\implies \lambda^2=1\implies\lambda=\pm1 .$

错在哪： $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}$ 对复向量不是正数——课堂上举的反例是 $\boldsymbol{x}=(1,i)^{\mathrm T}$ ， $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}=1+i^2=0$ （01:12:00–01:12:18）——所以「两边约去 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}$ 」不合法；而且 $\lambda^2=1$ 只在 $\lambda$ 为实数时才给出 $\lambda=\pm1$ 。纪律：在未确认特征值为实数之前，长度计算一律用共轭转置 $\boldsymbol{x}^{\mathrm H}\boldsymbol{x}$ ，不用转置（01:12:21–01:12:44）。实矩阵完全可以有复特征值，例如平面旋转 $\left[\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right]$ 的特征值是 $\pm i$ 。

实方阵不一定有

n

个实特征值

老师在引入处特意打了问号（00:34:03–00:35:16）：「 $n$ 阶实方阵，它不一定有 $n$ 个实特征值……即使是正交矩阵也不一定。」这也解释了实矩阵为什么能取到复特征值。这条事实在后续谱理论中会反复用到：在 $\mathbb{C}$ 里数特征值（计重数）永远是 $n$ 个，在 $\mathbb{R}$ 里则可能「缺货」。

2.5.2 正交变换与酉变换：四条等价刻画

上一小节的名字是给矩阵起的；回到抽象的线性变换，同样的性质需要一个「变换版」的定义。定义方式有得选——可以要求它保长度，也可以要求它在标准正交基下的矩阵正交——本节把定义押在「保内积」上，另外两条留作等价刻画，这正是下面主定理的形状：

正交变换与酉变换 2.5.2

设 $V$ 是欧氏空间（实内积空间）， $T\in L(V)$ 。若 $T$ 保持内积不变：

$(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\qquad\forall\,\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,$

则称 $T$ 为正交变换。酉空间（复内积空间）上保持内积的线性变换称为酉变换。

老师强调这个定义「是以内积不变来定义的」（00:33:50），而不是用「保长度」或「矩阵正交」——那两条要留到等价刻画里去证明。还要先固定本教程的内积约定：对第一变元线性、对第二变元共轭线性（符号表）。下面从第二变元提出复数要取共轭，根子就在这一条。

四条等价刻画 2.5.4

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间（酉空间同样，将 $\mathrm T$ 换成 $\mathrm H$ ）， $T\in L(V)$ 。以下四条等价：

$T$ 是正交（酉）变换： $(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ 对一切 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ ；
$T$ 保长度： $\|T\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|$ 对一切 $\boldsymbol{x}$ ；
$T$ 把任一组标准正交基映为标准正交基：若 $\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n$ 是标准正交基，则 $T\boldsymbol{q}_1,\cdots,T\boldsymbol{q}_n$ 也是；
$T$ 在（任一组）标准正交基下的矩阵是正交（酉）矩阵。

下面按 1 → 2 → 3 → 4 → 3 → 1 的环把四条全部证明（00:35:58–01:09:08）：最后一段先把 ④ 补回 ③，再由「④+③」一起回到 ①。老师强调「同学们一定要自己推一遍」（01:04:11）——这条链本身，就是本节最值得动笔的练习。

①⟹②（00:36:04–00:37:00）

取 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}$ ： $\|T\boldsymbol{x}\|^2=(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{x})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=\|\boldsymbol{x}\|^2$ ，开方即得。

∎

②⟹③（00:37:04–00:56:19，极化技巧）

这一步要把「保长度」挤回「保内积」，难点在于长度只描述单个向量：单个向量的长度只给出「自己与自己」的信息，展开式里根本没有交叉项。技巧就是把两个基向量打包成 $\boldsymbol{q}_i+t\boldsymbol{q}_j$ 再比较长度，让交叉项露头。已知 $T$ 线性且保长度，对标准正交基中的两个向量 $\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j$ 与任意复数 $t$ （ $|t|=1$ ），考察 $T(\boldsymbol{q}_i+t\boldsymbol{q}_j)$ 的长度，按本教程约定展开（第一变元线性、第二变元共轭线性）：

