学习目标自检表 · 第三章（3.1–3.2 与 3.4–3.5）

逐条对照：右侧给出「正文依据 + 对应习题」。若某行卡壳，回到所指小节重读再做习题。本表随素材进度更新——四节已依课件整理（均无录播），K3.1–K3.16、S3.1–S3.5、A3.1–A3.5 覆盖 3.1–3.2；K3.17–K3.30、S3.6–S3.10、A3.6–A3.8 覆盖 3.4–3.5，共 48 条目标；3.3（三角分解）及 3.6 及以后到位后再补。逐条自检之外，另设考场竞技场：把本表目标压成三轮限时赛（概念抢答 / 计算擂台 / 证明对决），配必考点清单与计时器——自检表查「会不会」，竞技场测「来不来得及、拿不拿得到步骤分」。

目标	达标检验	依据与习题
K3.1 相抵分解式	能背写 $A=P^{-1}\Gamma Q$ 与 $\Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\0&0\end{bmatrix}$ ，说出「相抵分解式」与「相抵标准形」各指什么	引理 3.1.1；习题 A1
K3.2 不唯一与唯一	能写出分解不唯一的构造（吸收矩阵），并说明标准形为何由秩唯一决定	3.1.1、分解唯一性问题；习题 A1、B10
K3.3 相抵 $\iff$ 同秩	能双向证明，并说出它在「秩相关命题」中的用法	本编补注；习题 B1
K3.4 引理的存在性证明	能复述「零空间的基排前、值域的基排后」，并指出用到了哪些先修结论	引理 3.1.1 证明；习题 A11、B1
K3.5 相抵变换求 $P$ 、 $Q$	能用分块矩阵法独立完成消元，读对 $E$ 、 $F$ 并写对 $A=E^{-1}\Gamma F^{-1}$	相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$ ；习题 C1、C3、C10
K3.6 用相抵标准形解方程组	能读出可解判据（ $P\boldsymbol{b}$ 后 $m-r$ 个分量）与自由度数 $n-r$	例 3.1.1、例 3.1.B（新增；习题 C2
K3.7 右逆 / 左逆判别	能背写定理 3.1.1，方向不写反；能对具体矩阵判有无	定理 3.1.1；习题 A3、C5
K3.8 两条充分性证明	能给出法 1（相抵构造）与法 2（公式）并各自验算	定理 3.1.1；习题 C6
K3.9 存在性小结（注 1）	能复述三条（可逆 / 满秩非方阵 / 其他），并说出「方阵前提」的必要性	定理 3.1.1 后的注 1；习题 A4
K3.10 单侧逆的映射含义	能说清左逆 $\leftrightarrow$ 单射、右逆 $\leftrightarrow$ 满射，并解释为什么不唯一	3.1.3 本编补注；习题 A3
K3.11 秩等式	能背四项等式链，并复述证明主线（同解 $+$ 正定性），指出正定性用在哪一步	命题 3.1.1；习题 A5、B9
K3.12 可逆性转换器	能说清 $A^{\mathrm H}A$ （ $AA^{\mathrm H}$ ）可逆 $\iff$ 列（行）满秩，并解释为什么不能换成 $A^2$	3.1.4 本编补注；习题 A5、B3
K3.13 满秩分解定理	能说出 $B$ 、 $C$ 的形状、秩与几何含义（基 / 坐标），并背写 $A=BC$	定理 3.2.1；习题 A6、A7
K3.14 满秩分解的两条构造	能写出相抵法（ $B=P^{-1}$ 前 $r$ 列、 $C=Q$ 前 $r$ 行）与列空间基法，并补全 $\operatorname{rank}C=r$ 的夹逼	定理 3.2.1；习题 B4、B7、C16
K3.15 RREF 算法	能用行简化阶梯形批量取 $B$ （主元列）与 $C$ （非零行），并解释为什么成立	用 RREF 批量求满秩分解；习题 C7、C8、C12
K3.16 唯一性的精确刻画	能陈述并证明定理 3.2.2；说出 $D$ 是过渡矩阵、可逆，且「一个分解生成全部」	定理 3.2.2、注 3；习题 A8、B5、C9
