2.4 特征值与特征向量

2.3 结尾留下一个问题：什么样的基最简单？答案是让矩阵变成对角形的那种基。可要找它，先得回答：哪个基向量 $\boldsymbol{\xi}$ 被 $T$ 作用后方向不变，只是被拉伸成 $T(\boldsymbol{\xi})=\lambda\boldsymbol{\xi}$ ？这就是特征值问题。本节的一切都架在一座「桥」上：线性变换 $T$ 在基下的矩阵为 $A$ 时， $T$ 的特征值就是 $A$ 的特征值， $T$ 的特征向量就是「 $A$ 的特征向量这组坐标乘回基」。有了它，抽象变换的特征问题就完全落地为矩阵计算——而矩阵这部分你在先修课已经练熟。真正的新知识是特征子空间：它是 $A-\lambda I$ 的零空间，把 2.2 的亏加秩定理直接接了过来，并引出日后判断「能否对角化」的关键一对量：几何重数 ≤ 代数重数。

素材与说明

本页依据第 5 周星期 4 第 6,7 节录播（2026-10-08，王振乾，1:39:09，第 5 周转录稿 00:15:17–00:32:32）整理。该讲官方课件尚未入库（归档中只有 2.1–2.3），故本页不沿用课件编号，盒子一律自动编号；课堂口述在正文标注时间戳。老师明确说明特征值的基本求法与迹 / 行列式等性质「我们都在先修课里学过，不再讲解」（00:23:35），本页把这部分压缩为盘点，重心放在线性变换视角与特征子空间这两个新量上。录播 ASR 错字较多（「特征向量→特定象征」「Jordan 块→阶梁块」「代数重数→代废乘数」等），见 overview 的素材说明。

图解读图：把单位圆和正交网格一起做 A 变换：网格变成斜网格，圆变成椭圆。绝大多数方向都被「转了一下」，只有两条特殊方向保持原方向、只改变长度——那就是特征方向，长度比就是特征值。这里 λ₁ > 1（拉伸），λ₂ < 1（压缩）。

2.4.1 从矩阵到线性变换：特征对的翻译

先修课里，特征值是对方阵定义的；现在把它原样搬到线性变换上——只把「乘矩阵」换成「作变换」。

特征值与特征向量（矩阵，先修回顾） 2.4.1

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 。若存在数 $\lambda$ 与非零向量 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}$ 使

$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x},$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值， $\boldsymbol{x}$ 为 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。 $\det(\lambda I-A)$ 称为 $A$ 的特征多项式，特征值即其根。

线性变换的特征值与特征向量 2.4.2

设 $T$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 的线性变换。若存在数 $\lambda\in F$ 与非零向量 $\boldsymbol{\xi}\in V$ 使

$T(\boldsymbol{\xi})=\lambda\boldsymbol{\xi},$

则称 $\lambda$ 为 $T$ 的特征值， $\boldsymbol{\xi}$ 为 $T$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。

两个定义写法平行，向量所在的空间却不同： $A$ 的特征向量是 $\mathbb{C}^n$ 里的坐标列， $T$ 的特征向量是 $V$ 里的向量。桥梁由「取基」架起：

特征对的翻译定理 2.4.1

设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间， $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 是 $V$ 的一组基，线性变换 $T$ 在这组基下的矩阵为 $A$ 。则：

$\lambda$ 是 $T$ 的特征值 $\iff$ $\lambda$ 是 $A$ 的特征值；
$\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{\alpha}$ 是 $T$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量 $\iff$ 坐标列 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量。

证明

只证第 2 条（第 1 条随之成立）。由坐标公式（定理 2.3.4），对任意 $\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{\alpha}$ ，

$T(\boldsymbol{\xi})=T\big[(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{\alpha}\big]=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\,A\boldsymbol{\alpha},$

其中用到 $T$ 保持线性组合（定理 2.2.1）。于是

$T(\boldsymbol{\xi})=\lambda\boldsymbol{\xi}\iff(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)A\boldsymbol{\alpha}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\lambda\boldsymbol{\alpha}\iff A\boldsymbol{\alpha}=\lambda\boldsymbol{\alpha},$

最后一步是因为同一组基下的坐标唯一（基的线性无关性）：向量非零当且仅当坐标非零，故得证。

∎

翻译定理落到操作层面，就是老师当堂反复交代的一句话（00:21:44–00:22:47）：

求线性变换特征对的流程（考试必查最后一行）

写出 $T$ 在给定基 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 下的矩阵 $A$ （第 $j$ 列 $=T(\boldsymbol{\varepsilon}_j)$ 的坐标，定义 2.3.1）；
解特征方程 $\det(\lambda I-A)=0$ 得特征值——这既是 $A$ 的、也是 $T$ 的特征值；
对每个 $\lambda$ ，解 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 得基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_s$ ；
乘回基： $T$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\xi}_k=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{\alpha}_k$ （非零线性组合均为特征向量）。

