2.2 结尾留下两个悬而未决的问题：线性映射空间 L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W ) 维数 是多少？抽象的线性映射能不能算 ？本节一并回答，而这两个问题的答案出自同一个动作——取定基。基一旦固定，线性映射与矩阵就一一对应 （定理 2.3.1 ），而且这个对应还保持线性运算（定理 2.3.2 ）——于是 L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W ) 同构 ⟺ 维数相等 （定理 2.3.3 ）。有了这套语言，最后两节把它落到实处——坐标公式 β = A α \beta=A\alpha β = A α 定理 2.3.4 ）说明矩阵怎么算像，换基公式 B = P − 1 A Q B=P^{-1}AQ B = P − 1 A Q 定理 2.3.5 、推论 2.3.4 ）说明同一个映射为什么会有不同的矩阵，而「矩阵的秩 / 零空间」与「映射的秩 / 零空间」的同一性（定理 2.3.6 ）则把先修知识里的秩接回 2.2 的映射图像。
素材与说明（与 2.1、2.2 两节的差别）
本页依据课程第二章课件 2.3 矩阵与同构 （25 页，现存 _sources/matrix/）整理，并与 2.1、2.2 课件（同一批次入库）交叉核对。本节的 2.3 尚无对应录播 ，故本页不引用课堂口述与时间戳：课件给出的定义、定理、命题、推论、例题与思考题照录并保留原编号 ；课件省略的证明、未给答案的例题，由本编补出并逐处标注「本编补」。相关编号与表述问题见勘误与补注 。
上一章用「坐标」把一个向量换成 n n n 映射 换成一堆数。这件事能办成，靠的是 2.2 里已经证明的一条结论：线性映射由它在一组基上的作用完全确定。于是做法只有一句话：看基向量被映到哪里 。
定义 2.3.1 · 线性映射的矩阵
设 V V V W W W F F F ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m V V V W W W T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W) T ∈ L ( V , W )
T ( ε 1 ) = a 11 η 1 + a 21 η 2 + ⋯ + a m 1 η m T(\varepsilon_1)=a_{11}\eta_1+a_{21}\eta_2+\cdots+a_{m1}\eta_m T ( ε 1 ) = a 11 η 1 + a 21 η 2 + ⋯ + a m 1 η m T ( ε 2 ) = a 12 η 1 + a 22 η 2 + ⋯ + a m 2 η m T(\varepsilon_2)=a_{12}\eta_1+a_{22}\eta_2+\cdots+a_{m2}\eta_m T ( ε 2 ) = a 12 η 1 + a 22 η 2 + ⋯ + a m 2 η m ⋯ ⋯ ⋯ \cdots\cdots\cdots ⋯⋯⋯ T ( ε n ) = a 1 n η 1 + a 2 n η 2 + ⋯ + a m n η m T(\varepsilon_n)=a_{1n}\eta_1+a_{2n}\eta_2+\cdots+a_{mn}\eta_m T ( ε n ) = a 1 n η 1 + a 2 n η 2 + ⋯ + a mn η m
即
T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ≜ [ T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ] = ( η 1 , ⋯ , η m ) A , T(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\triangleq\big[T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n)\big]=(\eta_1,\cdots,\eta_m)A, T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ≜ [ T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ] = ( η 1 , ⋯ , η m ) A ,
则 A = ( a i j ) ∈ F m × n A=(a_{ij})\in F^{m\times n} A = ( a ij ) ∈ F m × n T T T V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m 矩阵 。
若 V = W V=W V = W η i \eta_i η i ε i \varepsilon_i ε i
T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ≜ [ T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ] = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) A , A = ( a i j ) ∈ F n × n , T(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\triangleq\big[T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n)\big]=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)A,\qquad A=(a_{ij})\in F^{n\times n}, T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) ≜ [ T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ] = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) A , A = ( a ij ) ∈ F n × n ,
矩阵 A A A 线性变换 T T T V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n
把定义反过来念，就是下面这条读法：写矩阵时它是一道工序，读矩阵时它是还原公式。
读法（本编提炼）· 一切矩阵计算的引擎
A A A j j j = = = T ( ε j ) T(\varepsilon_j) T ( ε j ) η \eta η
写矩阵 （由 T T T A A A ε j \varepsilon_j ε j η \eta η j j j 读矩阵 （由 A A A T T T T ( ε j ) = ∑ i a i j η i T(\varepsilon_j)=\sum_i a_{ij}\eta_i T ( ε j ) = ∑ i a ij η i 定理 2.2.1 ，T T T x x x
形状检查 ：A A A m × n m\times n m × n 行数 = = = W W W = = = V V V （「横着读像、竖着数向量」）。写反形状是本节最常见的错误。
例 2.3.1（课件原文）· 平面旋转的矩阵
定义平面旋转变换 T : R 2 → R 2 T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 T : R 2 → R 2
T ( x ) = [ cos φ − sin φ sin φ cos φ ] x , ∀ x ∈ R 2 . T(x)=\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{bmatrix}x,\qquad \forall x\in\mathbb R^2 . T ( x ) = [ cos φ sin φ − sin φ cos φ ] x , ∀ x ∈ R 2 .
取定 R 2 \mathbb R^2 R 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 T T T e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2
解答 · 例 2.3.1
按读法逐列算：
T ( e 1 ) = [ cos φ sin φ ] = cos φ e 1 + sin φ e 2 , T ( e 2 ) = [ − sin φ cos φ ] = − sin φ e 1 + cos φ e 2 . T(e_1)=\begin{bmatrix}\cos\varphi\\ \sin\varphi\end{bmatrix}=\cos\varphi\,e_1+\sin\varphi\,e_2,\qquad T(e_2)=\begin{bmatrix}-\sin\varphi\\ \cos\varphi\end{bmatrix}=-\sin\varphi\,e_1+\cos\varphi\,e_2 . T ( e 1 ) = [ cos φ sin φ ] = cos φ e 1 + sin φ e 2 , T ( e 2 ) = [ − sin φ cos φ ] = − sin φ e 1 + cos φ e 2 .
于是
T ( e 1 , e 2 ) = ( e 1 , e 2 ) [ cos φ − sin φ sin φ cos φ ] , T(e_1,e_2)=(e_1,e_2)\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\ \sin\varphi&\cos\varphi\end{bmatrix}, T ( e 1 , e 2 ) = ( e 1 , e 2 ) [ cos φ sin φ − sin φ cos φ ] ,
矩阵恰是定义 T T T 。
这次重合是标准基的特权 ：只有取标准基时，T T T e j e_j e j T ( e j ) T(e_j) T ( e j ) 2.3.4 ），变成什么样子则由 定理 2.3.5 给出。
旋转的例子过于规整：标准基下的坐标就是分量，矩阵几乎可以照抄。换一个「基不再是坐标轴」的空间，读法才真正出力。
例 2.3.2（课件原文）· 微分变换的矩阵
在多项式空间 P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) T : P n → P n T:P_n\to P_n T : P n → P n
T ( p ( x ) ) = d p ( x ) d x , ∀ p ( x ) ∈ P n ( x ) . T(p(x))=\frac{\mathrm dp(x)}{\mathrm dx},\qquad \forall p(x)\in P_n(x). T ( p ( x )) = d x d p ( x ) , ∀ p ( x ) ∈ P n ( x ) .
