1. 对——定理 3.4.1：存在靠满秩，唯一靠正线。
2. 错——是残差 $\boldsymbol{y}_k$ 的范数（先减成分再量长度）。
3. 错——$QQ^{\mathrm H}$ 把 $\mathbb C^3$ 压到二维再放回，差一个正交补（$m>n$ 时必不等）。
4. 错——旋转阵 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 特征值 $\pm\mathrm i$，实上三角阵特征值全实。
5. 错——应为 $Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$：把 $Q_k$ 的共轭转置放左边。
6. 错——是充分条件（已正线的上三角阵迭代不动，模不必互异）。
7. 错——三角化人人有份（定理 3.5.1），对角化不是（注 1）。
8. 错——继承是单向的：$\operatorname{diag}(1,-1)$ 的平方 $=I$，一切向量都是 $I$ 的特征向量。
9. 对——定理 3.5.5：整除一切零化多项式；同根不计重数。
10. 对——$a_0=(-1)^n\det A$；推论 3.5.2 的公式就是那个多项式。

自评线：10 题全对且理由完整 = 概念层免检；错 3 题以上 → 回 S4、A1–A3 的弹药重读。

(a) $\det A=-5\neq0$ 满秩（1 分）。$\boldsymbol{a}_1=(1,2)^{\mathrm T}$：$\|\boldsymbol{y}_1\|=\sqrt5$，$\boldsymbol{z}_1=\tfrac{1}{\sqrt5}(1,2)^{\mathrm T}$（2 分）；$(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{z}_1)=\tfrac{3+2}{\sqrt5}=\sqrt5$，$\boldsymbol{y}_2=(3,1)^{\mathrm T}-(1,2)^{\mathrm T}=(2,-1)^{\mathrm T}$，$\|\boldsymbol{y}_2\|=\sqrt5$，$\boldsymbol{z}_2=\tfrac{1}{\sqrt5}(2,-1)^{\mathrm T}$（4 分）。拼装：

$$Q=\frac{1}{\sqrt5}\begin{bmatrix}1&2\\ 2&-1\end{bmatrix},\qquad R=\begin{bmatrix}\sqrt5&\sqrt5\\ 0&\sqrt5\end{bmatrix}.$$

验算 $QR=\begin{bmatrix}1&3\\ 2&1\end{bmatrix}=A$ ✓（3 分）；正线说明（2 分）。

彩蛋（B 级联动的现场证据）：这个 $Q$ 对称且正交、$\det Q=-1$——它正是 2.5 的 Householder 反射（Householder 矩阵 2.5.4）。二维 QR 的 $Q$ 要么是旋转（Givens，$\det=+1$，如 例 3.4.A）要么是反射（Householder，$\det=-1$）——老师说的「容易变形」，变形的就是这里。

(b) $\boldsymbol{a}_1=(1,0,1)^{\mathrm T}$：$\boldsymbol{z}_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,0,1)^{\mathrm T}$，$r_{11}=\sqrt2$；$\boldsymbol{a}_2=(1,1,0)^{\mathrm T}$：$r_{12}=\tfrac{1}{\sqrt2}$，$\boldsymbol{y}_2=(\tfrac12,1,-\tfrac12)^{\mathrm T}$，$\|\boldsymbol{y}_2\|=\tfrac{\sqrt6}{2}$，$\boldsymbol{z}_2=\tfrac{1}{\sqrt6}(1,2,-1)^{\mathrm T}$（3 分）；补 $\boldsymbol{z}_3=\tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1)^{\mathrm T}$（叉积 $(1,0,1)\times(1,2,-1)=(-2,2,2)$ 单位化；两两正交 ✓）（2 分）：

$$B=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt6}&-\tfrac{1}{\sqrt3}\\ 0&\tfrac{2}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\\ \tfrac{1}{\sqrt2}&-\tfrac{1}{\sqrt6}&\tfrac{1}{\sqrt3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\sqrt2&\tfrac{1}{\sqrt2}\\ 0&\tfrac{\sqrt6}{2}\\ 0&0\end{bmatrix}\quad\big(Q^{\mathrm H}Q=I_3\ \checkmark\big)$$