$\|T\boldsymbol{q}_i+tT\boldsymbol{q}_j\|^2=(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_i)+\bar t\,(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)+t\,\overline{(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)}+(T\boldsymbol{q}_j,T\boldsymbol{q}_j),$

对 $\|\boldsymbol{q}_i+t\boldsymbol{q}_j\|^2$ 有完全相同的展开式。由②两端相等且 $|t|^2=t\bar t=1$ ，交叉项相等：

$\bar t\,a+t\,\bar a=\bar t\,b+t\,\bar b,\qquad a\triangleq(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j),\ b\triangleq(\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j).$

取 $t=1$ 得 $a+\bar a=b+\bar b$ （实部相等）；取 $t=i$ 得 $-ia+i\bar a=-ib+i\bar b$ （虚部相等）。二者合成 $a=b$ ，即

$(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)=(\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{q}_j)=\delta_{ij}.$

（欧氏空间取 $t=\pm1$ 就够；酉空间必须再取 $t=i$ ，才能把虚部也定下来，这正是复内积的「极化」。它的一般形式——由范数反解出内积的极化恒等式——见附录 A.1。）于是 $T\boldsymbol{q}_1,\cdots,T\boldsymbol{q}_n$ 两两正交、长度为 $1$ ；由定理 1.5.2 它们线性无关，故是标准正交基。

∎

展开时的共轭陷阱（课堂两度停下强调）

从第二变元提出复数必须取共轭： $(T\boldsymbol{q}_1,\,i\,T\boldsymbol{q}_2)=-i\,(T\boldsymbol{q}_1,T\boldsymbol{q}_2)$ ，不是 $i\,(T\boldsymbol{q}_1,T\boldsymbol{q}_2)$ 。课堂演示了「绝对错误的简写」（00:42:47–00:44:08）：若把 $i$ 直接提出去，会得出 $(i\,T\boldsymbol{q}_2,\,i\,T\boldsymbol{q}_2)=i^2\|T\boldsymbol{q}_2\|^2=-\|T\boldsymbol{q}_2\|^2$ 的荒谬结论；正确的是 $(i\,\boldsymbol{x},i\,\boldsymbol{x})=i\bar i\,(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})$ 。
从线性变换或线性组合中提出复数则不取共轭： $T(i\boldsymbol{x})=i\,T(\boldsymbol{x})$ 。老师用一句话总结：「共轭只在过内积的时候发生」（00:52:53–00:53:43）。

③⟹④（00:56:43–01:01:00）

③ 说的是基像的性质，要把它翻译成关于矩阵 $A$ 的陈述，得先把内积用坐标写出来。设 $T$ 在标准正交基 $\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n$ 下的矩阵为 $A$ ： $(T\boldsymbol{q}_1,\cdots,T\boldsymbol{q}_n)=(\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n)A$ ， $A$ 的第 $i$ 列 $\boldsymbol{a}_i$ 是 $T\boldsymbol{q}_i$ 的坐标。由坐标计算内积的 Gram 公式（定义 1.4.4、命题 1.4.2）：

$(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)=\boldsymbol{a}_j^{\mathrm T}G(\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n)\,\boldsymbol{a}_i .$

标准正交基的 Gram 矩阵是单位阵（定义 1.5.4 注 6），故 $(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)=\boldsymbol{a}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{a}_i$ 。由③，左边 $=\delta_{ij}$ ，于是 $A$ 的各列标准正交， $A^{\mathrm T}A=I$ （列向量刻画 2.5.1）。

∎

④⟹③，再（④+③）⟹①（01:01:16–01:09:08）

④⟹③：设标准正交基 $\boldsymbol{q}_1,\cdots,\boldsymbol{q}_n$ 下 $T$ 的矩阵 $A$ 正交。同上， $(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)=\boldsymbol{a}_j^{\mathrm T}\boldsymbol{a}_i=\delta_{ij}$ （正交矩阵的列标准正交），故 $T\boldsymbol{q}_1,\cdots,T\boldsymbol{q}_n$ 是标准正交基——③成立。