取定 P n ( x ) P_n(x) P n ( x ) 1 , x , x 2 , ⋯ , x n 1,x,x^2,\cdots,x^n 1 , x , x 2 , ⋯ , x n T T T
解答 · 例 2.3.2
基向量逐个求导：T ( 1 ) = 0 T(1)=0 T ( 1 ) = 0 T ( x ) = 1 T(x)=1 T ( x ) = 1 T ( x 2 ) = 2 x T(x^2)=2x T ( x 2 ) = 2 x ⋯ \cdots ⋯ T ( x n ) = n x n − 1 T(x^n)=nx^{n-1} T ( x n ) = n x n − 1 1 , x , x 2 , ⋯ , x n 1,x,x^2,\cdots,x^n 1 , x , x 2 , ⋯ , x n
T ( 1 ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] [ 0 0 ⋮ 0 ] , T ( x ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] [ 1 0 ⋮ 0 ] , T ( x 2 ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] [ 0 2 ⋮ 0 ] , ⋯ T(1)=[1,x,\cdots,x^n]\begin{bmatrix}0\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix},\quad T(x)=[1,x,\cdots,x^n]\begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix},\quad T(x^2)=[1,x,\cdots,x^n]\begin{bmatrix}0\\2\\ \vdots\\0\end{bmatrix},\ \cdots T ( 1 ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] 0 0 ⋮ 0 , T ( x ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] 1 0 ⋮ 0 , T ( x 2 ) = [ 1 , x , ⋯ , x n ] 0 2 ⋮ 0 , ⋯
拼起来（( n + 1 ) × ( n + 1 ) (n+1)\times(n+1) ( n + 1 ) × ( n + 1 ) k + 1 k+1 k + 1 T ( x k ) = k x k − 1 T(x^k)=kx^{k-1} T ( x k ) = k x k − 1 k k k k k k
A = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ n 0 0 0 ⋯ 0 ] . A=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&n\\ 0&0&0&\cdots&0\end{bmatrix}. A = 0 0 ⋮ 0 0 1 0 ⋮ 0 0 0 2 ⋮ 0 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ n 0 .
本编注 ：A A A A n + 1 = O A^{n+1}=O A n + 1 = O n + 1 n+1 n + 1 上移一格 ，信息被一格一格推出去。这类矩阵（幂零矩阵，特征值全为 0 0 0
提醒 （与 2.2.2 的例 2.2.3 呼应）：如果把 T T T P n → P n − 1 P_n\to P_{n-1} P n → P n − 1 x n x^n x n n × ( n + 1 ) n\times(n+1) n × ( n + 1 ) 矩阵依赖于「映射 + 两对基」三件事，缺一不可 。
例 2.3.3（课件原文）· 两组基给出的变换在 ε \varepsilon ε
设 V V V F F F ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n η 1 , ⋯ , η n \eta_1,\cdots,\eta_n η 1 , ⋯ , η n V V V T : V → V T:V\to V T : V → V
T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T , ∀ x ∈ V , T(x)=(\eta_1,\cdots,\eta_n)(x_1,\cdots,x_n)^{\mathrm T},\qquad \forall x\in V, T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) ( x 1 , ⋯ , x n ) T , ∀ x ∈ V ,
式中 ( x 1 , ⋯ , x n ) T (x_1,\cdots,x_n)^{\mathrm T} ( x 1 , ⋯ , x n ) T x x x ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n T T T ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n
（这正是 2.2.2 的例 2.2.6；那里只验证了 T T T
解答（课件未给答案，本编补）
按读法逐列算。取 x = ε j x=\varepsilon_j x = ε j ε j \varepsilon_j ε j ε \varepsilon ε e j e_j e j
T ( ε j ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) e j = η j . T(\varepsilon_j)=(\eta_1,\cdots,\eta_n)e_j=\eta_j . T ( ε j ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) e j = η j .
于是 T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) T(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\eta_1,\cdots,\eta_n) T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) P P P ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n η 1 , ⋯ , η n \eta_1,\cdots,\eta_n η 1 , ⋯ , η n 定义 1.3.5 ），即 ( η 1 , ⋯ , η n ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) P (\eta_1,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)P ( η 1 , ⋯ , η n ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) P
T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) P ⟹ A = P . T(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)P\ \Longrightarrow\ A=P . T ( ε 1 , ⋯ , ε n ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) P ⟹ A = P .
结论 ：T T T ε \varepsilon ε 就是由 ε \varepsilon ε η \eta η 。
两点收获 ：① 这个映射的几何意义就是「换尺子」：把 x x x ε \varepsilon ε η \eta η 2.2 里「坐标不能直接搬用」的正式化）；② 过渡矩阵必可逆（命题 1.3.1 （1）），故 T T T V V V
前面三个例子做的都是同一件事：把一个给定的映射翻译成矩阵。真正重要的是反过来——随便给一个矩阵，都恰好对应一个线性映射 。下面这条定理把它写成命题，而本节其余结论全都建立在它之上。
定理 2.3.1 · 存在唯一性
设 V V V W W W F F F ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m V V V W W W A = ( a i j ) ∈ F m × n A=(a_{ij})\in F^{m\times n} A = ( a ij ) ∈ F m × n T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W) T ∈ L ( V , W ) V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m A A A
证明（课件只列了构造线索，此处补全两半）
存在性（构造） ：对任意 x ∈ V x\in V x ∈ V ε \varepsilon ε α = ( x 1 , ⋯ , x n ) T \alpha=(x_1,\cdots,x_n)^{\mathrm T} α = ( x 1 , ⋯ , x n ) T x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α x=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\alpha x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α 唯一 确定（定理 1.3.2 ）。定义
T ( x ) ≜ ( η 1 , ⋯ , η m ) A α . T(x)\triangleq(\eta_1,\cdots,\eta_m)A\alpha . T ( x ) ≜ ( η 1 , ⋯ , η m ) A α .
良定义、取值于 W W W ：α \alpha α T ( x ) T(x) T ( x ) η \eta η W W W 线性 ：坐标对 x x x x + y x+y x + y α x + α y \alpha_x+\alpha_y α x + α y λ x \lambda x λ x λ α x \lambda\alpha_x λ α x
T ( x + y ) = ( η ) A ( α x + α y ) = ( η ) A α x + ( η ) A α y = T ( x ) + T ( y ) , T ( λ x ) = ( η ) A ( λ α x ) = λ T ( x ) ; T(x+y)=(\eta)A(\alpha_x+\alpha_y)=(\eta)A\alpha_x+(\eta)A\alpha_y=T(x)+T(y),\qquad T(\lambda x)=(\eta)A(\lambda\alpha_x)=\lambda T(x); T ( x + y ) = ( η ) A ( α x + α y ) = ( η ) A α x + ( η ) A α y = T ( x ) + T ( y ) , T ( λ x ) = ( η ) A ( λ α x ) = λ T ( x ) ;
矩阵恰为 A A A ：取 x = ε j x=\varepsilon_j x = ε j e j e_j e j T ( ε j ) = ( η ) A e j = a 1 j η 1 + ⋯ + a m j η m T(\varepsilon_j)=(\eta)Ae_j=a_{1j}\eta_1+\cdots+a_{mj}\eta_m T ( ε j ) = ( η ) A e j = a 1 j η 1 + ⋯ + a mj η m 定义 2.3.1 逐列对照，T T T A A A
唯一性 ：设 T 1 , T 2 T_1,T_2 T 1 , T 2 A A A ε j \varepsilon_j ε j
T 1 ( ε j ) = ∑ i a i j η i = T 2 ( ε j ) . T_1(\varepsilon_j)=\sum_i a_{ij}\eta_i=T_2(\varepsilon_j). T 1 ( ε j ) = i ∑ a ij η i = T 2 ( ε j ) .
