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第二章 · 线性映射与矩阵

第一章研究一个空间内部的结构（子空间、基、内积、投影）；第二章把两个线性空间连起来：建立空间的映射，特别是保持线性运算的线性映射——「上一章讲子空间的和与交，这一章讲两个空间之间的映射关系」（录播 00:07:35）。

本编依据本课程第二章课件与录播整理扩充。素材分三批：2.1–2.2 来自第 3 周星期 2 第 6,7 节录播（2026-09-22，王振乾，1:39:07）与其配套课件；2.3 来自同期入库的课件《2.3 矩阵与同构》（25 页，无对应录播）；2.4–2.5 来自第 5 周星期 4 第 6,7 节录播（2026-10-08，王振乾，1:39:09）——该讲把第二章讲完，官方课件尚未入库，两节按转录稿整理、盒子自动编号。2.6–2.7 待素材到位后按同样流程补全。

素材与生成方式
  • 课件（2.1 / 2.2 / 2.3）：学院发出的 PowerPoint 版课件，均为文字版 PDF（2.1-预备知识.pdf 11 页、2.2-线性映射.pdf 22 页、2.3-矩阵与同构.pdf 25 页）；纯文字的课件页不再截图；只保留可交换图与灰度图像示例两处真正承担视觉信息的材料，其余以正文的 KaTeX 公式为准。其中 2.2、2.3 现存本地素材归档 _sources/matrix/，2.1 与渲染脚本在归档目录重组时移出工作区；
  • 录播（2.1–2.2 部分）：智学北航回放 course_id=144946、sub_id=5866254（2026-09-22），授课：王振乾——2.3 无录播，故 2.3 不引用课堂口述与时间戳，全部依据课件；
  • 录播（2.4–2.5）：智学北航回放 course_id=144946、sub_id=5876194（2026-10-08），授课：王振乾，转录稿（1967 句）在归档目录重组时移出工作区；2.4、2.5 两节依据该转录整理，不沿用课件编号（自动编号），课堂口述标注时间戳；
  • 录屏素材：桌面录屏流去重后 50 页（第 10 页「第二章 线性映射与矩阵」起为正文），纯图像 PDF、无文字层；
  • 板书：四联推拉板数字版（19 个状态），2.1–2.2 中引用的板书内容均标注时刻；
  • 口述：平台 ASR 错字极多（「线性映射→现金映射/先行论述」「双射→双色」「单射→单色」「维数→为数」「变换→磁罐」等），勘误表给出完整对照。

课件章节目录（第二章全貌）

小节主题本编状态
2.1 映射与多项式（课件标题「预备知识」）映射的术语与运算；无穷集合比大小；多项式与带余除法；友矩阵正文（含录播补注）
2.2 线性映射定义与例子；保持性质；单射判据；L(V,W)L(V,W)；零空间 / 值域与亏加秩定理正文（含录播补注）
2.3 矩阵与同构取基后映射与矩阵一一对应；L(V,W)≅Fm×nL(V,W)\cong F^{m\times n}；同构 ⟺ 维数相等；坐标公式与换基公式；矩阵的秩正文（依课件整理，证明多处补全）
2.4 特征值与特征向量线性变换与矩阵特征对的翻译；特征子空间、几何 / 代数重数；设计基使矩阵为指定形式正文（依第 5 周录播整理）
2.5 酉变换与酉矩阵（含正交情形）正交 / 酉矩阵；四条等价刻画；Givens 旋转与 Householder 反射正文（依第 5 周录播整理）
2.6 应用：图的矩阵表示邻接矩阵、关联矩阵待素材到位
2.7 章节测验章末检验待素材到位

课堂时间线（09-22，覆盖 2.1–2.2）

下表是第 3 周录播的时间轴，对应本页 2.1、2.2 两节的正文标注（2.3 无录播，不在此表内）。

时间内容对应
00:02:06–00:07:35课程平台、题库「主要题」、作业与考核说明见 2.1 节 开头的平台注记
00:07:35–00:08:46第一章回顾；第二章总起导览本页
00:08:46–00:15:562.1.1 映射：定义 2.1.1–2.1.6、定理 2.1.1–2.1.22.1.1
00:15:56–00:21:13无穷集合比大小：等势、可数性2.1.1′
00:21:13–00:24:582.1.2 多项式：带余除法、整除、公因式 / 公倍式、友矩阵（定义 2.1.7–2.1.11、定理 2.1.3）2.1.2
00:24:58–00:48:192.2 线性映射：定义 2.2.1 与全部例子2.2.1–2.2.2
00:48:19–00:52:07课间休息—
00:52:07–01:14:23定理 2.2.1、性质 1/2、单射判据及其推论2.2.3–2.2.4
01:14:23–01:23:02线性映射空间 L(V,W)L(V,W)、dim⁡L=dim⁡V⋅dim⁡W\dim L=\dim V\cdot\dim W2.2.4
01:23:02–01:36:59零空间 / 值域、零度与秩、亏加秩定理证明（未完）2.2.5

2.3 与 2.1、2.2 的衔接：其内容与两节课件中的「矩阵表示」预告相承接（2.2 的例 2.2.A 已埋下「线性映射就是矩阵」的伏笔）。

一条主线

第一章给单个空间装上了「坐标」（基与维数）；第二章把两个空间连起来：先备好映射的语言（2.1），再要求映射与线性运算相容——线性映射（2.2）。线性映射的两大不变量是零空间与值域，亏加秩定理（定理 2.2.5）说明「死的部分 + 活的部分 = 全部」。取定基之后，抽象映射落地成矩阵（2.3），而且这个「落地」是一一对应且保持运算：L(V,W)≅Fm×nL(V,W)\cong F^{m\times n}。于是「选一组好基」成为一门正经的学问——换基公式 B=P−1AQB=P^{-1}AQ、相似 B=P−1APB=P^{-1}AP、以及「矩阵的秩 == 映射的秩」都是同一件事的不同侧面；而「挑一组让矩阵最简单的基」正是后续特征值理论的方向。

怎么用这一编
  • 对照课件：2.1–2.3 保留课件原编号（定义 2.1.1–2.1.11、定理 2.1.1–2.1.3、定义 2.2.1–2.2.3、定理 2.2.1–2.2.5、定义 2.3.1–2.3.2、定理 2.3.1–2.3.6、命题 2.3.1、推论 2.3.1–2.3.4），可与课件逐条对照；2.3 的编号已逐页核对课件原文；2.4、2.5 依第 5 周录播转录整理，盒子自动编号（课件入库后再行对照勘误）。
  • 补全证明：课件只给思路或省略的证明，本编按标准路线补完——亏加秩定理（定理 2.2.5）、定理 2.3.1 的存在唯一性、定理 2.3.3 的充分性、定理 2.3.6 的两条等维数结论，均逐处标注「本编补」。
  • 考试信号：课堂例题「T(α)=k2ε2+k3ε3T(\alpha)=k_2\varepsilon_2+k_3\varepsilon_3」老师明说是去年考题（00:53:38）；「变换」概念「考试考过」（00:15:49）——两条都要练到条件反射。第 5 周课新增：「设计基使矩阵为指定形式」是上届考题（10-08 录播 00:12:45）；正交矩阵特征值问题被点名（01:09:19）；Givens「三四年没考、早年考过易变形」（01:14:16）；Householder 性质「考试中考过」（01:31:37）。
  • 衔接：本编多处引用第一章——子空间判定（1.2）、基扩充（1.3）、过渡矩阵（1.3）、直和与投影（1.6）；它们在这里第一次被「跨空间」使用。