Keyboard shortcuts

Press ← or → to navigate between chapters

Press S or / to search in the book

Press ? to show this help

Press Esc to hide this help

勘误表（对应原课件）

整理时对原课件逐题复核，发现以下数学错误、论证缺口与概念边界问题；正文相应位置已按正确内容改写，此处集中列出供对照。

编号位置原文勘误与理由
E11.1 课件页 30（例 1.1.5 思考）A3=A(2A−I)=5A−2IA^3=A(2A-I)=5A-2I应为 A3=3A−2IA^3=3A-2I。直接计算 A3=(1301)=3A−2IA^3=\begin{pmatrix}1&3\0&1\end{pmatrix}=3A-2I；或由 A3=A(2A−I)=2A2−A=2(2A−I)−AA^3=A(2A-I)=2A^2-A=2(2A-I)-A。一般地 Ak=kA−(k−1)IA^k=kA-(k-1)I（归纳证明见 1.1.6）。
E21.3 课件页 20（例 1.3.6）「观察知 α1,α2,α3\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3 线性无关」，得 dim⁡W1=3\dim W_1=3，答案 dim⁡(W1∩W2)=2\dim(W_1\cap W_2)=2α1−2α2+α3=θ\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\theta}，三向量相关（课件矩阵第 1、3 行相同），dim⁡W1=2\dim W_1=2；正确答案 dim⁡(W1∩W2)=2+2−3=1\dim(W_1\cap W_2)=2+2-3=1，且 W1∩W2=span⁡{(0,1,0)T}W_1\cap W_2=\operatorname{span}{(0,1,0)^{\mathrm T}}。完整解法见 1.3.9。
E31.4 课件页 15–16（定义 1.4.4）紧接「第一变元线性」约定写 A=((εi,εj))A=((\boldsymbol{\varepsilon}_i,\boldsymbol{\varepsilon}_j))，同时又写 (x,y)=ηHAξ(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm H}A\boldsymbol{\xi}两式的下标次序不一致。若 ξ,η\boldsymbol{\xi},\boldsymbol{\eta} 分别是 x,y\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} 的坐标，并坚持第一变元线性，则应定义 Aij=(εj,εi)A_{ij}=(\boldsymbol{\varepsilon}_j,\boldsymbol{\varepsilon}_i)，此时才有 (x,y)=ηHAξ(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{\eta}^{\mathrm H}A\boldsymbol{\xi}。另一种定义也可用，但矩阵公式必须相应改变。
E41.4 课件页 16（注 4）「内积与度量矩阵存在一一对应关系」需补上「固定一组基以后」。同一个内积在不同基下有不同的度量矩阵，且按 GF=PHGEPG_{\mathcal F}=P^{\mathrm H}G_{\mathcal E}P 作合同变换；不固定基时不能把内积与某一个矩阵直接一一对应。
E51.5 课件页 4（命题 1.5.1 (4)）三角不等式处只有示意图，证明为「在此处键入公式。」占位框课件未给证明，且按课件顺序此时证不了：三角不等式依赖 Re⁡(x,y)≤∣(x,y)∣≤∥x∥∥y∥\operatorname{Re}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\leq|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\leq|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|，而 Cauchy–Schwarz 在下一页才出现。本教程先证 (1)–(3)，把 (4) 悬置到 C-S 之后补全。详见 1.5.2。
E61.5 课件页 8（定义 1.5.2）夹角定义写在一般内积空间上复空间中 (x,y)(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) 是复数，arccos⁡\arccos 无定义。夹角限实内积空间；复空间可改用 Re⁡(x,y)\operatorname{Re}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})，或只保留定义无歧义的「正交」。详见 1.5.3。