S3.1 相抵分解实操	给任意矩阵（含长方阵、零矩阵）能完成相抵分解并回代验算	相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$ ；习题 C1、C3、C10
S3.2 单侧逆构造	会用两个公式造单侧逆并验算；会写「全部右（左）逆」的参数形式	定理 3.1.1、例 3.1.C；习题 C4、C5、C6、C13
S3.3 满秩分解实操	三种算法（取列 / RREF / 从相抵分解读）都会，且每次都回代验证 $BC=A$	定理 3.2.1、用 RREF 批量求满秩分解、例 3.2.A；习题 C7、C8、C12、C16
S3.4 用满秩分解解题	能由分解读出 $R(A)$ 的基、列关系与 $N(A)$ ；能写出 $AXA=A$ 的一个解并验证	例 3.2.2、本编补注；习题 C12、C14
S3.5 两种分解互推	能从相抵分解读出满秩分解；能用 $D$ 在两种满秩分解之间换算	定理 3.2.1 方法 1、定理 3.2.2；习题 C9、C16、B5
A3.1 前提意识	用任何结论前先核对前提：方阵还是长方阵、 $r>0$ 、实还是复（共轭转置）	定理 3.1.1、例 3.2.2 常见错误 5、命题 3.1.1；习题 A3、A5、A12
A3.2 记号纪律	$P$ 、 $Q$ 、 $D$ 三者的角色与位置不写错：左乘右乘、谁取逆、谁管哪一端	相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$ 、定理 3.2.2；习题 A8、C1、C9
A3.3 回代验证习惯	每算完一个分解，都用最短的验证式核对（ $EAF=\Gamma$ 或 $BC=A$ ），不凭感觉	相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$ 、用 RREF 批量求满秩分解；习题 C1、C7
A3.4 四对概念不混淆	相抵 / 相似；分解式不唯一 / 标准形唯一；「充分条件」/「充要条件」；收敛条件充分 / 必要——各说清差别	本编补注、推论 2.3.4、本编补注；习题 A1、A2、A8
A3.5 内积边界	$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathrm H}A)$ 依赖共轭转置与正定性——不能推广到任意数域	命题 3.1.1 证明；习题 A5、A12
K3.17 QR 分解的定义	能背写 $A=QR$ 的两种版本（酉三角 / 正交三角），说出 $Q$ 、 $R$ 各自的身份	定义 3.4.1；习题 A13
K3.18 QR 分解定理与读法	能陈述「满秩方阵存在且正线下唯一」，并用「 $R$ 是 $\boldsymbol z$ 基到 $\boldsymbol a$ 基的过渡矩阵」解释	定理 3.4.1 及分析；习题 A13、C17
K3.19 唯一性与不唯一的刻画	能复述唯一性证明（上三角 $+$ 酉 $+$ 正对角 $\Rightarrow I$ ），说出不唯一的精确程度（对角酉阵；实 $2^n$ 种）	3.4.1 本编补注；习题 A14、B11、B12、自测卷 27
K3.20 不满秩与长方阵推广	能讲例 3.4.2（零行、唯一性失效）与推论 3.4.1（ $A=U\begin{bmatrix}R_1\O\end{bmatrix}$ ，GS $+$ 基扩充）	例 3.4.2、定义 3.4.2、推论 3.4.1；习题 A13、A15、C18
K3.21 QR 算法	能背写迭代格式、证明每步酉相似、说出收敛条件（模互异，充分非必要）与等模卡死反例	QR 算法；习题 A16、B13、C22
K3.22 两个 Schur 引理	能分别陈述并证明：归纳吃特征向量（3.5.1）；对 $P$ 作 QR 升级为酉相似（3.5.2）	定理 3.5.1、定理 3.5.2；习题 B14、B15、自测卷 18
K3.23 实数域边界	能用旋转阵反例说明实阵未必正交三角化，并陈述实 Schur 引理的前提	3.5.1 反例分析、定理 3.5.3、注 3；习题 A17