（④+③）⟹①：任取 $\boldsymbol{x}=\sum_i\alpha_i\boldsymbol{q}_i$ ， $\boldsymbol{y}=\sum_j\beta_j\boldsymbol{q}_j$ 。由 $T$ 线性，

$T\boldsymbol{x}=\sum_i\alpha_i\,T\boldsymbol{q}_i,\qquad T\boldsymbol{y}=\sum_j\beta_j\,T\boldsymbol{q}_j .$

以标准正交基 $T\boldsymbol{q}_1,\cdots,T\boldsymbol{q}_n$ 展开内积——正交性使交叉项全部消失（课堂把这一步称作「看上去很复杂，但其实非常简单」，01:06:03）：

$(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y})=\sum_{i,j}\alpha_i\bar\beta_j\,(T\boldsymbol{q}_i,T\boldsymbol{q}_j)=\sum_i\alpha_i\bar\beta_i .$

同样 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\sum_i\alpha_i\bar\beta_i$ 。二者相等，①成立。

∎

怎么用这四条

四条等价意味着题目可以从任一入口切进去，选对入口才省力：

验证某变换正交：通常验「把一组标准正交基映为标准正交基」（③）最快；
由矩阵反推性质：写出标准正交基下的矩阵，查 $A^{\mathrm T}A$ （④）；
保长度 / 保内积的题目（①②）：记住「保长度 + 线性 ⟹ 保内积」这条通道，不必直接硬算内积；
四条里任何一条都可以当定义用，考题常在等价链上「抽一段」让你补证明（00:36:02「几条命题等价」）。

2.5.3 Givens 旋转矩阵：每次只转一个平面

[例 2.3.1]（例 2.3.1）的平面旋转 $T(\boldsymbol{x})=\left[\begin{smallmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{smallmatrix}\right]\boldsymbol{x}$ 是正交变换的「最小样本」——两个坐标，一个平面。把它嵌入 $n$ 维空间：只在一个坐标平面里转动，其余坐标原样不动，就得到 Givens 矩阵（课堂正是从例 2.3.1 出发「把这个表达式进行扩充」，01:14:56–01:15:48）。

Givens 旋转矩阵 2.5.3

设 $1\le i<j\le n$ ， $\varphi\in\mathbb{R}$ 。称 $n$ 阶矩阵

$T_{ij}(\varphi)=\begin{bmatrix} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&\cos\varphi&&-\sin\varphi&\\ &&&\ddots&&\\ &&\sin\varphi&&\cos\varphi&\\ &&&&&\ddots\\ &&&&&&1 \end{bmatrix}\begin{matrix}\\\\\leftarrow i\\\\\leftarrow j\\\\\\\end{matrix}$

为 Givens（旋转）矩阵：它等于单位阵，仅在 $(i,i),(j,j)$ 位置为 $\cos\varphi$ ， $(i,j)$ 位置为 $-\sin\varphi$ 、 $(j,i)$ 位置为 $\sin\varphi$ 。

要把 Givens 矩阵当「砖」垒进算法，先得确认它确实是正交矩阵，再看它对一个向量做了什么：

Givens 矩阵的性质 2.5.5

$T_{ij}(\varphi)$ 是正交矩阵；
$T_{ij}(\varphi)^{\mathrm T}=T_{ij}(\varphi)^{-1}=T_{ij}(-\varphi)$ ；
左乘列向量时只改变第 $i$ 、 $j$ 个分量，其余分量不动：

$(T_{ij}\boldsymbol{x})_i=\cos\varphi\,x_i-\sin\varphi\,x_j,\qquad (T_{ij}\boldsymbol{x})_j=\sin\varphi\,x_i+\cos\varphi\,x_j .$

证明

二阶主块 $\left[\begin{smallmatrix}c&-s\\s&c\end{smallmatrix}\right]$ （ $c^2+s^2=1$ ）的两列标准正交，其余列是单位坐标向量，由列向量刻画 2.5.1 得正交（课堂：「很容易进行乘法验证」01:17:39–01:18:11）；
转置把两个 $\sin$ 变号，即 $T_{ij}(-\varphi)$ ；结合 1 得逆；
逐行乘开即得（「它改变的只是第 $i$ 行和第 $j$ 行的元素，其他元素一点都没有变化」01:17:18–01:17:32）。

