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学习目标

按「能……」句式给出可检验的目标；每条目标后括注认知层级，并在章末自检表中对应到正文小节与习题。

第二章（2.1–2.5）的目标：2.1–2.2 随第 3 周录播追加、2.3 随官方课件追加、2.4–2.5 随第 5 周录播追加，见「K2 / S2 / A2」三组，与第二章自检表对应；2.6–2.7 到位后继续补充。

第三章（3.1–3.5）的目标：四节随官方课件追加（均无录播），见本节末尾「K3 / S3 / A3」三组——K3.1–K3.16、S3.1–S3.5、A3.1–A3.5 覆盖 3.1–3.2，K3.17–K3.30、S3.6–S3.10、A3.6–A3.8 覆盖 3.4–3.5，与第三章自检表、考场竞技场的必考点清单同一编号；3.3 及以后到位后继续补充。

K · 知识目标（概念与理论）

  • K1.1能陈述数域的定义，并对给定数集（Q\mathbb{Q}、R\mathbb{R}、C\mathbb{C}、Z\mathbb{Z}、Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt2) 等）作出是否为数域的判断且说明理由。记忆 / 理解
  • K1.2能完整写出线性空间定义中的八条运算律（加法四条 + 数乘四条），并指出验证一个具体空间时哪些条款「自动继承」、哪些必须逐一检验。记忆 / 理解
  • K1.3能陈述子空间判定定理的三个等价命题，并解释「先检验零向量是否在集合中」这一步骤的依据。记忆 / 理解
  • K1.4能陈述线性相关 / 无关、极大无关组、基、坐标、过渡矩阵、维数的定义，并说明「基给线性空间强加了坐标系」的含义。记忆 / 理解
  • K1.5能陈述复内积的四条公理、Hermite 矩阵与正定性的定义，并解释内积、坐标和度量矩阵之间的关系。记忆 / 理解
  • K1.6能陈述长度、夹角、正交、正交向量组、正交基与标准正交基的定义，并写出长度的四条性质（正定、齐次、平行四边形法则、三角不等式）与 Cauchy–Schwarz 不等式（含等号条件）。记忆 / 理解
  • K1.7能陈述直和与直和分解的定义、直和判定定理的四条等价命题，以及投影的定义与「投影依赖于整个分解」这一要点。记忆 / 理解
  • K1.8能陈述向量与子空间正交、两子空间正交、正交直和、正交补与正交投影的定义，写出正交基下的投影公式（一般正交基与标准正交基两个版本），并说明「正交投影只由子空间与内积决定、且是最近点」。记忆 / 理解

S · 技能目标（判定与计算）

  • S1.1能对给定集合（新定义运算的 R+\mathbb{R}^+、矩阵集合、函数集合、信号集合）逐条验证八条公理，或用判定定理 / 反例快速否定其线性空间资格。应用
  • S1.2能求给定矩阵 AA 的零空间 N(A)N(A) 与列空间 R(A)R(A)，并用「b∈R(A)b\in R(A)」判断线性方程组 Ax=bA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} 的可解性。应用
  • S1.3能判定向量组的线性相关性：Rn\mathbb{R}^n / Cn\mathbb{C}^n 中的向量组用秩，离散信号组用 Casorati 行列式。应用 / 分析
  • S1.4能求向量在给定基下的坐标、求两组基之间的过渡矩阵并完成坐标变换（含多项式空间的 Taylor 基）。应用
  • S1.5能用维数公式 dim⁡(W1+W2)=dim⁡W1+dim⁡W2−dim⁡(W1∩W2)\dim(W_1+W_2)=\dim W_1+\dim W_2-\dim(W_1\cap W_2) 计算 dim⁡(W1∩W2)\dim(W_1\cap W_2)，并具体求出交空间。应用 / 分析
  • S1.6能判断给定二元函数是否构成内积，并由正定 Hermite 矩阵构造加权内积。应用 / 分析
  • S1.7能在给定基下计算度量矩阵，并用 (x,y)=ηHGξ(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm H}G\boldsymbol{\xi} 完成内积计算与换基验证。应用
  • S1.8能计算向量的长度与夹角，判定正交性，并用 Gram–Schmidt 正交化把给定基化为正交基 / 标准正交基。应用 / 分析
  • S1.9能对给定子空间判定其和是否为直和，并把向量沿直和分解拆成各子空间上的投影（含解 Gram 方程组求投影）。应用 / 分析
  • S1.10能求给定子空间的正交补（含维数核算），用「先补后投」与「正交基公式」两种方法求正交投影，并把 Gram–Schmidt 的换基关系写成正线上三角过渡矩阵。应用 / 分析