验算加成：$+1$（两问均显式回代）。∎

(a) 上三角：$f_A(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda-1)$（2 分）。候选 $(\lambda-3)(\lambda-1)$、$(\lambda-3)^2(\lambda-1)$。试低次：$(A-3I)(A-I)$ 的第一行 $=(A-3I)$ 第一行 $(0,-1,0)$ 乘开 $=(A-I)$ 第二行 $(0,2,-1)\neq\boldsymbol{0}$，落选（2 分——必须先试低次，直接宣布 $m_A=f_A$ 扣这 2 分）；故 $m_A=(\lambda-3)^2(\lambda-1)$（2 分）。

(b) $\lambda^4=m_A\cdot(\lambda+7)+\big(34\lambda^2-96\lambda+63\big)$（4 分；可用「重根处值与导数都吻合」核对：$r(3)=81=3^4$、$r'(3)=108=4\cdot3^3$ ✓）。故 $A^4=34A^2-96A+63I$。代入 $A^2=\begin{bmatrix}9&-6&1\\ 0&9&-4\\ 0&0&1\end{bmatrix}$：

$$A^4=\begin{bmatrix}81&-108&34\\ 0&81&-40\\ 0&0&1\end{bmatrix}\quad\Big(=A^2\cdot A^2\ \text{可独立核对}\Big)$$

（显式结果 5 分；对角 $81=3^4$、右下 $1=1^4$ 是最快的自检）。验算加成 $+1$。∎

(a) $f_A(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+8$（$\operatorname{tr}=6$、$\det=8$）（2 分）；$a_1=-6$、$a_0=8$：

$$A^{-1}=-\frac{1}{8}\big(A-6I\big)=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}3&-1\\ -1&3\end{bmatrix}$$

（4 分——负号是评分点，丢了扣 2 分）；验算 $AA^{-1}=I$ ✓（2 分）。

(b) 在特征值 $2,4$ 处定系数：$2^5=2\alpha+\beta$、$4^5=4\alpha+\beta\Rightarrow\alpha=496$、$\beta=-960$（3 分）：

$$A^5=496A-960I=\begin{bmatrix}528&496\\ 496&528\end{bmatrix}$$

（3 分）。对称性自检：$A$ 对称 $\Rightarrow$ $A^5$ 对称；对角元应相等（丢对称形的答案一眼即错）。验算加成 $+1$。∎

要点	分
设两种分解，由 $Q_1R_1=Q_2R_2$ 导出 $W:=Q_2^{\mathrm H}Q_1=R_2R_1^{-1}$（满秩 $\Rightarrow R_i$ 可逆要显式说）	4
$W$ 既酉（酉阵之积）又上三角（三角之积之逆）	3
「上三角 $\wedge$ 酉 $\Rightarrow$ 对角、$\lvert w_{ii}\rvert=1$」的列归纳	4
正对角逼出 $w_{ii}=1$，收尾 $W=I\Rightarrow Q_1=Q_2,\ R_1=R_2$	3

常见丢分：跳过 $R_i$ 可逆（论证地基）；归纳只说「显然」——那 4 分就没了。

A 路线（直接构造）：取单位特征向量（1）→ 基扩充 + GS 得标准正交基、$U_1$ 酉（3）→ 算第一列 $U_1^{\mathrm H}A\boldsymbol{u}_1=\lambda_1\boldsymbol{e}_1$（4）→ 分块 $\begin{bmatrix}\lambda_1&\boldsymbol{\beta}\\\boldsymbol{0}&A_1\end{bmatrix}$（2）→ 归纳假设 + $U=U_1\operatorname{diag}(1,V)$ 收尾（6）。

B 路线（QR 升级）：定理 3.5.1 给可逆 $P$（其归纳证明必须至少写出骨架，5 分）→ $P=UR$（2）→ 代入得 $U^{\mathrm H}AU=R\Lambda R^{-1}$（4）→ 上三角对乘法与求逆封闭（2）→ 收尾（3）。

选路建议：考场上 A 路线自包含、不依赖「先用另一个定理」，更稳；B 路线短、但若 3.5.1 的证明写不出骨架，总分反而更低。两条都练过的人，考试时才有得选。