E71.5 课件页 11（注 5）正交当且仅当勾股等式「当且仅当」在复空间不成立：x=1,y=i∈C1x=1,y=i\in\mathbb C^1 满足勾股等式但 (x,y)=−i≠0(x,y)=-i\neq0。只保留「正交 ⇒\Rightarrow 勾股」，反向限实空间。
E81.5 课件注编号注 1、2、3、4、5，页 18 又出现「注 4」，无「注 6」编号重复且缺号；本教程按出现顺序重排为注 1–6。
E91.6 课件页 11（例 1.6.4 证明 (1)）由「Ax=xA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}、Ay=0A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}」直接「令 y=x\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}」缺关键交代：x∈R(A)\boldsymbol{x}\in R(A) 与 y∈R(I−A)\boldsymbol{y}\in R(I-A) 取自不同子空间。应取 w∈R(A)∩R(I−A)\boldsymbol{w}\in R(A)\cap R(I-A)，则 Aw=wA\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w} 且 Aw=0A\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}，故 w=0\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}。详见 1.6.4。
E101.5 课件例 1.5.2由三角函数系两两正交，直接称其为光滑函数空间 SS 的「正交基」混淆了本章的 Hamel 基与傅里叶分析中的完备正交系。有限线性组合只能得到三角多项式，不能覆盖全部光滑函数；在 L2[−π,π]L^2[-\pi,\pi] 中可把规范化三角函数系称为完备正交系，并在 L2L^2 收敛意义下讨论展开。详见 1.5.7。
E111.6（下）课件页 4–6（定理 1.6.2–1.6.4、定义 1.6.5–1.6.7）前提写作「线性空间 VV」应为内积空间：「W1⊥W2W_1\perp W_2」「W1⊥W_1^{\perp}」离开内积没有定义（课件自己在定义 1.6.3、1.6.4 处写的是内积空间）。详见 1.6.5。
E121.6（下）课件页 9（例 1.6.6 方法二）提前使用下一页命题 1.6.1 的投影公式，且未指出 x1⊥x2\boldsymbol{x}_1\perp\boldsymbol{x}_2公式 Proj⁡Wx=∑(x,xi)∥xi∥2xi\operatorname{Proj}_{W}\boldsymbol{x}=\sum\frac{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_i)}{|\boldsymbol{x}_i|^2}\boldsymbol{x}_i 只对正交基成立；本题基恰好正交使公式合法，但课件未交代。基不正交时须先正交化或解 Gram 方程组。详见 1.6.7。
E131.6（下）课件页 10（定理 1.6.5）「内积空间必存在标准正交基」，未限定维数按 Hamel 基理解，该陈述在无限维不成立：可分无穷维 Hilbert 空间的正交向量组至多可数，而其 Hamel 基必不可数（Baire 纲论证）。应限定「nn 维（有限维）内积空间」，与 E10 的「完备正交系」边界呼应。详见 1.6.8。
E141.6（下）课件页 16–17（页眉）页眉作「向量长度与夹角」两页（小结、例 1.6.7）系沿用 1.5 课件模板未改页眉，应为「直和与投影」。
E151.6（下）课件页 4、8、14–16排版与图文小疵若干① 小结「基本概念」以顿号收尾、「重要结论」漏收定理 1.6.3、1.6.4；② 页 4 插图含正文未定义的 W3W_3；③ 页 15 矩阵下三角的 00 只印出左下角一个；④ 页 8 上标误用粗体数字、页 14 末尾 yi\boldsymbol{y}_i 误排细体、原点记号 OO/oo 不一致。均不影响数学内容，详见 1.6.10。
非错误的两点说明（避免误会的澄清）

① 1.2 课件页 9 定理 1.2.1 条件 (2)a 中「∀k∈F\forall k\in F」并非多余——k=0k=0 正是「零元 ∈W\in W」的隐藏来源。 ② 1.1 课件页 4 例 1.1.5 中 A2=2A−IA^2=2A-I 本身正确，错误仅出现在页 30 的 A3A^3。 ③ 1.5 课件页 5 定理 1.5.1 的等号条件、页 9 例 1.5.1 的面积公式均无错误（前者原本就写了模 ∣(x,y)∣=∥x∥∥y∥|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|=\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|，后者明确限定 R2\mathbb R^2）——这两处曾因 PDF 文本层丢失符号而疑似有误，逐页核对图片后确认原课件正确，特此说明。