A · 素养目标（辨析与迁移）

  • A1.1能识别子空间判定中的常见陷阱（R2\mathbb{R}^2 不是 R3\mathbb{R}^3 的子空间、非齐次方程解集、子空间的并集等），并对每个错误命题给出具体反例。分析 / 评价
  • A1.2能说明「线性相关性依赖于所取数域」「坐标依赖于所取基」这两件事的典型例证，并在计算中主动标注数域与基。分析
  • A1.3能复核课件与教材中的论证（如例 1.3.6、例 1.6.4），发现「声称线性无关」与「矩阵两行相同」矛盾、或「不同空间的向量直接相等」这类跳跃，并给出改正。评价
  • A1.4能主动声明复内积的线性变元约定，核对 Gram 矩阵下标，并指出「内积与度量矩阵一一对应」必须先固定基。分析 / 评价
  • A1.5能写出结构完整、每步指明依据的证明（存在性 / 唯一性分开处理，反证法假设与矛盾都写清楚），而不只是罗列算式。综合 / 评价
  • A1.6能辨别实、复内积空间的边界：Cauchy–Schwarz 的模形式及等号条件在二者中都成立；不带模的等式、实夹角公式与勾股逆命题不能直接搬到复空间，并能给出反例。分析 / 评价
  • A1.7能辨析「几何垂直」与「子空间正交」的差异（墙角反例），指出正交基投影公式对非正交基失效的原因，并复述例 1.6.7 的三步证明骨架与「包含 + 等维」技巧。分析 / 评价

第二章 · 线性映射与矩阵（2.1–2.5）

K · 知识目标

  • K2.1能陈述映射、单射、满射、双射、映射相等、复合映射、可逆映射、变换、一一变换、置换的定义，并解释「可逆 ⟺ 双射」。记忆 / 理解
  • K2.2能构造 N→Z\mathbb N\to\mathbb Z 的双射，说明等势的含义，并复述 N∼Z∼Q\mathbb N\sim\mathbb Z\sim\mathbb Q、R\mathbb R 不可数的结论与证明思路。理解 / 应用
  • K2.3能陈述带余除法、整除、因式 / 倍式、公因式 / 公倍式、友矩阵的定义，并写出友矩阵的两种形状。记忆 / 理解
  • K2.4能写出线性映射定义的两条性质（可加性、齐次性）及合并形式，说明两条注记（同一数域、左右两端的运算空间）的作用。记忆 / 理解
  • K2.5能列举至少八个线性映射的例子（几何三类、微分、积分、投影、两组基、矩阵诱导 / 转置），并说明平移为何不是线性映射。理解
  • K2.6能陈述并证明「保持线性组合」、「T(θ)=θ′T(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\theta}'」、「相关组的像相关」三条性质；能陈述单射判据及其两条注、推论（同维 + 单射 ⟹ 双射）。理解 / 分析
  • K2.7能陈述线性映射空间 L(V,W)L(V,W) 的定义与维数公式 dim⁡L=dim⁡V⋅dim⁡W\dim L=\dim V\cdot\dim W；能陈述零空间、值空间、零度与秩的定义，并完整证明亏加秩定理。理解 / 分析
  • K2.8能定义线性映射（线性变换）在给定两对基下的矩阵，说出「AA 的第 jj 列是 T(εj)T(\varepsilon_j) 的坐标」这一读法，并陈述矩阵的存在唯一性。记忆 / 理解
  • K2.9能定义同构映射，陈述并证明「同构 ⟺ 维数相等」，说明「同构 == 等势 ++ 保持线性运算」与 L(V,W)≅Fm×nL(V,W)\cong F^{m\times n}。理解 / 证明
  • K2.10能陈述坐标公式 β=Aα\beta=A\alpha、换基公式 B=P−1AQB=P^{-1}AQ 与相似公式 B=P−1APB=P^{-1}AP，说明 PP、QQ 各自作用的端与「相似 = 同一变换换基」的含义。理解 / 分析
  • K2.11能陈述并证明 dim⁡N(T)=dim⁡N(A)\dim N(T)=\dim N(A)、dim⁡R(T)=dim⁡R(A)=rank⁡A\dim R(T)=\dim R(A)=\operatorname{rank}A，说明它们与亏加秩定理的关系。理解 / 证明

