流程 1 · 相抵分解（求 $P$、$Q$）

入口：给任意矩阵 $A$，要求「相抵分解式 $A=P^{-1}\Gamma Q$」或「化成相抵标准形」。

步骤：① 消元求秩 $r$（或直接进第 ② 步，消元过程给出）；② 用分块矩阵 $\begin{bmatrix}A&I\\ I&*\end{bmatrix}$ 只对前块做行、列变换，直到前块变成 $\Gamma=\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}$；③ 读块：分块矩阵右上角是 $E=P$、左下角是 $F=Q^{-1}$；④ 写答案 $A=E^{-1}\Gamma F^{-1}$。

验算：$EAF=\Gamma$（一代就穿帮，别凭感觉）。易错：把读出的 $E$ 直接当 $P^{-1}$ 代入（勘误 E3.1）；对未知元做了列变换忘记「乘回」（相抵变换求 $P$ 与 $Q^{-1}$）。

流程 2 · 用相抵标准形解方程组

入口：「解 $A\boldsymbol x=\boldsymbol b$」或「判断有无解、有几个自由度」。

步骤：① 先有相抵分解（流程 1）；② 换元 $\boldsymbol x=F\boldsymbol y$，方程化为 $\Gamma\boldsymbol y=E\boldsymbol b$；③ 看 $E\boldsymbol b$ 的后 $m-r$ 个分量：不全为零 ⇒ 无解，结束；④ 有解时，$\boldsymbol y$ 的前 $r$ 个分量由 $E\boldsymbol b$ 前 $r$ 个分量直接读出，后 $n-r$ 个自由；⑤ 通解 $\boldsymbol x=F\boldsymbol y$。

验算：把通解代回原方程抽查一个参数值；自由度数目 $=n-r$。易错：用 $\boldsymbol b$ 而不是 $E\boldsymbol b$ 判可解（判据要看变换后的后 $m-r$ 个分量）；读出 $\boldsymbol y$ 后忘乘 $F$（例 3.1.1、例 3.1.B（新增）。

流程 3 · 单侧逆：判断与构造

入口：「$A$ 是否有左 / 右逆」「构造一个右逆」「写出全部右逆」。

步骤：① 算秩判方向——行满秩（$\operatorname{rank}A=m$）$\iff$ 有右逆；列满秩（$\operatorname{rank}A=n$）$\iff$ 有左逆（定理 3.1.1）；② 用闭式公式构造：右逆 $B_0=A^{\mathrm H}(AA^{\mathrm H})^{-1}$、左逆 $B_0=(A^{\mathrm H}A)^{-1}A^{\mathrm H}$（可逆性由 命题 3.1.1 保证）；③ 「全部右逆」：$B=B_0+Z$，其中 $Z$ 的每一列都属于 $N(A)$（参数形式按 $N(A)$ 的基写出）。

验算：$AB_0=I$（或 $B_0A=I$）逐元素一战。易错：左右方向写反；忘记前提是「行满秩 / 列满秩」而不是「满秩」（长方阵两边不可能同时满）；方阵才有「单侧即双侧，称为逆」。

流程 4 · 满秩分解

入口：「求 $A$ 的满秩分解 $A=BC$」。

步骤（RREF 法最快，用 RREF 批量求满秩分解）：① 消元化为行简化阶梯形 $R$，记秩 $r$ 与主元列号；② $B=A$ 的第 $p_1,\cdots,p_r$ 列（取 $A$ 的列，不是 $R$ 的）；③ $C=R$ 的前 $r$ 行；④ 写 $A=BC$。备选：从相抵分解读（取 $P^{-1}$ 前 $r$ 列、$Q$ 前 $r$ 行）或任取 $R(A)$ 的基拼坐标。

验算：$BC=A$。易错：主元列取成 RREF 里的单位列（必须回到 $A$ 里取）；$C$ 取 RREF 的非零行（不是前 $r$ 行——除非恰好没有零行夹在中间，标准做法就是非零行）；忘记前提 $r>0$。另一种分解的换算：若给出两种分解，$D=B_2^{\mathrm L}B_1=(B_2^{\mathrm H}B_2)^{-1}B_2^{\mathrm H}B_1$（定理 3.2.2）。

流程 5 · QR 分解（手算）

入口：「求 QR 分解」「求正交三角分解」；方阵需满秩，长方阵需列满秩。

步骤（GS 法）：① 验满秩；② 逐列 Gram–Schmidt：$\boldsymbol y_k=\boldsymbol a_k-\sum_{i<k}(\boldsymbol a_k,\boldsymbol z_i)\boldsymbol z_i$，$\boldsymbol z_k=\boldsymbol y_k/\|\boldsymbol y_k\|$；③ 填 $R$：对角元 $r_{kk}=\|\boldsymbol y_k\|$（残差的范数！）、上三角元 $r_{ik}=(\boldsymbol a_k,\boldsymbol z_i)$（$i<k$）；④ $Q=[\boldsymbol z_1,\cdots,\boldsymbol z_n]$。长方阵（推论 3.4.1）：把 $Q$ 补成 $m$ 阶酉阵、$R$ 底下垫零块（补齐列取正交补方向）。