∎

用途只有一条：选好角度，把第 $j$ 个分量转到零。

分量清零 2.5.6

设 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ， $(x_i,x_j)\neq(0,0)$ ，记 $r=\sqrt{x_i^2+x_j^2}$ 。取

$\cos\varphi=\frac{x_i}{r},\qquad \sin\varphi=-\frac{x_j}{r},$

则 $(T_{ij}(\varphi)\boldsymbol{x})_i=r=\sqrt{x_i^2+x_j^2}$ ， $(T_{ij}(\varphi)\boldsymbol{x})_j=0$ ，其余分量不变。

证明

代入性质 3： $(T_{ij}\boldsymbol{x})_j=\dfrac{-x_j}{r}x_i+\dfrac{x_i}{r}x_j=0$ ； $(T_{ij}\boldsymbol{x})_i=\dfrac{x_i^2+x_j^2}{r}=r$ 。

∎

课堂给的取法（01:18:47–01:19:16）就是 $\cos\varphi=\dfrac{x_i}{\sqrt{x_i^2+x_j^2}}$ ， $\sin$ 的符号按「清零第 $j$ 个分量」配出来。老师提醒这个 $\varphi$ 的取法可以换：目的只有一个——把 $j$ 分量清零、把能量合并到 $i$ 分量。

例 · 两步把

(0,1,1)^{\mathrm T}

化为

\sqrt2\,\boldsymbol{e}_1

（课堂原例）

课堂演算见 01:22:03–01:24:16。设 $\boldsymbol{x}=(0,1,1)^{\mathrm T}$ 。

第一步清 $x_2$ （ $i=1,j=2$ ）： $r=\sqrt{0^2+1^2}=1$ ， $\cos\varphi=0$ ， $\sin\varphi=-1$ ，

$T_{12}=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix},\qquad T_{12}\boldsymbol{x}=(1,0,1)^{\mathrm T}.$

第二步清 $x_3$ （ $i=1,j=3$ ，用更新后的向量 $(1,0,1)$ ）： $r=\sqrt{1+1}=\sqrt2$ ， $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt2}$ ， $\sin\varphi=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ ，

$T_{13}=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&0&\tfrac{1}{\sqrt2}\\0&1&0\\-\tfrac{1}{\sqrt2}&0&\tfrac{1}{\sqrt2}\end{bmatrix},\qquad T_{13}(T_{12}\boldsymbol{x})=(\sqrt2,0,0)^{\mathrm T}=\sqrt2\,\boldsymbol{e}_1=\|\boldsymbol{x}\|\,\boldsymbol{e}_1 .$

用 Givens 把任意向量对准

\boldsymbol{e}_1

对任意 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$ ，依次用 $n-1$ 个 Givens 矩阵（每次以最新的向量为原料，01:25:39–01:26:27 的易错点）：

$T_{1n}\cdots T_{13}T_{12}\,\boldsymbol{x}=\|\boldsymbol{x}\|\,\boldsymbol{e}_1,$

效果等价于「把每个分量的平方依次合并进第 1 分量」。写总变换时按作用顺序反写：先作用的 $T_{12}$ 排最右，「先写最后变换，再写最初变换」（01:26:35–01:26:55）——顺序写反是本题最容易犯的错误。

考情（课堂原话，01:14:16–01:14:54）

Givens 矩阵「在过去三四年从来没考过」，但更早的年份（四五年前、五六年前）是难题里的重要考点；成为公共课后老师判断「今年不会考」，仍建议「复习的时候好好复习一下——它不难，但很容易把题目变形」。变形点通常落在三处：清零分量的次序、 $\sin$ 的符号、总变换的乘法顺序。

2.5.4 Householder 矩阵：一次镜像

Givens 每次只动两个分量，要把向量对准 $\boldsymbol{e}_1$ 得走 $n-1$ 步；Householder 换了一条更快的路——让整个向量关于一张超平面照一次镜子，一步完成。