S · 技能目标

  • S2.1能按「先证是映射、再验两条」的规范书写格式，证明给定映射是线性映射（含由基定义的映射）并计算指定像。应用
  • S2.2能对具体线性映射求 N(T)N(T)、R(T)R(T) 的一组基与维数，并验证亏加秩定理。应用 / 分析
  • S2.3能利用亏加秩定理反推维数（如由满射推零度），并结合单射判据判断映射类型。分析
  • S2.4能给定映射与两对基逐列写出矩阵，也能由矩阵与基还原映射；能用 β=Aα\beta=A\alpha 计算像的坐标。应用
  • S2.5能求过渡矩阵、用 B=P−1APB=P^{-1}AP 计算换基后的矩阵，并用「逐列验证」自查结果。应用 / 分析

A · 素养目标

  • A2.1能主动核对「数域」前提（R\mathbb R-线性还是 C\mathbb C-线性），并给出可加 / 齐次只满足其一的映射反例。分析 / 评价
  • A2.2使用单射判据前先核对前提（是否整组向量、维数是否相同），能解释「注 2 的反例」与「维数陷阱」。分析 / 评价
  • A2.3能识别并纠正常见书写错误：复合顺序写反、IVI_V 与 IWI_W 混同、把「变换」当任意映射、把推论的前提（维数相同）丢掉。评价
  • A2.4书写矩阵与换基公式前先核对形状（m×nm\times n）与基的对应关系；能区分「相抵 / 相似」「等势 / 同构」「同一个矩阵 / 同一个映射」三对概念。分析 / 评价