验算：$QR=A$（必做）；$R$ 对角全正（正线）；$Q^{\mathrm T}Q=I$。易错：$r_{kk}$ 写成 $\|\boldsymbol a_k\|$（先减成分、再量长度）；符号 / 正线未规约（勘误 E3.7）；长方阵把 $R$ 写成 $n\times n$（要 $\begin{bmatrix}R_1\\O\end{bmatrix}$，例 3.4.3）。

流程 6 · QR 算法求特征值

入口：「用 QR 算法求特征值」，或矩阵较大不便手算特征多项式。

步骤：① $A_1=A$；② 对 $A_k$ 作 QR 分解 $A_k=Q_kR_k$；③ $A_{k+1}=R_kQ_k$（交换左右再乘回）；④ 反复迭代（题目常指定 $k=10$、$20$）；⑤ 对角元即特征值（收敛条件：模互异；顺序为模从大到小）。

验算：任取一步检查 $\operatorname{tr}(A_{k+1})=\operatorname{tr}(A)$（相似不变量）；收敛后对角元和应等于 $\operatorname{tr}A$。易错：迭代式写成 $Q_kA_kQ_k^{\mathrm H}$（方向错，应为 $R_kQ_k=Q_k^{\mathrm H}A_kQ_k$）；忘记「模互异」才保证收敛——等模时可能卡死（旋转阵反例，例 3.4.4 的本编注）。

流程 7 · 最小多项式

入口：「求 $A$ 的最小多项式」，或需要它来化简 $g(A)$、$A^m$。

步骤（候选法，求最小多项式：候选法）：① 求 $f_A(\lambda)$ 并因式分解；② 列全部候选：每个根 $\lambda_j$（重数 $d_j$）在候选里取幂 $1$ 到 $d_j$，组合共 $\prod d_j$ 个（一般 $2^s$ 个）；③ 从低次到高次逐个试算 $g(A)\stackrel{?}{=}O$；④ 第一个通过的即 $m_A$。

验算：$m_A\mid f_A$（次数分配对不对）；$m_A$ 与 $f_A$ 根相同（不漏根）。易错：次序不能反——从高次试，第一个通过的是 $f_A$ 而不是 $m_A$；低次候选的「淘汰」要写出乘积式子（$I_2$ 型反例：几何重数不足时低次必被淘汰，例 3.5.B）。

流程 8 · 矩阵多项式三件套：$g(A)$、$A^m$、$A^{-1}$

入口：「计算 $A^4-2A^2+I$」「求 $A^{100}$」「用 H–C 公式求 $A^{-1}$」。

步骤（三件套，先求 $f_A$ 或 $m_A$ 作燃料）：① $g(A)$：带余除法 $g=qm_A+r$（本编注：除以 $m_A$ 比除以 $f_A$ 更省——例 3.5.2 续），代入 $g(A)=r(A)$；② $A^m$：由 $f_A$ 得递推（如 $A^2=\alpha A+\beta I$）后迭代，或在特征值处定系数：解 $\lambda_i^m=\alpha\lambda_i+\beta$ 得 $A^m=\alpha A+\beta I$；③ $A^{-1}$：$A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\cdots+a_1I)$，$a_0=f_A(0)=(-1)^n\det A\ne0$（推论 3.5.2）。

验算：$AA^{-1}=I$；$A^m$ 的对角元 / 迹与 $\sum\lambda_i^m$ 对照；对称阵的 $A^m$ 必对称。易错：$g$、$m_A$、$f_A$ 三者的角色混用（$g=qm_A+r$ 才是标准式）；逆公式的负号与 $a_i$ 的配对（勘误 E3.5 的三连错就是这个雷）。

流程 9 · 特征值、特征向量与可对角化

入口：「求特征值 / 特征向量」「判断能否对角化」「求过渡矩阵 $P$」。

步骤：① $f_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$；用 $\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i$、$\det A=\prod\lambda_i$ 验根（迹、行列式与特征值 2.4.2）；② 对每个 $\lambda$ 解 $(A-\lambda I)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 得特征向量（变换问题要乘回基坐标/基向量，求线性变换特征对的流程）；③ 逐个比对几何重数（$=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$）与代数重数（几何重数的计算 2.4.6、重数不等式 2.4.7）；④ 全部取等才可对角化，$P$ 由特征向量拼成，验 $P^{-1}AP=\Lambda$。

验算：迹、行列式的两个对照式；$P^{-1}AP$ 一代。易错：特征向量必须非零；忘掉重数的比较直接下结论；2.5 的「设计基」反向题要按 设计基使矩阵为指定形式 流程反推。

流程 10 · 正交化与投影（第一章工具链）

入口：Gram–Schmidt 正交化、求投影 / 最近点、把向量对准坐标轴。

步骤：① 正交化（Gram–Schmidt 正交化）：先查要用的基是否已经正交，正交 → 直接套投影公式；不正交 → 先 GS；② 投影（正交基版本）：$\operatorname{Proj}_W\boldsymbol y=\sum\frac{(\boldsymbol y,\boldsymbol x_i)}{(\boldsymbol x_i,\boldsymbol x_i)}\boldsymbol x_i$；标准正交基版本去掉分母；③ 「对准轴」用 Householder 或 Givens（用 Givens 把任意向量对准 $\boldsymbol{e}_1$）。

验算：残差与基向量逐个内积为零；投影的幂等性 $P^2=P$。易错：对非正交基直接套投影公式（勘误 E12）；Householder 是镜像不是投影。