Householder 矩阵 2.5.4

设 $\boldsymbol{\omega}\in\mathbb{R}^n$ 是单位列向量（ $\|\boldsymbol{\omega}\|=1$ ）。称

$H=I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}$

为 Householder 矩阵（初等反射矩阵）。酉空间版本取 $H=I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm H}$ 。

几何含义：关于超平面的镜像（课堂图示，01:27:56–01:31:31）

把 $\boldsymbol{x}$ 分解为「沿 $\boldsymbol{\omega}$ 的分量 + 垂直分量」（正交补记号见定义 1.6.6）： $\boldsymbol{x}=\underbrace{(\boldsymbol{x})_{\parallel}}_{\in\operatorname{span}(\boldsymbol{\omega})}+\underbrace{(\boldsymbol{x})_{\perp}}_{\in\boldsymbol{\omega}^{\perp}}$ 。则

$H\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x})_{\perp}-(\boldsymbol{x})_{\parallel},$

即 $\boldsymbol{x}$ 关于超平面 $\boldsymbol{\omega}^{\perp}$ 的镜像（反射）——「注意不是投影，是镜像」（01:29:00）。像与原像长度相同、与镜面夹角相同，分居镜面两侧。课堂给出的图算思路（01:30:37–01:31:31）：把 $\boldsymbol{x}$ 沿 $\boldsymbol{\omega}$ 方向的投影取反记为 $\boldsymbol{p}$ ，则 $\boldsymbol{x}+2\boldsymbol{p}$ 正是镜像。

Householder 矩阵的性质 2.5.7

老师特别提醒：这一组性质「就在咱们之前的考试中考过」（01:31:34–01:31:50）。设 $H=I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}$ ， $\|\boldsymbol{\omega}\|=1$ 。则：

$H^{\mathrm T}=H$ （对称）；
$H^2=I$ ，从而 $H^{-1}=H$ （自逆）；
$H$ 是正交矩阵： $H^{\mathrm T}H=I$ ；
$H\boldsymbol{\omega}=-\boldsymbol{\omega}$ ： $\boldsymbol{\omega}$ 是属于特征值 $-1$ 的特征向量；
凡与 $\boldsymbol{\omega}$ 正交的向量都是属于特征值 $1$ 的特征向量，且 $\boldsymbol{\omega}^{\perp}$ 中能取到 $n-1$ 个这样的线性无关向量；
$\det H=-1$ 。

证明

由定义直接读出；
$H^2=(I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T})^2=I-4\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}+4\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{\omega})\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}=I$ ，用到 $\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{\omega}=\|\boldsymbol{\omega}\|^2=1$ ；
由 1、2 立得；
$H\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}-2\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{\omega})=-\boldsymbol{\omega}$ （课堂 01:32:42–01:33:25 的核心计算：「 $\boldsymbol{\omega}$ 是单位向量，后面这项就是一个数 $1$ ，直接删掉」）；
若 $\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{v}=0$ ，则 $H\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}-2\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}$ 。 $\dim\boldsymbol{\omega}^{\perp}=n-1$ ，取它的一组基即为 $n-1$ 个线性无关的特征向量（课堂 01:33:36–01:34:39：「必然能找到 $n-1$ 个和它垂直的线性无关向量」）；
特征值之积： $(-1)\cdot\underbrace{1\cdots1}_{n-1}=-1$ （课堂 01:35:30–01:35:44：「所以它的行列式是 $-1$ 」）。

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与 Givens 对比（通往 QR 的两块砖）

Givens 是「转」， $\det=+1$ ；Householder 是「照镜子」， $\det=-1$ 。两者都是正交矩阵，行列式为何必然差一个符号？（用正交 / 酉矩阵的运算性质 2.5.2 与本定理 6。）
想用一个 Householder 把 $\boldsymbol{x}$ 映成 $\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{e}_1$ ，镜面应取「 $\boldsymbol{x}$ 与目标方向的角平分面」：取 $\boldsymbol{\omega}$ 为 $\boldsymbol{x}-\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{e}_1$ 方向的单位向量即可。写出验证过程——这正是数值代数 QR 分解的标准一步（本讲到此收尾，未及展开）。
$-1$ 是 $H$ 的几重特征值？几何重数与代数重数在此相等吗？（对照 2.4.3 的两种重数。）