第三章 · 矩阵分解（3.1–3.5）

K · 知识目标

  • K3.1能陈述相抵分解式 A=P−1ΓQA=P^{-1}\Gamma Q 与相抵标准形 Γ=[Ir000]\Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}，说明「分解式不唯一、标准形唯一」各自的含义。记忆 / 理解
  • K3.2能写出分解不唯一的构造（吸收矩阵 [Ir∗0I]\begin{bmatrix}I_r&*\\0&I\end{bmatrix}），并说明相抵标准形为何由秩唯一决定。理解 / 证明
  • K3.3能双向证明「同型矩阵相抵   ⟺  \iff 秩相等」，并说出它在「秩相关命题」中的用法。理解 / 证明
  • K3.4能复述引理 3.1.1 存在性证明的选基路线（零空间的基排前、值域的基接后），并指出用到了哪些先修结论。理解 / 证明
  • K3.5能用分块矩阵法求 PP、QQ：读对 EE、FF 并写对 A=E−1ΓF−1A=E^{-1}\Gamma F^{-1}，用 EAF=ΓEAF=\Gamma 回代验证。理解 / 应用
  • K3.6能用相抵标准形解线性方程组：写出可解判据（PbP\boldsymbol b 后 m−rm-r 个分量）与自由度数 n−rn-r。理解 / 应用
  • K3.7能陈述并应用右逆 / 左逆的存在判别（行满秩   ⟺  \iff 右逆，列满秩   ⟺  \iff 左逆），方向不写反。理解 / 证明
  • K3.8能给出单侧逆存在性的两条充分性证明（法 1 相抵构造、法 2 闭式公式）并各自验算。理解 / 证明
  • K3.9能复述注 1 的三条存在性小结（可逆 / 满秩非方阵 / 其他），并说出「方阵前提」的必要性。理解 / 分析
  • K3.10能说清单侧逆的映射含义（左逆 ↔\leftrightarrow 单射、右逆 ↔\leftrightarrow 满射），并解释为什么单侧逆不唯一。理解 / 分析
  • K3.11能背四项秩等式链，并复述证明主线（同解 ++ 正定性），指出正定性用在哪一步。理解 / 证明
  • K3.12能说清 AHAA^{\mathrm H}A（AAHAA^{\mathrm H}）可逆   ⟺  \iff 列（行）满秩，并解释为什么不能换成 A2A^2。理解 / 分析
  • K3.13能说出满秩分解 A=BCA=BC 中 BB、CC 的形状、秩与几何含义（基 / 坐标），并背写定理。理解 / 证明
  • K3.14能写出满秩分解的两条构造（相抵法：B=P−1B=P^{-1} 前 rr 列、C=QC=Q 前 rr 行；列空间基法），并补全 rank⁡C=r\operatorname{rank}C=r 的夹逼。理解 / 证明
  • K3.15能用 RREF 批量取 BB（主元列）与 CC（非零行），并解释为什么成立。理解 / 应用
  • K3.16能陈述并证明满秩分解的唯一性刻画（B1=B2DB_1=B_2D、C1=D−1C2C_1=D^{-1}C_2，DD 是过渡矩阵），说明「一个分解生成全部」。理解 / 证明
  • K3.17能背写 QR 分解的两种版本（酉三角 / 正交三角）与「正线」约定，说出 QQ、RR 各自的身份。记忆 / 理解
  • K3.18能陈述 QR 分解定理（满秩方阵存在且正线下唯一），并用「RR 是 z\boldsymbol z 基到 a\boldsymbol a 基的过渡矩阵」解释 GS 读法。理解 / 证明
  • K3.19能复述唯一性证明（上三角 ++ 酉 ++ 正对角 ⇒I\Rightarrow I），说出不唯一的精确程度（对角酉阵；实方阵 2n2^n 种）。理解 / 证明
  • K3.20能讲例 3.4.2（不满秩：零对角元、唯一性失效）与推论 3.4.1（长方阵完全分解，GS ++ 基扩充）。理解 / 证明
  • K3.21能背写 QR 算法迭代格式、证明每步酉相似（Ak+1=QkHAkQkA_{k+1}=Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k），说明收敛条件「模互异」是充分非必要，并给出等模卡死反例。理解 / 证明
  • K3.22能分别陈述并证明两个 Schur 引理（归纳吃特征向量；对 PP 作 QR 升级为酉相似）。理解 / 证明
  • K3.23能用旋转阵反例说明实阵未必正交三角化，并陈述实 Schur 引理的前提（特征值全实）与注 3 的警告。理解 / 分析
  • K3.24能证谱映射（φ(A)\varphi(A) 的特征值为 φ(λi)\varphi(\lambda_i)），说出特征向量继承的单向性与黏合现象。理解 / 证明
  • K3.25能陈述并证明 Hamilton–Cayley 定理（含「按次序乘因子、逐列清零」的证明心脏），说明只验对角元为零为什么不够。理解 / 证明
  • K3.26能背写逆矩阵公式并证明 a0=fA(0)≠0  ⟺  Aa_0=f_A(0)\ne0\iff A 可逆。理解 / 证明
  • K3.27能给出零化 / 最小多项式的定义（首 1、次数最小、唯一），说出零化多项式族为何无穷。记忆 / 理解
  • K3.28能证明最小多项式的两条性质（整除一切零化多项式、与 fAf_A 同根，不计重数）。理解 / 证明
  • K3.29能按候选法三步（fAf_A 因式分解 → 列候选 → 从低到高试）求 mAm_A，并解释次序不能反。理解 / 应用
  • K3.30能按题选路完成三套计算流程：带余除法算 g(A)g(A)、递推 / 定系数算 AmA^m、逆公式求 A−1A^{-1}，并知道「先求 mAm_A 再除」最省。应用 / 分析