任一 x ∈ V x\in V x ∈ V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n 定理 2.2.1 （线性映射保持线性组合）得 T 1 ( x ) = T 2 ( x ) T_1(x)=T_2(x) T 1 ( x ) = T 2 ( x ) 完全确定 。故 T 1 = T 2 T_1=T_2 T 1 = T 2
∎ 课件思考题（第 11 页）· f : T ↦ A f:T\mapsto A f : T ↦ A
「若定义映射 f f f T T T A A A f f f 定理 2.3.1 ，f f f 双射 （存在性 = = = = = = f f f f f f 同构映射 （定理 2.3.2 ）。这正是「线性映射就是矩阵」这句话的严格含义。
定理 2.3.1 给出的双射 f f f 结构相同 ：元素之间可以一一对上，且对上之后运算也一一对上。有了它，f f f L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W )
定义 2.3.2 · 同构映射
设 V V V W W W F F F 双射 f : V → W f:V\to W f : V → W
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f(x+y)=f(x)+f(y) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) f ( λ x ) = λ f ( x ) f(\lambda x)=\lambda f(x) f ( λ x ) = λ f ( x )
式中 x , y x,y x , y V V V λ \lambda λ F F F f f f V V V W W W 同构映射 ，并称线性空间 V V V W W W 同构 。
课件注记「整数集与偶数集同构」辨析（本编补注）
课件在定义旁标了这句注记，而它说的是集合 层面的事：整数与偶数之间有双射（n ↔ 2 n n\leftrightarrow 2n n ↔ 2 n 2.1.1 的等势 （定义 2.1.1 ），并不是线性空间的同构。两种关系的差距就在那两条保运算 条件上，所以：
同构 = 双射 + 保持线性运算。
（条件里写的是「双射」而不是「等势」：等势只保证存在某个 双射，不保证手头这个映射就是双射——这正是下面「不能靠元素个数判别」的原因。）
所以判别两个线性空间是否同构，不能靠「元素个数」 （无限维空间彼此都等势），只能靠维数——见 定理 2.3.3 。
定理 2.3.2 · 线性映射空间与矩阵空间同构
设 V V V W W W F F F n n n m m m L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W ) F m × n F^{m\times n} F m × n
证明（把思考题的 f f f
取定 V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m
f : L ( V , W ) ⟶ F m × n , f ( T ) = A （ T 在该对基下的矩阵） . f:L(V,W)\longrightarrow F^{m\times n},\qquad f(T)=A\ \text{（}T\ \text{在该对基下的矩阵）}. f : L ( V , W ) ⟶ F m × n , f ( T ) = A （ T 在该对基下的矩阵） .
f f f 定理 2.3.1 ——任给 A A A T T T T T T
f f f f ( T 1 ) = A 1 = ( a i j ( 1 ) ) f(T_1)=A_1=(a^{(1)}_{ij}) f ( T 1 ) = A 1 = ( a ij ( 1 ) ) f ( T 2 ) = A 2 = ( a i j ( 2 ) ) f(T_2)=A_2=(a^{(2)}_{ij}) f ( T 2 ) = A 2 = ( a ij ( 2 ) ) j j j
( T 1 + T 2 ) ( ε j ) = T 1 ( ε j ) + T 2 ( ε j ) = ∑ i ( a i j ( 1 ) + a i j ( 2 ) ) η i ⟹ f ( T 1 + T 2 ) = A 1 + A 2 ; (T_1+T_2)(\varepsilon_j)=T_1(\varepsilon_j)+T_2(\varepsilon_j)=\sum_i\big(a^{(1)}_{ij}+a^{(2)}_{ij}\big)\eta_i \quad\Longrightarrow\quad f(T_1+T_2)=A_1+A_2; ( T 1 + T 2 ) ( ε j ) = T 1 ( ε j ) + T 2 ( ε j ) = i ∑ ( a ij ( 1 ) + a ij ( 2 ) ) η i ⟹ f ( T 1 + T 2 ) = A 1 + A 2 ;
同理 ( λ T 1 ) ( ε j ) = λ ∑ i a i j ( 1 ) η i (\lambda T_1)(\varepsilon_j)=\lambda\sum_i a^{(1)}_{ij}\eta_i ( λ T 1 ) ( ε j ) = λ ∑ i a ij ( 1 ) η i f ( λ T 1 ) = λ A 1 f(\lambda T_1)=\lambda A_1 f ( λ T 1 ) = λ A 1
双射且保持两种运算，故 f f f 定义 2.3.2 ），即 L ( V , W ) ≅ F m × n L(V,W)\cong F^{m\times n} L ( V , W ) ≅ F m × n
∎ 同构映射首先是线性映射，2.2.3 的那些性质它全部继承；而「双射」这多出来的一条，又把其中大半升级成了双向。这些性质后面反复要用，先集中列出。
命题 2.3.1 · 同构映射的性质
设 V V V W W W F F F T : V → W T:V\to W T : V → W
T ( θ ) = θ ′ T(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\theta}' T ( θ ) = θ ′ θ ∈ V \boldsymbol{\theta}\in V θ ∈ V θ ′ ∈ W \boldsymbol{\theta}'\in W θ ′ ∈ W T ( − x ) = − T ( x ) T(-x)=-T(x) T ( − x ) = − T ( x ) ∀ x ∈ V \forall x\in V ∀ x ∈ V T ( ∑ i α i x i ) = ∑ i α i T ( x i ) T\big(\sum_i\alpha_ix_i\big)=\sum_i\alpha_iT(x_i) T ( ∑ i α i x i ) = ∑ i α i T ( x i ) ∀ α i ∈ F \forall\alpha_i\in F ∀ α i ∈ F x i ∈ V x_i\in V x i ∈ V V V V x 1 , ⋯ , x r x_1,\cdots,x_r x 1 , ⋯ , x r 当且仅当 其像 T ( x 1 ) , ⋯ , T ( x r ) T(x_1),\cdots,T(x_r) T ( x 1 ) , ⋯ , T ( x r ) 若 ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n V V V T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n) T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) W W W dim V = dim W \dim V=\dim W dim V = dim W
T T T T − 1 : W → V T^{-1}:W\to V T − 1 : W → V
证明（逐条，其中一半是 2.2 的现成结论）
(1)(2)(3) 是 推论 2.2.1 与 定理 2.2.1 的直接内容——同构映射首先是线性映射。
(4) 「⟹ \Longrightarrow ⟹ 推论 2.2.1 （3）（相关组的像相关），不需要 任何额外前提。「⟸ \Longleftarrow ⟸ 不全为零 的系数 k 1 , ⋯ , k r k_1,\cdots,k_r k 1 , ⋯ , k r k 1 T ( x 1 ) + ⋯ + k r T ( x r ) = θ ′ k_1T(x_1)+\cdots+k_rT(x_r)=\boldsymbol{\theta}' k 1 T ( x 1 ) + ⋯ + k r T ( x r ) = θ ′ T ( k 1 x 1 + ⋯ + k r x r ) = T ( θ ) T(k_1x_1+\cdots+k_rx_r)=T(\boldsymbol{\theta}) T ( k 1 x 1 + ⋯ + k r x r ) = T ( θ ) T T T 单射 ，故 k 1 x 1 + ⋯ + k r x r = θ k_1x_1+\cdots+k_rx_r=\boldsymbol{\theta} k 1 x 1 + ⋯ + k r x r = θ 原像组线性相关 。（落点必须回到原像组 ：像组相关只是出发点，不是结论。）对比 ：2.2.3 的单射判据（定理 2.2.2 ）只说「单射 ⟺ \iff ⟺ T T T 两个方向同时成立 。
(5) 先看无关：若 ∑ i k i T ( ε i ) = θ ′ \sum_i k_iT(\varepsilon_i)=\boldsymbol{\theta}' ∑ i k i T ( ε i ) = θ ′ T ( ∑ i k i ε i ) = T ( θ ) T(\sum_ik_i\varepsilon_i)=T(\boldsymbol{\theta}) T ( ∑ i k i ε i ) = T ( θ ) ∑ i k i ε i = θ \sum_ik_i\varepsilon_i=\boldsymbol{\theta} ∑ i k i ε i = θ ε \varepsilon ε k i k_i k i 0 0 0 ∀ y ∈ W \forall y\in W ∀ y ∈ W T T T y = T ( x ) y=T(x) y = T ( x ) x = ∑ i k i ε i x=\sum_ik_i\varepsilon_i x = ∑ i k i ε i y = ∑ i k i T ( ε i ) y=\sum_ik_iT(\varepsilon_i) y = ∑ i k i T ( ε i ) T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n) T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) W W W 定理 1.3.3 ）给出 dim V = dim W \dim V=\dim W dim V = dim W