老师原话：「矩阵 $A$ 的特征向量……其实是线性变换特征向量的坐标……我们还要用这个坐标去乘以我们所考虑的那一组基，然后才能完成整个计算过程」（00:22:29–00:22:45）。漏掉第 4 步、把坐标列当成 $V$ 中的向量交卷，是本节最高频的错误。

例 2.4.1 · 给基与矩阵，求

T

的特征对

设 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2$ 是 $V$ 的一组基， $T\in L(V)$ 在这组基下的矩阵

$A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}.$

求 $T$ 的特征值与特征向量。

解答 · 例 2.4.1

特征多项式 $\det(\lambda I-A)=(\lambda-3)(\lambda-2)$ ，故 $T$ 的特征值为 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=2$ 。

$\lambda_1=3$ ： $(A-3I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 即 $\begin{bmatrix}0&1\\0&-1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0)^{\mathrm T}$ 。乘回基： $T$ 的属于 $3$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}=k_1\boldsymbol{\varepsilon}_1$ （ $k_1\neq0$ ）。
$\lambda_2=2$ ： $(A-2I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 即 $\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ ，基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1)^{\mathrm T}$ 。乘回基： $T$ 的属于 $2$ 的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}=k_2(\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2)$ （ $k_2\neq0$ ）。

最后交卷的形态也值得留意：特征向量必须用 $\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2$ 这样的 $V$ 中向量表述，写成 $(1,-1)^{\mathrm T}$ 只完成了前 3 步。∎

2.4.2 特征值的整体性质：盘点与提醒

有了翻译定理，特征值的问题从此只在矩阵 $A$ 上讨论。下面这些整体性质先修课都已证明，课堂只是「简单过一下」（00:23:05–00:24:01、00:31:48–00:32:32），这里把它们汇成一张考场上直接引用的清单。先看两个最常用的量——它们把 $A$ 的迹与行列式直接翻译成特征值的运算：

迹、行列式与特征值 2.4.2

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ （按代数重数重复计入），则

$\operatorname{tr}A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n,\qquad \det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n .$

（系数对照的完整证明——只用到行列式展开与根与系数的关系——见附录 A.3。）

由 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ 出发，让 $A$ 去做幂、做多项式、求逆， $\lambda$ 会跟着做同样的运算：

幂与逆的特征值 2.4.3

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 有特征对 $(\lambda,\boldsymbol{x})$ ，则：

对任意正整数 $k$ ， $(\lambda^k,\boldsymbol{x})$ 是 $A^k$ 的特征对；一般地，对任意多项式 $f$ ， $(f(\lambda),\boldsymbol{x})$ 是 $f(A)$ 的特征对；
若 $A$ 可逆，则 $\lambda\neq0$ ，且 $(\lambda^{-1},\boldsymbol{x})$ 是 $A^{-1}$ 的特征对。

证

1. 先对 $k$ 归纳证 $A^k\boldsymbol{x}=\lambda^k\boldsymbol{x}$ ： $k=1$ 即条件；设 $A^k\boldsymbol{x}=\lambda^k\boldsymbol{x}$ ，则

$A^{k+1}\boldsymbol{x}=A(A^k\boldsymbol{x})=A(\lambda^k\boldsymbol{x})=\lambda^kA\boldsymbol{x}=\lambda^{k+1}\boldsymbol{x}.$

再由 $A$ 保持线性组合（ $A(c\boldsymbol{u}+d\boldsymbol{v})=cA\boldsymbol{u}+dA\boldsymbol{v}$ ），对 $f(t)=\sum_j c_jt^j$ 逐项作用：

$f(A)\boldsymbol{x}=\sum_j c_jA^j\boldsymbol{x}=\sum_j c_j\lambda^j\boldsymbol{x}=f(\lambda)\boldsymbol{x}.$

2. 若 $\lambda=0$ ，则 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 有非零解， $A$ 不可逆，矛盾，故 $\lambda\neq0$ 。对 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ 两边左乘 $A^{-1}$ 并除以 $\lambda$ ：

$A^{-1}\boldsymbol{x}=\frac{1}{\lambda}\boldsymbol{x}.\qquad\blacksquare$

∎

以上几条说的都是固定的 $A$ 。一旦换基， $A$ 变成 $P^{-1}AP$ ，哪些量跟着变、哪些不变？这决定了什么才算变换自身的性质：

相似不变量 2.4.4

设 $A\sim B$ （即存在可逆 $P$ 使 $B=P^{-1}AP$ ，见推论 2.3.4），则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（含重数）、相同的迹、相同的行列式；并且 $\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}A$ 。