S · 技能目标

  • S3.1能对任意矩阵（含长方阵、零矩阵）完成相抵分解：消元、读块、写出 P−1P^{-1} 与 QQ，并回代验证。应用
  • S3.2能用相抵标准形求出方程组的通解或判定无解，并核对可解判据与自由度数。应用 / 分析
  • S3.3能用公式 AH(AAH)−1A^{\mathrm H}(AA^{\mathrm H})^{-1}、(AHA)−1AH(A^{\mathrm H}A)^{-1}A^{\mathrm H} 构造单侧逆并验算；能写出「全部右（左）逆」的参数形式。应用
  • S3.4能用三种算法求满秩分解（取列 / RREF / 从相抵分解读），并由分解读出 R(A)R(A) 的基、列关系与 N(A)N(A)。应用 / 分析
  • S3.5能在两种满秩分解之间用过渡矩阵 DD 换算，并在具体矩阵上验证定理 3.2.2。应用
  • S3.6能逐步完成 Gram–Schmidt 手算 QR（对角元取残差范数）、补齐长方阵的完全分解，并全部回代验证。应用
  • S3.7能对具体矩阵手推两三轮 QR 迭代，读出对角元的收敛位置与非对角元的衰减率。应用 / 分析
  • S3.8能用候选法（从低次到高次试算）求最小多项式，并识别低次候选被淘汰的情形（几何重数不足）。应用 / 分析
  • S3.9能用 H–C 降次计算 g(A)g(A) 与 AmA^m（在特征值处定系数）、用逆矩阵公式求 A−1A^{-1}，并全部回代验算。应用
  • S3.10能按限时流程完成[考场竞技场](ch03/arena.md)的三轮赛制（概念抢答 / 计算擂台 / 证明对决），并按评分细则核对步骤分。应用 / 评价

A · 素养目标

  • A3.1用任何结论前先核对前提：方阵还是长方阵、满秩还是秩亏、r>0r>0、实还是复（共轭转置的适用范围）、特征值是否全实。分析 / 评价
  • A3.2书写分解式前先核对记号角色：谁左乘谁右乘、谁取逆、EE、FF 与 PP、QQ 的对应、QR 迭代的方向（勘误 E3.1、E3.3、E3.7 的教训）。评价
  • A3.3养成「算完必回代」的习惯：相抵验 EAF=ΓEAF=\Gamma，满秩验 BC=ABC=A，QR 验 QR=AQR=A，逆验 AA−1=IAA^{-1}=I；能指出验算如何一秒穿帮课件笔误（E3.5–E3.7）。评价
  • A3.4能辨析四对易混：「相抵 / 相似」「分解式不唯一 / 标准形唯一」「充分 / 充要条件」「收敛条件的充分 / 必要」，并各举一例说明差别。分析 / 评价
  • A3.5rank⁡(A)=rank⁡(AHA)\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A) 依赖共轭转置与正定性——不能推广到任意数域。分析 / 评价
  • A3.6用结论前先核对：方阵还是长方阵、满秩还是秩亏、实还是复、特征值是否全实——四个雷达词扫一遍再动笔。分析 / 评价
  • A3.7记号纪律延伸到 3.4/3.5：QQ 与 RR 的角色、QR 迭代方向（QkHAkQkQ_k^{\mathrm H}A_kQ_k）、逆公式中 aia_i 与 AA 幂的配对不写错。评价
  • A3.8边界意识：收敛条件是充分非必要（等模可能卡死）；数值中间量随实现与舍入而异；「对角元全零 ≠\ne 零矩阵」。评价