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符号表

符号名称含义
FF数域 field含 0,10,1 且对四则运算封闭的数集；常用 R,C\mathbb{R},\mathbb{C}
V, (V,+,⋅)V,\ (V,+,\cdot)线性空间 linear space数域 FF 上的线性空间；元素称为向量
θ\boldsymbol{\theta} / 0\boldsymbol{0}零向量 zero vector满足 α+θ=α\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\alpha} 的唯一元素。本教程约定：抽象线性空间中的零元记 θ\boldsymbol{\theta}；矩阵、Cn\mathbb{C}^n 与方程组语境中的零向量记 0\boldsymbol{0}（如 Ax=0A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}、坐标列 0\boldsymbol{0}）。同一小节内描述同一个对象时只用一种记法，不要中途换写。
Rn, Cn\mathbb{R}^n,\ \mathbb{C}^nnn 维向量空间实 / 复 nn 元有序数组全体
Rm×n, Cm×n\mathbb{R}^{m\times n},\ \mathbb{C}^{m\times n}矩阵空间m×nm\times n 实 / 复矩阵全体
Pn(x)P_n(x)多项式空间次数不超过 nn 的多项式与零多项式全体
SS离散时间信号空间双边序列 {xk}k=0,±1,±2,⋯{x_k}_{k=0,\pm1,\pm2,\cdots} 全体
W⊆VW\subseteq V / W≤VW\le V子空间 subspace本文用「WW 是 VV 的子空间」行文，不专用记号
f:V→Wf:V\to W、T:V→WT:V\to W映射 / 线性映射 map / linear map第二章记号：一般映射记 f,gf,g，线性映射记 TT；R(f)R(f) 为值域
f2f1f_2f_1、f2⋅f1f_2\cdot f_1复合映射 composition先作用 f1f_1、再作用 f2f_2；f−1f^{-1} 为逆映射
IVI_V恒等映射 identity mapIV(x)=xI_V(x)=x，x∈Vx\in V；不同空间的恒等映射是不同的映射
θ, θ′\boldsymbol{\theta},\ \boldsymbol{\theta}'零元素θ∈V\boldsymbol{\theta}\in V、θ′∈W\boldsymbol{\theta}'\in W 分属两个空间（第二章起用撇号区分）；全站一律用粗体 θ\boldsymbol{\theta}
L(V,W)L(V,W)、（课件）L(V,W)\mathcal L(V,W)线性映射空间V→WV\to W 全体线性映射；L(V)L(V) 为线性变换空间；dim⁡L=dim⁡V⋅dim⁡W\dim L=\dim V\cdot\dim W
N(T)N(T)、R(T)R(T)核空间（零空间）、值空间（像空间）N(T)={x∣T(x)=θ}N(T)={x\mid T(x)=\boldsymbol{\theta}}、R(T)=T(V)R(T)=T(V)；dim⁡N(T)\dim N(T) 称零度（亏）、dim⁡R(T)\dim R(T) 称秩
α1⋯αn\alpha_1\cdots\alpha_n、ε,η\varepsilon,\eta基向量第二章的「两组基」用 ε1,⋯ ,εn\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n 与 η1,⋯ ,ηn\eta_1,\cdots,\eta_n
W1+W2, W1∩W2W_1+W_2,\ W_1\cap W_2和空间 / 交空间和：{α1+α2}{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2}；交：公共向量全体
span⁡(α1,⋯ ,αn)\operatorname{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)张成（生成）子空间α1,⋯ ,αn\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n 的全体线性组合
N(A)N(A)零空间（核空间）{x∣Ax=0}⊆Cn{\boldsymbol{x}\mid A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}}\subseteq\mathbb{C}^n
R(A)R(A)列空间（值空间）{Ax∣x∈Cn}⊆Cm{A\boldsymbol{x}\mid \boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^n}\subseteq\mathbb{C}^m，即 range
rank⁡(α1,⋯ ,αn)\operatorname{rank}(\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)秩 rank向量组的极大线性无关组所含向量个数；矩阵的秩记 rank⁡A\operatorname{rank}A
(x1,⋯ ,xn)(\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n)基 basis有序向量组；作行向量记号时表示「按序排列」
AA过渡矩阵 / 映射的矩阵第一章：过渡矩阵，满足 (y1,⋯ ,yn)=(x1,⋯ ,xn)A(\boldsymbol{y}_1,\cdots,\boldsymbol{y}_n)=(\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n)A 的可逆矩阵；第二章 2.3 起：线性映射 TT 在给定两对基下的矩阵，AA 的第 jj 列是 T(εj)T(\varepsilon_j) 的坐标
dim⁡V\dim V维数 dimension基所含向量个数；零子空间 {θ}{\boldsymbol{\theta}} 的维数为 00，无限维记 ∞\infty
(x,y)(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})内积 inner product本文约定对第一变元线性、对第二变元共轭线性
AHA^{\mathrm H}共轭转置 conjugate transpose先逐项取共轭再转置；A=AHA=A^{\mathrm H} 称为 Hermite 矩阵
A≻0A\succ0, A⪰0A\succeq0正定 / 半正定对所有非零 x\boldsymbol{x}，xHAx>0\boldsymbol{x}^{\mathrm H}A\boldsymbol{x}>0；半正定改为 ≥0\geq0
GEG_{\mathcal E}度量（Gram）矩阵固定基 E\mathcal E 后记录基向量两两内积，本文取 (GE)ij=(εj,εi)(G_{\mathcal E})_{ij}=(\boldsymbol{\varepsilon}_j,\boldsymbol{\varepsilon}_i)
V≅WV\cong W同构 isomorphic存在双射且保持线性运算的映射（同构映射）；判别依据是 dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W。记 L(V,W)≅Fm×nL(V,W)\cong F^{m\times n}
A≅BA\cong B相抵（等价）equivalentAA 经有限次初等变换化为 BB，等价于 B=P−1AQB=P^{-1}AQ（P,QP,Q 可逆、同型矩阵）。注意与上一行的 V≅WV\cong W 同名不同义，靠左右两侧是空间还是矩阵区分
B=P−1APB=P^{-1}AP相似 similar同一个线性变换在同一个空间的两组基下的矩阵；相似必相抵，反之不真

向量记号。向量用粗体希腊字母 α,β\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} 或粗斜拉丁字母 x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} 表示；基向量组 (x1,⋯ ,xn)(\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n) 是有序组——交换顺序视为另一组基（过渡矩阵随之改变）。