相似是「同一个线性变换换基」的矩阵语言（定理 2.3.5），所以这些量都是线性变换自身的量，不依赖基的选取——这正是它们重要的原因。

证

特征多项式：利用行列式对可逆因子的「两边夹」（ $\det P^{-1}\det P=1$ ），

$\det(\lambda I-B)=\det\big(\lambda P^{-1}P-P^{-1}AP\big)=\det\big(P^{-1}(\lambda I-A)P\big)=\det(P^{-1})\det(\lambda I-A)\det(P)=\det(\lambda I-A).$

特征值（含重数）由特征多项式唯一决定，故相同。迹：由 $\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)$ （先修知识，乘积循环不改变迹），

$\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}\big((AP)\cdot P^{-1}\big)=\operatorname{tr}\big(A(PP^{-1})\big)=\operatorname{tr}A .$

行列式： $\det B=\det(P^{-1})\det A\det P=\det A$ 。秩： $B=P^{-1}\cdot A\cdot P$ 是三个矩阵的乘积，中间夹着的两个可逆矩阵不改变秩（先修知识：可逆矩阵乘法不改变秩）。∎

∎

最后补上一条关于特征向量独立性的结论——后面论证「能否对角化」时，靠的正是它：

不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5

设 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 是 $A$ （或 $T$ ）的互不相同的特征值， $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_s$ 是分别属于它们的特征向量，则 $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_s$ 线性无关。

证（对

s

归纳）

$s=1$ 时单个非零向量（特征向量非零）线性无关。设结论对 $s-1$ 个互异特征值成立。考察

$k_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+k_s\boldsymbol{x}_s=\boldsymbol{0}.\tag{*}$

两边作用 $A$ ，并用 $A\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$ ：

$k_1\lambda_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+k_s\lambda_s\boldsymbol{x}_s=\boldsymbol{0}.\tag{**}$

再以 $\lambda_s$ 乘 $(*)$ 后与 $(**)$ 相减， $\boldsymbol{x}_s$ 一项被消去：

$k_1(\lambda_1-\lambda_s)\boldsymbol{x}_1+\cdots+k_{s-1}(\lambda_{s-1}-\lambda_s)\boldsymbol{x}_{s-1}=\boldsymbol{0}.$

由归纳假设， $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_{s-1}$ 线性无关，故每个系数为零： $k_i(\lambda_i-\lambda_s)=0$ ；而 $\lambda_i\neq\lambda_s$ （ $i\lt s$ ），得 $k_1=\cdots=k_{s-1}=0$ 。代回 $(*)$ 得 $k_s\boldsymbol{x}_s=\boldsymbol{0}$ ，而 $\boldsymbol{x}_s\neq\boldsymbol{0}$ ，故 $k_s=0$ 。全部系数为零，命题对 $s$ 成立。∎

∎

以上都是代数层面的结论；几何上， $A$ 对特征方向只做拉伸。下面的部件让你亲手把这类方向拖出来。

2.4.3 特征子空间：几何重数与代数重数

属于同一个 $\lambda$ 的全体特征向量，再加上零向量，恰好构成一个子空间。这一步把「 $\lambda$ 对应哪些方向」从一堆孤立的向量，升级成一块有维数的空间——维数本身就成了可算的量。

特征子空间 2.4.3

设 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ， $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。称

$V_\lambda=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\mid A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\}=\{\boldsymbol{x}\mid(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}=N(A-\lambda I)$

为 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征子空间。称 $\dim V_\lambda$ 为 $\lambda$ 的几何重数；称 $\lambda$ 作为特征多项式根的重数为代数重数。

定义里真正有用的是那个等号 $V_\lambda=N(A-\lambda I)$ ：它把 2.2 的零空间工具直接接了过来（00:25:01–00:25:38）。至于 $V_\lambda$ 本身确实是子空间，验证只用一行——含 $\boldsymbol{0}$ 、对加法与数乘封闭（00:25:42–00:26:10）：

几何重数的计算 2.4.6

$\dim V_\lambda=\dim N(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I).$

证明

$A-\lambda I$ 是 $n$ 阶方阵，对其零空间用亏加秩定理（定理 2.2.5）即得。

∎

重数不等式 2.4.7

设 $\lambda$ 是 $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ 的特征值，则

$1\ \le\ \dim V_\lambda\ \le\ \text{$\lambda$ 的代数重数}.$

左端来自「特征向量非零」，故 $V_\lambda$ 至少一维；右端这条不等式先当事实用——老师课堂上的说法是「我们都知道几何重数不能超过代数重数」（00:26:25–00:26:31）。它的完整证明其实并不需要谱理论，只用「取特征子空间的基并扩充」一步，见附录 A.4。