(6) 双射必有逆映射（2.1 ：可逆 ⟺ \iff ⟺ 定理 2.1.2 ）。验证 T − 1 T^{-1} T − 1 y 1 , y 2 ∈ W y_1,y_2\in W y 1 , y 2 ∈ W y i = T ( x i ) y_i=T(x_i) y i = T ( x i ) i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2
T − 1 ( y 1 + y 2 ) = T − 1 ( T ( x 1 ) + T ( x 2 ) ) = T − 1 ( T ( x 1 + x 2 ) ) = x 1 + x 2 = T − 1 ( y 1 ) + T − 1 ( y 2 ) , T^{-1}(y_1+y_2)=T^{-1}\big(T(x_1)+T(x_2)\big)=T^{-1}\big(T(x_1+x_2)\big)=x_1+x_2=T^{-1}(y_1)+T^{-1}(y_2), T − 1 ( y 1 + y 2 ) = T − 1 ( T ( x 1 ) + T ( x 2 ) ) = T − 1 ( T ( x 1 + x 2 ) ) = x 1 + x 2 = T − 1 ( y 1 ) + T − 1 ( y 2 ) ,
同理 T − 1 ( λ y ) = λ T − 1 ( y ) T^{-1}(\lambda y)=\lambda T^{-1}(y) T − 1 ( λ y ) = λ T − 1 ( y ) T − 1 T^{-1} T − 1
∎ 性质 (5) 实际上说的是「同构不改变维数」。那么反过来问：同一数域上、维数相等的两个有限维空间，是否一定同构？这是同构判别中最实用的一问。
定理 2.3.3 · 同构的判别
同一数域 F F F 的两个有限维 线性空间同构当且仅当 它们的维数相等。
证明（课件未给，本编补全）
必要性（同构 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ：就是 命题 2.3.1 （5）——同构把基映成基。
充分性（维数相等 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ：设 dim V = dim W = n \dim V=\dim W=n dim V = dim W = n V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η n \eta_1,\cdots,\eta_n η 1 , ⋯ , η n
T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) α , 其中 x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α . T(x)=(\eta_1,\cdots,\eta_n)\alpha,\qquad\text{其中}\ x=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\alpha . T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η n ) α , 其中 x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α .
由 定理 2.3.1 ，T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W) T ∈ L ( V , W ) I n I_n I n T T T T ( x ) = θ ′ T(x)=\boldsymbol{\theta}' T ( x ) = θ ′ ( η 1 , ⋯ , η n ) α = θ ′ (\eta_1,\cdots,\eta_n)\alpha=\boldsymbol{\theta}' ( η 1 , ⋯ , η n ) α = θ ′ η \eta η α = 0 \alpha=0 α = 0 x = θ x=\boldsymbol{\theta} x = θ 维数相同 + + + ⟹ \Longrightarrow ⟹ （推论 2.2.2 ），故 T T T
证明的要点 ：两个空间维数相同，就可以「配对着取基」，再用同一组坐标把向量搬过去——因为维数相等，坐标的个数一样，这套搬运不会缺项也不会重复。
两个前提都不能丢（本编补注）
① 「同一数域」 ：R \mathbb R R 1 1 1 C \mathbb C C 1 1 1 1 1 1 F F F 「有限维」 ：无限维时「维数相等」指的是 Hamel 基的势相等，此时维数相同仍然 同构（这是集合论层面的事实），但本课程的证明（配对着取基、用 推论 2.2.2 的有限维双射判据）只覆盖有限维；第一章 定义 1.3.6 的注 3 已声明本课程只讨论有限维。
∎ 在「同一数域、有限维」这两个前提之下，判据只有一句话：维数相等就同构。它一落地，三个结论立刻到手——一个给每个 n n n
推论 2.3.1 · 万有模型 R n \mathbb R^n R n C n \mathbb C^n C n
任一实（复）n n n R n \mathbb R^n R n C n \mathbb C^n C n
推论 2.3.2 · L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W )
设 V V V W W W F F F n n n m m m
dim L ( V , W ) = dim F m × n = m n . \dim L(V,W)=\dim F^{m\times n}=mn . dim L ( V , W ) = dim F m × n = mn .
推论 2.3.3 · 线性变换空间
设 V V V R \mathbb R R C \mathbb C C n n n L ( V ) L(V) L ( V ) R n × n \mathbb R^{n\times n} R n × n C n × n \mathbb C^{n\times n} C n × n
三个推论的证明（各一句）
推论 2.3.1 ：取 W = R n W=\mathbb R^n W = R n F = R F=\mathbb R F = R n n n 定理 2.3.3 即得；同一个 V V V
推论 2.3.2 ：同构的空间维数相等（定理 2.3.3 ），而矩阵空间 F m × n F^{m\times n} F m × n m n mn mn E i j E_{ij} E ij 例 2.2.A ）。
推论 2.3.3 ：L ( V ) = L ( V , V ) L(V)=L(V,V) L ( V ) = L ( V , V ) m = n m=n m = n 推论 2.3.2 。
∎ 2.2 的悬案就此了结
2.2.4 的思考题「线性空间 L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W ) 推论 2.3.2 给了正式答案 dim L ( V , W ) = dim V ⋅ dim W \dim L(V,W)=\dim V\cdot\dim W dim L ( V , W ) = dim V ⋅ dim W 定理 2.3.2 说明「L ( V , W ) L(V,W) L ( V , W ) 同构的空间可以放心互相替代 ，这正是取定基之后抽象问题化为计算问题的依据。
矩阵写出来是要用的，而它最核心的用途只有一条——把「映射一个向量」翻译成「乘一个矩阵」。这条翻译规则就是下面的坐标公式。
定理 2.3.4 · 坐标公式
设映射 T T T n n n V V V m m m W W W T T T V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m A A A x ∈ V x\in V x ∈ V
β = A α , \beta=A\alpha, β = A α ,
式中 β ∈ F m \beta\in F^m β ∈ F m T ( x ) T(x) T ( x ) W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m α ∈ F n \alpha\in F^n α ∈ F n x x x V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n
证明（三行，全靠读法）
写 x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α x=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\alpha x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α 定理 2.2.1 （保持线性组合），
T ( x ) = T ( ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α ) = ( T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ) α = 定义 2.3.1 ( η 1 , ⋯ , η m ) A α . T(x)=T\big((\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)\alpha\big)=\big(T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n)\big)\alpha \overset{\text{定义 2.3.1}}{=}(\eta_1,\cdots,\eta_m)A\alpha . T ( x ) = T ( ( ε 1 , ⋯ , ε n ) α ) = ( T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ) α = 定义 2.3.1 ( η 1 , ⋯ , η m ) A α .
