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学习目标自检表 · 第二章（2.1–2.5）

逐条对照：右侧给出「正文依据 + 对应习题」。若某行卡壳，回到所指小节重读再做习题。本表随素材进度更新——2.4–2.5 已依第 5 周录播补入（K2.23–K2.28、S2.5–S2.6、A2.5）；2.6–2.7 到位后，再补图的应用与章末检验两组目标。逐条自检之外，另配闭卷回忆卡（定义 / 定理检索）与解题工具箱（题型流程与二级结论）。

目标达标检验依据与习题
K2.0 映射三要素能说出定义域、值域、对应法则三要素并判断「是不是映射」定义 2.1.1；习题 A1
K2.1 单 / 满 / 双射能对给定映射判类型；能说出三者关系（双射 = 单 + 满）定义 2.1.2；习题 A1
K2.2 映射相等与复合能说明「IV≠IWI_V\neq I_W」；能写出 f2f1f_2f_1 的作用顺序定义 2.1.3、定义 2.1.4；习题 A2
K2.3 可逆判定能背写「可逆 ⟺ 双射」，并证明逆的唯一性与逆序公式定理 2.1.1、定理 2.1.2；习题 B1
K2.4 变换 / 一一变换 / 置换能三词辨析，并说明为什么它「考试考过」定义 2.1.6；习题 A2
K2.5 等势与可数性能构造 N→Z\mathbb N\to\mathbb Z 的双射并说明 N∼Q\mathbb N\sim\mathbb Q 的思路定义 2.1.1、例 2.1.A；习题 A1
K2.6 多项式工具箱能陈述带余除法、写出友矩阵两种形状定理 2.1.3、定义 2.1.11；即时自测 3
K2.7 线性映射定义能背写两条性质与合并形式，说明「同一数域」「两套运算」两条注记定义 2.2.1；习题 A3
K2.8 典型例子能举出至少八个线性映射例子，并说明平移为何不是sec-2.2.2；习题 A3
K2.9 保持线性组合能归纳证明 定理 2.2.1，并说明「相关 / 无关都成立」定理 2.2.1；习题 B2
K2.10 相关性性质能证明「相关组的像相关」并给出逆不真的反例推论 2.2.1；习题 B2
K2.11 单射判据能双向证明 定理 2.2.2，并说明两条注的差别定理 2.2.2；习题 B3
K2.12 同维 + 单射 ⟹ 双射能陈述 推论 2.2.2 并解释「维数陷阱」推论 2.2.2；习题 A4
K2.13 线性映射空间能验证封闭性、写出零元素与负元素、说出维数公式定理 2.2.3、例 2.2.A；习题 B5
K2.14 零空间与值域能求具体映射的 N(T)N(T)、R(T)R(T) 的基与维数定理 2.2.4；习题 C1、C3
K2.15 亏加秩定理能独立完成基扩充证明，并用它反推维数定理 2.2.5；习题 B4、C3
K2.16 矩阵的读法能说出「AA 的第 jj 列 =T(εj)=T(\varepsilon_j) 的坐标」，由 TT 写出 AA、由 AA 还原 TT定义 2.3.1；习题 A5、C7
K2.17 存在唯一性能复述 定理 2.3.1 的两个方向，并说明为什么「线性映射由基上的作用完全确定」定理 2.3.1；习题 B7
K2.18 同构与维数能定义同构映射（双射 + 保运算）、说出「同构 ⟺ 维数相等」并解释「同构 == 等势 ++ 保运算」定义 2.3.2、定理 2.3.3；习题 A6
K2.19 矩阵空间与维数能证明 L(V,W)≅Fm×nL(V,W)\cong F^{m\times n}，并算出 dim⁡L(V,W)=mn\dim L(V,W)=mn定理 2.3.2、推论 2.3.2；习题 B8
K2.20 坐标公式能用 β=Aα\beta=A\alpha 算像的坐标，并说出它依赖哪对基定理 2.3.4；习题 C7、C8
K2.21 换基公式与相似能写 B=P−1AQB=P^{-1}AQ 与 B=P−1APB=P^{-1}AP，说清 PP、QQ 各管哪一端，并解释相似 == 同一变换换基定理 2.3.5、推论 2.3.4；习题 B9
K2.22 矩阵与映射的不变量能陈述 dim⁡N(T)=dim⁡N(A)\dim N(T)=\dim N(A)、dim⁡R(T)=rank⁡A\dim R(T)=\operatorname{rank}A，并说明证明用了哪个同构定理 2.3.6；习题 C9