重数不等式的两端能否取等，才是判断对角化的关键。下面这道例题正是为此准备的（00:26:38 起，老师说「同学们都已经遇到过」）：三个矩阵的特征多项式完全相同，几何重数却各不相同——特征多项式并没有包含特征结构的全部信息。

经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2

设

$J_1=\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&1\end{bmatrix},\qquad J_2=\begin{bmatrix}1&1&\\&1&\\&&1\end{bmatrix},\qquad J_3=\begin{bmatrix}1&1&\\&1&1\\&&1\end{bmatrix}.$

（ $J_2$ 含一个二阶 Jordan 块， $J_3$ 是一个三阶 Jordan 块。）求三者属于 $\lambda=1$ 的特征子空间维数。

解答 · 经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2

三者特征多项式都是 $(\lambda-1)^3$ ：代数重数均为 $3$ 。几何重数用几何重数的计算 2.4.6：

$J_1-I=O$ ：零矩阵的零空间是整个 $\mathbb{R}^3$ ——每个 $(x_1,x_2,x_3)$ 都被映为零向量（00:27:51–00:28:19），故 $\dim V_1=3-0=3$ ；
$J_2-I=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ ：方程 $x_2=0$ ，基础解系 $(1,0,0)^{\mathrm T},(0,0,1)^{\mathrm T}$ ，故 $\dim V_1=3-1=2$ ；
$J_3-I=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$ ：方程 $x_2=x_3=0$ ，基础解系 $(1,0,0)^{\mathrm T}$ ，故 $\dim V_1=3-2=1$ 。

三个矩阵的代数重数相同、几何重数 $3>2>1$ —— Jordan 块越「长」，特征向量越「少」。老师把这一差别归结成一句话（00:31:27–00:31:46）：几何重数就是 $N(A-\lambda I)$ 的维数。∎

为什么「几何重数」叫几何的？

$A$ 作为一个映射 $\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ ， $V_\lambda$ 是「方向被保持（只伸缩）」的向量全体； $\dim V_\lambda$ 数的是这种独立方向的个数。 Jordan 块的长度则记录「方向虽不变、但搅进了多少链式结构」——代数重数数根，几何重数数方向。二者相等与否，正是日后「可否对角化」的分水岭。

2.4.4 反向考题：设计一组基，使矩阵成为指定形式

2.3 的换基公式 $B=P^{-1}AP$ （定理 2.3.5）说的是：同一个线性变换，换一组基，矩阵就变一个样。前面两节一直在「给定基、求特征对」，而考题常反过来问——给一个目标形式，要你设计出基来（00:12:45–00:14:17，老师明说这是上一届考题的考点）：

设计基使矩阵为指定形式

正向：已知 $T$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 下的矩阵 $A$ ，想找一组新基使 $T$ 的矩阵成为指定形式 $B$ （例如对角形）。

判断 / 求出相似变换： $P^{-1}AP=B$ ，即 $AP=PB$ 。对角形情形 $B=\operatorname{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ ， $P$ 的第 $j$ 列取 $\lambda_j$ 的特征向量（先修课的标准流程）；
新基就是 $\big(\boldsymbol{\varepsilon}'_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}'_n\big)=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)P$ ——过渡矩阵 $P$ 的列正是新基在旧基下的坐标（定义 1.3.5 的方向）；
验算： $T(\boldsymbol{\varepsilon}'_j)=\lambda_j\boldsymbol{\varepsilon}'_j$ 。

考场的变形（00:14:03–00:14:13）：把上述条件中的某几个改为「未知」，例如给出 $B$ 与新基、反求 $A$ 或 $P$ ——工具不变，只是把等式 $AP=PB$ 当方程解。「永远运用定理来推导」，不要死记正向流程。

例 2.4.3 · 设计一组基，使矩阵成为对角形

接上一节的例题： $T$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2$ 下的矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}$ 。求一组新基，使 $T$ 在新基下的矩阵为对角形，并写出该对角形。

解答 · 例 2.4.3

特征值 $3,2$ 互异，特征向量 $\boldsymbol{\varepsilon}_1$ （属于 $3$ ）与 $\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2$ （属于 $2$ ）线性无关，可作新基。取

$P=\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix},\qquad(\boldsymbol{\varepsilon}'_1,\boldsymbol{\varepsilon}'_2)=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2)P,$