另一方面 T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) β T(x)=(\eta_1,\cdots,\eta_m)\beta T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) β η \eta η 定理 1.3.2 ）得
β = A α . ■ \beta=A\alpha .\qquad\blacksquare β = A α . ■
∎ 这条式子只有一行，却是「抽象 = = = 向量只有坐标、映射只有矩阵之后，等式 β = A α \beta=A\alpha β = A α 。下面的可交换图把这件事画得最清楚。
怎么读这张可交换图（本编补）
上层的 P 3 ( x ) → P 2 ( x ) P_3(x)\to P_2(x) P 3 ( x ) → P 2 ( x ) 抽象层 ：微分变换 T : p ( x ) ↦ p ′ ( x ) T:p(x)\mapsto p'(x) T : p ( x ) ↦ p ′ ( x ) R 4 → R 3 \mathbb R^4\to\mathbb R^3 R 4 → R 3 坐标层 ：α ↦ A α \alpha\mapsto A\alpha α ↦ A α 取坐标 ，它们本身就是同构映射（推论 2.3.1 ：P 3 ( x ) ≅ R 4 P_3(x)\cong\mathbb R^4 P 3 ( x ) ≅ R 4 P 2 ( x ) ≅ R 3 P_2(x)\cong\mathbb R^3 P 2 ( x ) ≅ R 3
图是可交换 的：先微分再取坐标 = = = A A A 。具体地，p = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 p=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 p = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 α = ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) T \alpha=(a_0,a_1,a_2,a_3)^{\mathrm T} α = ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) T T ( p ) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 T(p)=a_1+2a_2x+3a_3x^2 T ( p ) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 β = ( a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 ) T \beta=(a_1,2a_2,3a_3)^{\mathrm T} β = ( a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 ) T
A = [ 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 ] , A α = [ a 1 2 a 2 3 a 3 ] = β ✓ A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&3\end{bmatrix},\qquad A\alpha=\begin{bmatrix}a_1\\ 2a_2\\ 3a_3\end{bmatrix}=\beta\ \checkmark A = 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , A α = a 1 2 a 2 3 a 3 = β ✓
——A A A 后三列 正是 T ( x ) , T ( x 2 ) , T ( x 3 ) T(x),T(x^2),T(x^3) T ( x ) , T ( x 2 ) , T ( x 3 ) 1 , x , x 2 1,x,x^2 1 , x , x 2 1 1 1 T ( 1 ) = 0 T(1)=0 T ( 1 ) = 0 A A A 4 4 4 「抽象映射 → \to →
例 2.3.A（新增）· 从定义写矩阵，再用 β = A α \beta=A\alpha β = A α
设 T : R 3 → R 2 T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 T : R 3 → R 2 T ( x ) = [ x 1 + x 2 x 2 − x 3 ] T(x)=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\ x_2-x_3\end{bmatrix} T ( x ) = [ x 1 + x 2 x 2 − x 3 ] x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T x=(x_1,x_2,x_3)^{\mathrm T} x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T T T T β = A α \beta=A\alpha β = A α T ( 1 , 2 , 3 ) T T(1,2,3)^{\mathrm T} T ( 1 , 2 , 3 ) T
解答 · 例 2.3.A
写矩阵 ：标准基下 T ( e j ) T(e_j) T ( e j )
T ( e 1 ) = [ 1 0 ] , T ( e 2 ) = [ 1 1 ] , T ( e 3 ) = [ 0 − 1 ] ⟹ A = [ 1 1 0 0 1 − 1 ] ∈ R 2 × 3 . T(e_1)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\qquad T(e_3)=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix} \ \Longrightarrow\ A=\begin{bmatrix}1&1&0\\ 0&1&-1\end{bmatrix}\in\mathbb R^{2\times3}. T ( e 1 ) = [ 1 0 ] , T ( e 2 ) = [ 1 1 ] , T ( e 3 ) = [ 0 − 1 ] ⟹ A = [ 1 0 1 1 0 − 1 ] ∈ R 2 × 3 .
用公式 ：x = ( 1 , 2 , 3 ) T x=(1,2,3)^{\mathrm T} x = ( 1 , 2 , 3 ) T
β = A α = [ 1 1 0 0 1 − 1 ] [ 1 2 3 ] = [ 3 − 1 ] , \beta=A\alpha=\begin{bmatrix}1&1&0\\ 0&1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}, β = A α = [ 1 0 1 1 0 − 1 ] 1 2 3 = [ 3 − 1 ] ,
即 T ( 1 , 2 , 3 ) T = ( 3 , − 1 ) T T(1,2,3)^{\mathrm T}=(3,-1)^{\mathrm T} T ( 1 , 2 , 3 ) T = ( 3 , − 1 ) T x 1 + x 2 = 3 x_1+x_2=3 x 1 + x 2 = 3 x 2 − x 3 = − 1 x_2-x_3=-1 x 2 − x 3 = − 1
意义 ：矩阵 A A A A α A\alpha A α 定理 2.2.1 「线性映射由基上的作用决定」的计算版。
例 2.3.1 末尾已经提醒过：矩阵依赖于所取的基，换一组基就会变。那么变成什么样 ？回答这个问题的公式是本节第二个核心公式，也是「相似矩阵」这一大类概念的出处。
定理 2.3.5 · 换基公式
设 V V V W W W F F F n n n m m m ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ \varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ \varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ Q Q Q η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m η 1 ′ , ⋯ , η m ′ \eta'_1,\cdots,\eta'_m η 1 ′ , ⋯ , η m ′ W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m η 1 ′ , ⋯ , η m ′ \eta'_1,\cdots,\eta'_m η 1 ′ , ⋯ , η m ′ P P P T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W) T ∈ L ( V , W ) V V V ε \varepsilon ε W W W η \eta η A A A T T T V V V ε ′ \varepsilon' ε ′ W W W η ′ \eta' η ′ B B B
B = P − 1 A Q . B=P^{-1}AQ . B = P − 1 A Q .
证明（用过渡矩阵的定义两边夹）
两组新基与旧基的关系（定义 1.3.5 ）是
( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) Q , ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) P . (\varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n)=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)Q,\qquad(\eta'_1,\cdots,\eta'_m)=(\eta_1,\cdots,\eta_m)P . ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) Q , ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) P .
于是
T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = T ( ( ε 1 , ⋯ , ε n ) Q ) = ( T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ) Q = 定义 2.3.1 ( η 1 , ⋯ , η m ) A Q . T(\varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n)=T\big((\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)Q\big)=\big(T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_n)\big)Q \overset{\text{定义 2.3.1}}{=}(\eta_1,\cdots,\eta_m)AQ . T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = T ( ( ε 1 , ⋯ , ε n ) Q ) = ( T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε n ) ) Q = 定义 2.3.1 ( η 1 , ⋯ , η m ) A Q .
再把 ( η 1 , ⋯ , η m ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) P − 1 (\eta_1,\cdots,\eta_m)=(\eta'_1,\cdots,\eta'_m)P^{-1} ( η 1 , ⋯ , η m ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) P − 1 命题 1.3.1 （2））代入：
T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) P − 1 A Q . T(\varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n)=(\eta'_1,\cdots,\eta'_m)\,P^{-1}AQ . T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) P − 1 A Q .
而按定义 T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) B T(\varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n)=(\eta'_1,\cdots,\eta'_m)B T ( ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ ) = ( η 1 ′ , ⋯ , η m ′ ) B B = P − 1 A Q B=P^{-1}AQ B = P − 1 A Q
记忆 ：P P P Q Q Q P P P B B B η ′ \eta' η ′
∎ 注 1 · 相抵（等价）与推论 2.3.4
若矩阵 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A ∈ F m × n B B B A A A B B B 相抵 （或等价 ），记为 A ≅ B A\cong B A ≅ B ≅ \cong ≅ V ≅ W V\cong W V ≅ W 同名不同义 的两种关系（靠等号两侧是「矩阵」还是「空间」区分；详见符号表 ）。定理 2.3.5 表明：线性映射在不同基下的矩阵是相抵的 。
本编补注 ：两条基同时换（P , Q P,Q P , Q B = P − 1 A Q B=P^{-1}AQ B = P − 1 A Q
推论 2.3.4 · 相似与线性变换
设 V V V F F F n n n ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ \varepsilon'_1,\cdots,\varepsilon'_n ε 1 ′ , ⋯ , ε n ′ V V V ε \varepsilon ε ε ′ \varepsilon' ε ′ P P P T ∈ L ( V ) T\in L(V) T ∈ L ( V ) ε \varepsilon ε ε ′ \varepsilon' ε ′ A A A B B B
B = P − 1 A P . B=P^{-1}AP . B = P − 1 A P .