K2.23 特征对翻译能陈述并证明「AA 与 TT 的特征值相同、特征向量差一组基」，并说出为什么最后必须乘回基特征对的翻译定理 2.4.1；2.4.1 例题
K2.24 特征值的整体性质能背出迹 / 行列式与特征值的关系、AkA^k 与 A−1A^{-1} 的特征值、相似不变量、不同特征值特征向量无关迹、行列式与特征值 2.4.2–不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5；2.4.2
K2.25 特征子空间与两种重数能写 Vλ=N(A−λI)V_\lambda=N(A-\lambda I)、用 n−rank⁡(A−λI)n-\operatorname{rank}(A-\lambda I) 算几何重数，并复述三矩阵反例特征子空间 2.4.3、几何重数的计算 2.4.6、经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2；2.4.3
K2.26 正交 / 酉矩阵与变换能写两组定义（ATA=IA^{\mathrm T}A=I、AHA=IA^{\mathrm H}A=I、保内积），并陈述四条等价刻画正交矩阵与酉矩阵 2.5.1、正交变换与酉变换 2.5.2、四条等价刻画 2.5.4；2.5.2
K2.27 正交矩阵的特征值能证明 ∣λ∣=1|\lambda|=1，并指出「±1\pm1」的错误证明错在哪一步正交矩阵特征值的模 2.5.3、错误证明警示；2.5.1
K2.28 Givens 与 Householder能写 TijT_{ij} 的非平凡位置与分量清零取角；能写 HH 的定义、几何含义，并证明 H2=IH^2=I、det⁡H=−1\det H=-1Givens 旋转矩阵 2.5.3、分量清零 2.5.6、Householder 矩阵 2.5.4、Householder 矩阵的性质 2.5.7；2.5.3–2.5.4
S2.1 验证套路遇到任何 TT 能按「先证是映射、再验两条」规范书写例 2.2.7；习题 B6
S2.2 反例意识能自己构造「齐次不满足」「可加不满足」的反例习题 A3、B3
S2.3 矩阵落地给定映射与两对基能逐列写出矩阵；给定矩阵与基能还原映射定义 2.3.1、例 2.3.2；习题 C7
S2.4 换基计算能求过渡矩阵、用 P−1APP^{-1}AP 算出新矩阵，并用「逐列验证」自查推论 2.3.4、例 2.3.B；习题 B9、C10
S2.5 完整求特征对给定基与矩阵，能走完「矩阵 → 特征值 → 坐标 → 乘回基」全流程求线性变换特征对的流程、例 2.4.1；2.4.1
S2.6 保内积验证验正交变换优先走「标准正交基 → 标准正交基」，会用 Givens / Householder 把向量对准坐标轴怎么用这四条、用 Givens 把任意向量对准 e1\boldsymbol{e}_1、例；2.5.2–2.5.3
A2.1 数域意识判线性时先问数域（R\mathbb R 线性还是 C\mathbb C 线性）定义 2.2.1 注记 1；习题 A3(b)
A2.2 保险习惯用判据前先核对前提（维数是否相同、是否整组向量）定理 2.2.2 注 2、推论 2.2.2；习题 A4
A2.3 形状与次序意识写矩阵 / 公式前先核对形状（m×nm\times n）与基的对应关系，避免「左乘右乘颠倒、行列写反」定义 2.3.1、定理 2.3.5；习题 B9、C8
A2.4 概念不混淆能区分「相抵 / 相似」「等势 / 同构」「同一矩阵 / 同一映射」三对概念定理 2.3.5、定理 2.3.3、勘误 §五；习题 A6
A2.5 实 / 复边界涉及特征值与内积时先问「实还是复」：长度计算一律共轭转置；几何重数在 C\mathbb C 里数错误证明警示、展开时的共轭陷阱；2.5.1

依据本课程第二章课件（2.1 / 2.2 / 2.3；2.2、2.3 现存 _sources/matrix/）、第 3 周录播（2026-09-22，王振乾；2.3 无录播）与第 5 周录播（2026-10-08，覆盖 2.4–2.5）整理 · 整理日期 2026-09-24，2.4–2.5 补于 2026-10-11

本 章 待 续（2.6–2.7 素材到位后补全）