2.5 小结与常见错误

一句话收束

保内积的线性变换就是正交（酉）变换；它等价于保长度、等价于「把标准正交基映为标准正交基」、等价于「标准正交基下矩阵正交（酉）」。造正交矩阵的两个工厂：Givens $T_{ij}$ 在一个坐标平面里转、清零一个分量；Householder $H=I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}$ 关于一个超平面照镜子， $\det H=-1$ 。

下面这张表把本节最容易失分的地方集中起来，每一条都能在前文找到出处：第一行是老师点名的考点，第二、三行关乎复内积的展开纪律，后三行则是两个「工厂」的使用要点。

常见错误	正确做法
「正交矩阵特征值必为 $\pm1$ 」	只有 $\|\lambda\|=1$ 可保证；复特征值可出现（警示），根子在 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}$ 可为 $0$
复内积展开时从第二变元裸提 $i$	第二变元提复数取共轭（陷阱）；从线性变换里提则不共轭
证明②⟹③只用 $\boldsymbol{q}_i+\boldsymbol{q}_j$	酉空间还须用 $\boldsymbol{q}_i+i\boldsymbol{q}_j$ 才能把虚部钉死（极化）
Givens 连乘时顺序写正	总变换按作用顺序反写：先作用的在右侧（方法）
第二个 Givens 仍用原始向量取角	每步用更新后的向量取 $\cos\varphi,\sin\varphi$
认为 Householder 是投影	它是镜像（反射）： $\det=-1$ 、 $H^2=I$ ；投影则 $\det$ 无此约束且幂等不对称不保长度

即时自测（不看上文，5 分钟）

写出「 $T$ 是正交变换」的定义，并说出它等价的三条刻画。
$U$ 是酉矩阵。 $|\lambda|=1$ 对 $U$ 的每个特征值都成立吗？ $U$ 的特征值一定是实数吗？
判断：实正交矩阵的特征值只能是 $\pm1$ 。
Givens 旋转 $T_{ij}$ 与 Householder 反射 $H$ ：哪个的行列式是 $+1$ ？两者各把什么向量映到什么方向？

解答 · 即时自测

对一切 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ 有 $(T\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ （定义）。等价刻画：① 保长度 $\|T\boldsymbol{x}\|=\|\boldsymbol{x}\|$ ；② 把标准正交基映为标准正交基；③ 在标准正交基下的矩阵是正交（酉）矩阵 $A^{\mathrm H}A=I$ （四条等价刻画 2.5.4）。
成立：由 $U\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ （ $\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{\theta}$ ）得 $\|\boldsymbol{x}\|=\|U\boldsymbol{x}\|=\|\lambda\boldsymbol{x}\|=|\lambda|\,\|\boldsymbol{x}\|$ ，故 $|\lambda|=1$ 。但不一定是实数——复特征值完全可能（如旋转矩阵在 $\mathbb R$ 上无实特征值，在 $\mathbb C$ 上特征值为 $e^{\pm i\varphi}$ ）。
错。只有实特征值才必为 $\pm1$ ；复特征值只保证模为 $1$ ，例如平面旋转 $\begin{pmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$ 的特征值是 $e^{\pm i\varphi}$ 。这正是常见错误表里那条警示。
$\det T_{ij}=+1$ （旋转）， $\det H=-1$ （镜像）。Givens 在坐标平面 $(i,j)$ 内旋转，用来清零一个分量；Householder 关于超平面 $\boldsymbol{\omega}^{\perp}$ 作镜像，把 $\boldsymbol{x}$ 映成 $\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{e}_1$ （取 $\boldsymbol{\omega}$ 为 $\boldsymbol{x}-\|\boldsymbol{x}\|\boldsymbol{e}_1$ 方向的单位向量）。