注 2 · 相似矩阵的几何含义
B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P A , B A,B A , B 相似 。课件对这一对的解释只有一句：相似矩阵反映的是同一个线性变换在不同基下的矩阵。
本编补 ：这就是本节的「题眼」——它把「相似」从一个代数记号（B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P P P P 挑一组好基，让矩阵尽量简单 。最简单能到什么程度，能不能对角？这正是后面特征值理论的出发点——下面的例子就是雏形。
例 2.3.B（新增）· 选一组基，把矩阵变简单
设 T : R 2 → R 2 T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 T : R 2 → R 2 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 A = [ 1 1 0 2 ] A=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&2\end{bmatrix} A = [ 1 0 1 2 ] ε 1 ′ = ( 1 , 0 ) T \varepsilon'_1=(1,0)^{\mathrm T} ε 1 ′ = ( 1 , 0 ) T ε 2 ′ = ( 1 , 1 ) T \varepsilon'_2=(1,1)^{\mathrm T} ε 2 ′ = ( 1 , 1 ) T T T T ε ′ \varepsilon' ε ′
解答 · 例 2.3.B
第一步（过渡矩阵） ：( ε 1 ′ , ε 2 ′ ) = ( e 1 , e 2 ) [ 1 1 0 1 ] (\varepsilon'_1,\varepsilon'_2)=(e_1,e_2)\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix} ( ε 1 ′ , ε 2 ′ ) = ( e 1 , e 2 ) [ 1 0 1 1 ] P = [ 1 1 0 1 ] P=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix} P = [ 1 0 1 1 ] P − 1 = [ 1 − 1 0 1 ] P^{-1}=\begin{bmatrix}1&-1\\ 0&1\end{bmatrix} P − 1 = [ 1 0 − 1 1 ]
第二步（用公式） ：推论 2.3.4 给出
B = P − 1 A P = [ 1 − 1 0 1 ] [ 1 1 0 2 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 1 2 0 2 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 1 0 0 2 ] . B=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&-1\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&2\\ 0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&2\end{bmatrix}. B = P − 1 A P = [ 1 0 − 1 1 ] [ 1 0 1 2 ] [ 1 0 1 1 ] = [ 1 0 2 2 ] [ 1 0 1 1 ] = [ 1 0 0 2 ] .
第三步（为什么 本该这样） ：直接按读法验证——T ( ε 1 ′ ) = T ( 1 , 0 ) T = ( 1 , 0 ) T = 1 ⋅ ε 1 ′ + 0 ⋅ ε 2 ′ T(\varepsilon'_1)=T(1,0)^{\mathrm T}=(1,0)^{\mathrm T}=1\cdot\varepsilon'_1+0\cdot\varepsilon'_2 T ( ε 1 ′ ) = T ( 1 , 0 ) T = ( 1 , 0 ) T = 1 ⋅ ε 1 ′ + 0 ⋅ ε 2 ′ T ( ε 2 ′ ) = T ( 1 , 1 ) T = ( 2 , 2 ) T = 0 ⋅ ε 1 ′ + 2 ⋅ ε 2 ′ T(\varepsilon'_2)=T(1,1)^{\mathrm T}=(2,2)^{\mathrm T}=0\cdot\varepsilon'_1+2\cdot\varepsilon'_2 T ( ε 2 ′ ) = T ( 1 , 1 ) T = ( 2 , 2 ) T = 0 ⋅ ε 1 ′ + 2 ⋅ ε 2 ′ diag ( 1 , 2 ) \operatorname{diag}(1,2) diag ( 1 , 2 )
观察 ：ε 1 ′ , ε 2 ′ \varepsilon'_1,\varepsilon'_2 ε 1 ′ , ε 2 ′ T T T 1 1 1 2 2 2 方向 （即后面要讲的特征向量 ）。选到它们，矩阵就从 [ 1 1 0 2 ] \begin{bmatrix}1&1\\ 0&2\end{bmatrix} [ 1 0 1 2 ] 这就是「相似对角化」的全部动机 ：同一个变换，换一组「顺着它的方向」的基，矩阵就最简单。
到这里，本节的三件工具——矩阵、坐标公式与同构——已经齐备。最后把它们合起来收尾：2.2 定义的零空间与值域，在矩阵的字典里是什么样子？答案是它们的维数完全一致 （两个子空间之间由「取坐标」的同构映射一一对应），于是「矩阵的秩」这个先修概念终于有了映射层面的解释。
定理 2.3.6 · 矩阵的零空间、列空间与秩
设 V V V W W W F F F n n n m m m T ∈ L ( V , W ) T\in L(V,W) T ∈ L ( V , W ) V V V ε 1 , ⋯ , ε n \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n ε 1 , ⋯ , ε n W W W η 1 , ⋯ , η m \eta_1,\cdots,\eta_m η 1 , ⋯ , η m A A A
dim N ( T ) = dim N ( A ) \dim N(T)=\dim N(A) dim N ( T ) = dim N ( A ) dim R ( T ) = dim R ( A ) = rank A \dim R(T)=\dim R(A)=\operatorname{rank}A dim R ( T ) = dim R ( A ) = rank A dim N ( A ) + dim R ( A ) = n \dim N(A)+\dim R(A)=n dim N ( A ) + dim R ( A ) = n
证明（(1)(2) 的完整论证——课件只给了 (2) 的思路且有笔误，本编补全）
(1) 零空间：用「取坐标」造同构。 对任意 x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) k ∈ N ( T ) x=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)k\in N(T) x = ( ε 1 , ⋯ , ε n ) k ∈ N ( T ) T ( x ) = θ ′ T(x)=\boldsymbol{\theta}' T ( x ) = θ ′
T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) A k = θ ′ ⟺ A k = 0. T(x)=(\eta_1,\cdots,\eta_m)Ak=\boldsymbol{\theta}'\iff Ak=0 . T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) A k = θ ′ ⟺ A k = 0.
（「⟸ \Longleftarrow ⟸ ⟹ \Longrightarrow ⟹ η \eta η
f : N ( T ) ⟶ N ( A ) , f ( x ) = k . f:N(T)\longrightarrow N(A),\qquad f(x)=k . f : N ( T ) ⟶ N ( A ) , f ( x ) = k .