即 $\boldsymbol{\varepsilon}'_1=\boldsymbol{\varepsilon}_1,\ \boldsymbol{\varepsilon}'_2=\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2$ 。则

$P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}.$

核验第 3 步： $T(\boldsymbol{\varepsilon}'_1)=T(\boldsymbol{\varepsilon}_1)=3\boldsymbol{\varepsilon}_1+0\cdot\boldsymbol{\varepsilon}_2=3\boldsymbol{\varepsilon}'_1$ ✓； $T(\boldsymbol{\varepsilon}'_2)=T(\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2)=3\boldsymbol{\varepsilon}_1-(\boldsymbol{\varepsilon}_1+2\boldsymbol{\varepsilon}_2)=2(\boldsymbol{\varepsilon}_1-\boldsymbol{\varepsilon}_2)=2\boldsymbol{\varepsilon}'_2$ ✓（ $T(\boldsymbol{\varepsilon}_2)$ 取 $A$ 的第 2 列 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ ，故为 $\boldsymbol{\varepsilon}_1+2\boldsymbol{\varepsilon}_2$ ）。∎

2.4 小结与常见错误

一句话收束

「矩阵的特征值就是变换的特征值；矩阵的特征向量是变换特征向量的坐标。」 特征子空间 $V_\lambda=N(A-\lambda I)$ 用亏加秩定理数「被保持的方向」个数（几何重数），特征多项式数「根的重数」（代数重数），恒有 $1\le\dim V_\lambda\le$ 代数重数。

下表把本节最容易失分的地方集中起来，每一条都能在前文找到出处。

常见错误	正确做法
求出 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解就直接交卷	那只是坐标；必须乘回基 $\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\cdots,\boldsymbol{\varepsilon}_n)\boldsymbol{\alpha}$ （流程第 4 步）
把特征子空间写成「特征向量全体」	特征向量全体不含零向量、不是子空间；要加回 $\boldsymbol{0}$ 才构成 $V_\lambda$
混用两种重数	几何重数 $=\dim N(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$ ；代数重数 $=$ 特征多项式根的重数；判断独立方向的个数只看前者
认为特征多项式相同 ⟹ 矩阵相似	三矩阵例是反例： $(\lambda-1)^3$ 相同，几何重数 $3,2,1$ 各异
对非方阵谈特征值	$A$ 必须是 $n$ 阶方阵；对应地 $T$ 必须是线性变换（ $V\to V$ ），不是一般线性映射（00:16:11–00:16:16）

想一想

$T$ 换一组基后，矩阵从 $A$ 变成 $P^{-1}AP$ 。用相似不变量 2.4.4 与特征对的翻译定理 2.4.1 说明： $T$ 的特征值与 $\dim V_\lambda$ 都不依赖基的选取。那么「特征向量」依赖基吗？
三矩阵例中， $J_2$ 与 $J_3$ 的属于 $\lambda=1$ 的特征子空间分别含哪些向量？它们都是 $\mathbb{R}^3$ 的几维子空间？
若对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 都有 $\dim V_\lambda=$ 代数重数， $A$ 能对角化吗？（结合不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5。）

即时自测（不看上文，5 分钟）

写出「 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值」的定义，并说明为什么特征向量必须非零。
设 $T$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2$ 下的矩阵为 $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ 。 $A$ 的特征向量是 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ —— $T$ 的特征向量就是它们吗？
$A$ 与 $B=P^{-1}AP$ 有哪些量一定相同？哪些不一定相同？
$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ：求两种重数，并判断它能否对角化。

解答 · 即时自测

存在非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ 使 $T\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi}$ 。必须非零：若允许 $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{\theta}$ ，则对任意 $\lambda$ 都有 $T\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}=\lambda\boldsymbol{\theta}$ ，特征值这个概念就失去意义（定义）。
不是。 $A$ 的特征向量是坐标， $T$ 的特征向量要乘回基： $\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2)\boldsymbol{\alpha}$ 。只有基恰好是标准基时两者才数值相同（流程第 4 步）。
一定相同：特征多项式、特征值（含代数重数）、 $\operatorname{tr}A$ 、 $\det A$ 、 $\operatorname{rank}A$ 、 $\dim V_\lambda$ （相似不变量）。不一定相同：特征向量的坐标（随基而变）、矩阵的具体元素。
$\lambda=1$ 是二重根，故代数重数 $=2$ ； $A-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的秩为 $1$ ，故几何重数 $=2-1=1<2$ ，不能对角化（重数不等式：几何重数总不超过代数重数，能对角化必须处处取等号）。