K3.24 谱映射与继承	能证 $\varphi(A)$ 特征值为 $\varphi(\lambda_i)$ 、说出特征向量继承的单向性与黏合现象	定义 3.5.1、推论 3.5.1、注 4；习题 A18、B16
K3.25 Hamilton–Cayley	能陈述 $f_A(A)=O$ ，复述「按次序乘因子、逐列清零」的证明心脏，说明为何只验对角元不够	定理 3.5.4；习题 A20、自测卷 20
K3.26 逆矩阵公式	能背写 $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^{n-1}+\cdots+a_1I)$ 并证 $a_0\neq0\iff A$ 可逆	推论 3.5.2；习题 A20、C23、自测卷 25
K3.27 零化 / 最小多项式	能给出两定义（首一、次数最小），说出零化多项式族为何无穷	定义 3.5.2、定义 3.5.3、注 5；习题 A19
K3.28 最小多项式性质	能证「唯一、整除一切零化多项式、与 $f_A$ 同根」三件事	定理 3.5.5；习题 B17、自测卷 28
K3.29 候选法	能按三步流程（ $f_A$ 因式分解 → 列候选 → 从低到高试）求 $m_A$ ，并解释次序不能反	求最小多项式：候选法、例 3.5.4、例 3.5.B；习题 C21、C24、自测卷 26
K3.30 三套计算流程	能按题选路：带余除法算 $g(A)$ 、公式求 $A^{-1}$ 、递推 / 定系数算 $A^m$ ，并知道「先求 $m_A$ 再除」最省	例 3.5.2、例 3.5.2 续、例 3.5.5、例 3.5.A；习题 C19、C20
S3.6 GS 手算 QR	给满秩方阵能逐步算出 $Q$ 、 $R$ （对角元取残差范数）并回代验证	定理 3.4.1 证明、例 3.4.A；习题 C17、自测卷 23
S3.7 长方阵完全分解	列满秩长方阵能补齐标准正交基写出 $A=U\begin{bmatrix}R_1\O\end{bmatrix}$ ，并顺手读出满秩分解	例 3.4.3、推论 3.4.1；习题 C18、自测卷 24
S3.8 最小多项式实操	会用候选法求 $m_A$ （含低次落选的判断：几何重数不足 $\Rightarrow$ 带重因子）	求最小多项式：候选法；习题 C21、C24
S3.9 H–C 驱动的计算	会用降次关系算 $g(A)$ / $A^m$ （在特征值处定系数）与逆公式求 $A^{-1}$ ，全部回代验算	例 3.5.5、例 3.5.A；习题 C19、C20、C23
S3.10 QR 迭代手算	能对 $2\times2$ 矩阵手推两三轮迭代，读出对角元收敛位置与非对角元衰减率	例 3.4.4；习题 C22
A3.6 前提意识（3.4/3.5）	用结论前先核对：方阵还是长方阵、满秩还是秩亏、实还是复、特征值是否全实	定理 3.4.1、定理 3.5.3、注 3；习题 A13、A17
A3.7 记号纪律（3.4/3.5）	$Q$ 与 $R$ 的角色、QR 迭代的方向（ $Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$ ）、逆公式中 $a_i$ 与 $A$ 幂的配对不写错	QR 算法、推论 3.5.2、E3.5–E3.7；习题 A20、C23
A3.8 边界意识	收敛条件是充分非必要（等模可能卡死）；数值中间量随实现与舍入而异；「对角元全零 $\ne$ 零矩阵」	QR 算法本编注、例 3.4.4 本编复算注、定理 3.5.4；习题 A16、A20

依据本课程第三章课件 3.1 相抵分解（15 页）、3.2 满秩分解（9 页）、3.4 QR 分解（16 页）、3.5 Schur 分解（22 页，后两份存于 _sources/matrix/）整理 · 四节均无录播 · 整理日期 2026-10-15

本章待续（3.3 三角分解与 3.6 及以后素材到位后补全）

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学习目标自检表 · 第三章（3.1–3.2 与 3.4–3.5）