良定义、双射 ：x x x k k k A k = 0 ⟺ x ∈ N ( T ) Ak=0\iff x\in N(T) A k = 0 ⟺ x ∈ N ( T ) f f f k ↦ ( ε ) k k\mapsto(\varepsilon)k k ↦ ( ε ) k 线性 ：坐标对加法与数乘是线性的（x + y x+y x + y k 1 + k 2 k_1+k_2 k 1 + k 2 λ x \lambda x λ x λ k \lambda k λk
故 f f f N ( T ) ≅ N ( A ) N(T)\cong N(A) N ( T ) ≅ N ( A ) 定理 2.3.3 得 dim N ( T ) = dim N ( A ) \dim N(T)=\dim N(A) dim N ( T ) = dim N ( A )
(2) 列空间与秩：像的坐标恰是 A A A V V V x = ( ε ) k x=(\varepsilon)k x = ( ε ) k
T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) A k , T(x)=(\eta_1,\cdots,\eta_m)Ak, T ( x ) = ( η 1 , ⋯ , η m ) A k ,
即：T ( x ) T(x) T ( x ) η \eta η A k Ak A k A k Ak A k A A A g : R ( T ) → R ( A ) g:R(T)\to R(A) g : R ( T ) → R ( A ) y ↦ y\mapsto y ↦ η \eta η dim R ( T ) = dim R ( A ) \dim R(T)=\dim R(A) dim R ( T ) = dim R ( A ) 1.2 的 定义 1.2.3 与 例 1.2.7 ，R ( A ) = span ( A 的列 ) R(A)=\operatorname{span}(A\ \text{的列}) R ( A ) = span ( A 的列 ) = = = dim R ( A ) = rank A \dim R(A)=\operatorname{rank}A dim R ( A ) = rank A
(3) 把 (1)(2) 代入 定理 2.2.5 （dim N ( T ) + dim R ( T ) = dim V = n \dim N(T)+\dim R(T)=\dim V=n dim N ( T ) + dim R ( T ) = dim V = n
∎ 课件证明的一处笔误（本编勘误）
课件对 (2) 的证明写的是：「假设 T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε r ) T(\varepsilon_1),\cdots,T(\varepsilon_r) T ( ε 1 ) , ⋯ , T ( ε r ) R ( T ) R(T) R ( T ) A 1 , ⋯ , A r A_1,\cdots,A_r A 1 , ⋯ , A r A i A_i A i i = r + 1 , ⋯ , n i=r+1,\cdots,n i = r + 1 , ⋯ , n A 1 , ⋯ , A r A_1,\cdots,A_r A 1 , ⋯ , A r A i A_i A i 它指矩阵 A A A i i i （A A A i i i T ( ε i ) T(\varepsilon_i) T ( ε i )
例 2.3.C（新增 · 承接例 2.3.A）· 在具体例子上核对定理 2.3.6
继续 例 2.3.A ：T ( x ) = [ x 1 + x 2 x 2 − x 3 ] T(x)=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\ x_2-x_3\end{bmatrix} T ( x ) = [ x 1 + x 2 x 2 − x 3 ] A = [ 1 1 0 0 1 − 1 ] A=\begin{bmatrix}1&1&0\\ 0&1&-1\end{bmatrix} A = [ 1 0 1 1 0 − 1 ] N ( T ) N(T) N ( T ) R ( T ) R(T) R ( T ) N ( A ) N(A) N ( A ) R ( A ) R(A) R ( A )
解答 · 例 2.3.C（新增
映射侧 ：N ( T ) N(T) N ( T ) x 1 + x 2 = 0 x_1+x_2=0 x 1 + x 2 = 0 x 2 − x 3 = 0 x_2-x_3=0 x 2 − x 3 = 0 x 2 = x 3 x_2=x_3 x 2 = x 3 x 1 = − x 3 x_1=-x_3 x 1 = − x 3 x 3 = 1 x_3=1 x 3 = 1
N ( T ) = span { ( − 1 , 1 , 1 ) T } , dim N ( T ) = 1. N(T)=\operatorname{span}\{( -1,1,1)^{\mathrm T}\},\qquad \dim N(T)=1 . N ( T ) = span {( − 1 , 1 , 1 ) T } , dim N ( T ) = 1.
R ( T ) R(T) R ( T ) ( x 1 + x 2 , x 2 − x 3 ) T (x_1+x_2,\ x_2-x_3)^{\mathrm T} ( x 1 + x 2 , x 2 − x 3 ) T x 1 x_1 x 1 R ( T ) = R 2 R(T)=\mathbb R^2 R ( T ) = R 2 dim R ( T ) = 2 \dim R(T)=2 dim R ( T ) = 2
矩阵侧 ：N ( A ) N(A) N ( A ) A k = 0 A k=0 A k = 0 k 1 + k 2 = 0 k_1+k_2=0 k 1 + k 2 = 0 k 2 − k 3 = 0 k_2-k_3=0 k 2 − k 3 = 0 N ( A ) = span { ( − 1 , 1 , 1 ) T } N(A)=\operatorname{span}\{(-1,1,1)^{\mathrm T}\} N ( A ) = span {( − 1 , 1 , 1 ) T } dim N ( A ) = 1 \dim N(A)=1 dim N ( A ) = 1 不是巧合 ：N ( T ) N(T) N ( T ) N ( A ) N(A) N ( A ) 定理 2.3.6 （1） 的证明中那个同构映射把坐标当向量看。
R ( A ) = span { ( 1 , 0 ) T , ( 1 , 1 ) T , ( 0 , − 1 ) T } R(A)=\operatorname{span}\{(1,0)^{\mathrm T},(1,1)^{\mathrm T},(0,-1)^{\mathrm T}\} R ( A ) = span {( 1 , 0 ) T , ( 1 , 1 ) T , ( 0 , − 1 ) T } 2 2 2 dim R ( A ) = 2 \dim R(A)=2 dim R ( A ) = 2
核对 (3) ：dim N ( A ) + dim R ( A ) = 1 + 2 = 3 = n \dim N(A)+\dim R(A)=1+2=3=n dim N ( A ) + dim R ( A ) = 1 + 2 = 3 = n 定理 2.2.5 ：1 + 2 = 3 = dim R 3 1+2=3=\dim\mathbb R^3 1 + 2 = 3 = dim R 3
本节最后一个例子换个场景：同构不只能判别两个空间是否一样大，还能直接量出一个解空间的维数——办法就是把它同维数已知的空间对上。
例 2.3.5（课件原文）· 差分方程解空间的维数
考查齐次线性差分方程
u k + n + a n − 1 u k + n − 1 + ⋯ + a 1 u k + 1 + a 0 u k = 0 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ . u_{k+n}+a_{n-1}u_{k+n-1}+\cdots+a_1u_{k+1}+a_0u_k=0,\qquad k=0,\pm1,\pm2,\cdots . u k + n + a n − 1 u k + n − 1 + ⋯ + a 1 u k + 1 + a 0 u k = 0 , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ .
求方程的解空间的维数。
解答（课件给出路线，此处补全细节）
第一步（化成一阶递推） ：令状态向量
x k = [ u k u k + 1 ⋮ u k + n − 1 ] ∈ R n , A = [ 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 − a 0 − a 1 − a 2 ⋯ − a n − 1 ] ∈ R n × n , x_k=\begin{bmatrix}u_k\\ u_{k+1}\\ \vdots\\ u_{k+n-1}\end{bmatrix}\in\mathbb R^n,\qquad A=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots&-a_{n-1}\end{bmatrix}\in\mathbb R^{n\times n}, x k = u k u k + 1 ⋮ u k + n − 1 ∈ R n , A = 0 0 ⋮ 0 − a 0 1 0 ⋮ 0 − a 1 0 1 ⋮ 0 − a 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ 0 0 ⋮ 1 − a n − 1 ∈ R n × n ,
则方程等价于
x k + 1 = A x k , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ . (2.3.4) x_{k+1}=Ax_k,\qquad k=0,\pm1,\pm2,\cdots .\tag{2.3.4} x k + 1 = A x k , k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ . ( 2.3.4 )
认出 A A A ：A A A 2.1.2 的 定义 2.1.11 友矩阵 ——「把多项式的系数打包成矩阵」在这里派上用场：差分方程的特征多项式 λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 0 \lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0 λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 0 A A A
第二步（初始值决定一切） ：由 (2.3.4)，x k = A k x 0 x_k=A^kx_0 x k = A k x 0 k ≥ 0 k\ge0 k ≥ 0 a 0 ≠ 0 a_0\neq0 a 0 = 0 A A A x k = A k x 0 x_k=A^{k}x_0 x k = A k x 0 k < 0 k<0 k < 0 A − 1 A^{-1} A − 1 给定 x 0 x_0 x 0 { u k } \{u_k\} { u k } 。
第三步（用同构量维数） ：记方程的全体解为 S ~ \tilde S S ~ S ~ \tilde S S ~
T : S ~ ⟶ R n , T ( { u k } ) = x 0 . T:\tilde S\longrightarrow\mathbb R^n,\qquad T(\{u_k\})=x_0 . T : S ~ ⟶ R n , T ({ u k }) = x 0 .
线性 ：若 { u k } , { v k } \{u_k\},\{v_k\} { u k } , { v k } { u k + v k } \{u_k+v_k\} { u k + v k } x 0 u + x 0 v x_0^u+x_0^v x 0 u + x 0 v 双射 ：由第二步，解由 x 0 x_0 x 0 x 0 ∈ R n x_0\in\mathbb R^n x 0 ∈ R n
于是 T T T dim S ~ = dim R n = n \dim\tilde S=\dim\mathbb R^n=n dim S ~ = dim R n = n S ~ \tilde S S ~ S S S n n n 结论：n n n n n n ——与 n n n n n n
课件的一处前提（本编补注）
课件写 k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ k=0,\pm1,\pm2,\cdots k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ x 0 x_0 x 0 { u k } \{u_k\} { u k } 这默认了 a 0 ≠ 0 a_0\neq0 a 0 = 0 ：若 a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0 A A A k < 0 k<0 k < 0 x 0 x_0 x 0 n = 1 n=1 n = 1 a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0 u k u_k u k k ≤ 0 k\le0 k ≤ 0 a 0 ≠ 0 a_0\neq0 a 0 = 0 k ≥ 0 k\ge0 k ≥ 0
一条主线 ：取定基 ⇒ \Rightarrow ⇒ （定义 2.3.1 ：A A A = = = ⇒ \Rightarrow ⇒ 双射 （定理 2.3.1 ）且保持运算 （定理 2.3.2 ：L ( V , W ) ≅ F m × n L(V,W)\cong F^{m\times n} L ( V , W ) ≅ F m × n ⇒ \Rightarrow ⇒ 定理 2.3.4 ：β = A α \beta=A\alpha β = A α 定理 2.3.5 ：B = P − 1 A Q B=P^{-1}AQ B = P − 1 A Q B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P 推论 2.3.4 ）⇒ \Rightarrow ⇒ 定理 2.3.6 ：零度与秩都相等）——从定义一路走到应用，每一步都只是上一步的直接推论。另一根并列的线索是同构 ：它要求「双射 + + + 定理 2.3.3 ），于是 R n \mathbb R^n R n C n \mathbb C^n C n n n n 推论 2.3.1 ）。两个视角 ：同一件事的两种说法 ——「线性映射」与「矩阵」不是两个对象，而是同一个对象的抽象版与坐标版；「相似」与「同一个线性变换的两组基」也不是两件事。凡是「矩阵的性质」，都该问一句「它在映射层面是什么」。
常见错误清单 · 自查四条
形状与列的含义写错 ：A A A m × n m\times n m × n = = = j j j T ( ε j ) T(\varepsilon_j) T ( ε j ) T T T j j j 把矩阵当成映射的固有属性 ：矩阵依赖「映射 + + + + + + 定理 2.3.5 重算，不能照抄；混淆相抵与相似 ：B = P − 1 A Q B=P^{-1}AQ B = P − 1 A Q B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B = P − 1 A P 同一个空间的两组基 ）不是一回事；相似必相抵，相抵未必相似（同阶方阵才谈相似）；把「同构」降级成「等势」 ：同构要求双射且保持线性运算 ，判别依据是维数相等 ，不是「元素一样多」。
即时自测（不看上文，4 分钟）
说出「写矩阵」的读法：A A A j j j A A A
T : R 2 → R 2 T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 T : R 2 → R 2 T ( x ) = [ x 1 + 2 x 2 , 3 x 2 ] T T(x)=[x_1+2x_2,\ 3x_2]^{\mathrm T} T ( x ) = [ x 1 + 2 x 2 , 3 x 2 ] T ε 1 ′ = ( 1 , 0 ) T \varepsilon'_1=(1,0)^{\mathrm T} ε 1 ′ = ( 1 , 0 ) T ε 2 ′ = ( 1 , 1 ) T \varepsilon'_2=(1,1)^{\mathrm T} ε 2 ′ = ( 1 , 1 ) T 「dim V = dim W \dim V=\dim W dim V = dim W V ≅ W V\cong W V ≅ W L ( V , W ) ≅ F m × n L(V,W)\cong F^{m\times n} L ( V , W ) ≅ F m × n dim L ( V , W ) = m n \dim L(V,W)=mn dim L ( V , W ) = mn
用一个例子说明 dim N ( T ) = dim N ( A ) \dim N(T)=\dim N(A) dim N ( T ) = dim N ( A ) rank A = dim R ( T ) \operatorname{rank}A=\dim R(T) rank A = dim R ( T )
解答 · 即时自测
第 j j j T ( ε j ) T(\varepsilon_j) T ( ε j ) A A A m × n m\times n m × n = = = = = =
标准基下 A = [ 1 2 0 3 ] A=\begin{bmatrix}1&2\\ 0&3\end{bmatrix} A = [ 1 0 2 3 ] 推论 2.3.4 ：P = [ 1 1 0 1 ] P=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix} P = [ 1 0 1 1 ]
B = P − 1 A P = [ 1 − 1 0 1 ] [ 1 2 0 3 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 1 1 0 3 ] [ 1 1 0 1 ] = [ 1 0 0 3 ] . B=P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&-1\\ 0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\ 0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\ 0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\ 0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\ 0&3\end{bmatrix}. B = P − 1 A P = [ 1 0 − 1 1 ] [ 1 0 2 3 ] [ 1 0 1 1 ] = [ 1 0 1 3 ] [ 1 0 1 1 ] = [ 1 0 0 3 ] . 验算 ：T ( ε 1 ′ ) = T ( 1 , 0 ) T = ( 1 , 0 ) T = ε 1 ′ T(\varepsilon'_1)=T(1,0)^{\mathrm T}=(1,0)^{\mathrm T}=\varepsilon'_1 T ( ε 1 ′ ) = T ( 1 , 0 ) T = ( 1 , 0 ) T = ε 1 ′ T ( ε 2 ′ ) = T ( 1 , 1 ) T = ( 3 , 3 ) T = 3 ε 2 ′ T(\varepsilon'_2)=T(1,1)^{\mathrm T}=(3,3)^{\mathrm T}=3\varepsilon'_2 T ( ε 2 ′ ) = T ( 1 , 1 ) T = ( 3 , 3 ) T = 3 ε 2 ′ ( 1 , 0 ) T (1,0)^{\mathrm T} ( 1 , 0 ) T ( 0 , 3 ) T (0,3)^{\mathrm T} ( 0 , 3 ) T 要点 ：ε 1 ′ , ε 2 ′ \varepsilon'_1,\varepsilon'_2 ε 1 ′ , ε 2 ′ T T T 1 1 1 3 3 3
同构 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 定理 2.3.3 ），所以两者等价（同一数域上）。同构的空间维数相同，而 dim F m × n = m n \dim F^{m\times n}=mn dim F m × n = mn E i j E_{ij} E ij dim L ( V , W ) = m n \dim L(V,W)=mn dim L ( V , W ) = mn
取 例 2.3.A 的 T T T N ( T ) = span { ( − 1 , 1 , 1 ) T } N(T)=\operatorname{span}\{(-1,1,1)^{\mathrm T}\} N ( T ) = span {( − 1 , 1 , 1 ) T } N ( A ) = span { ( − 1 , 1 , 1 ) T } N(A)=\operatorname{span}\{(-1,1,1)^{\mathrm T}\} N ( A ) = span {( − 1 , 1 , 1 ) T } 1 1 1 R ( T ) = R 2 R(T)=\mathbb R^2 R ( T ) = R 2 R ( A ) = span { ( 1 , 0 ) T , ( 1 , 1 ) T } R(A)=\operatorname{span}\{(1,0)^{\mathrm T},(1,1)^{\mathrm T}\} R ( A ) = span {( 1 , 0 ) T , ( 1 , 1 ) T } rank A \operatorname{rank}A rank A 2 2 2
