(a) 都不成立（$x$ 与 $-x$ 同像、$R(f)=[0,\infty)\neq\mathbb R$）；(b) 满射但不单（仍非单）；(c) 双射（例 2.1.A）；(d) 单射（$\mathrm e^x$ 严格增）但不满（$R(f)=(0,\infty)\neq\mathbb R$）。要点：单射看「不同输入不同输出」，满射看「值域 = 到达集合」——同一公式改到达集合，类型就变（(a) 与 (b) 的对比）。

(a) 变换 = $V\to V$ 的映射；一一变换 = $V\to V$ 的双射；置换 = 有限集上的一一变换（定义 2.1.6）。(b) 置换（有限集的 $1\leftrightarrow3,\ 2\leftrightarrow2$，是双射）。(c) 不是——$\mathbb R^2$ 是无限集，只称一一变换。(d) 因为判题第一步就是看「是不是 $V\to V$」（变换）以及「是否双射 / 集合是否有限」（一一变换 / 置换），三词混用会直接失分。

(a) $T:\mathbb R\to\mathbb R$，$T(x)=|x|$：$T(\lambda x)=|\lambda||x|=\lambda|x|$（$\lambda>0$ 时成立；严格说 $T$ 不满足齐次性，改用 $T(x)=\operatorname{sgn}(x)\cdot0$ 型…更标准的例子：$T(x)=x$ 在有理数域上做 $\mathbb C\to\mathbb C$ 的实线性讨论时用 $T(z)=\bar z$——它可加但不齐次，见 (b)）。推荐例：$T(x)=\|x\|$ 齐次但对 $x=-y$ 可加性失败。 (b) $T:\mathbb C\to\mathbb C$，$T(z)=\bar z$，视为 $\mathbb R$-线性空间之间的映射：可加性 $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$ 成立；齐次性对 $\lambda\in\mathbb R$ 成立、对 $\lambda=i\in\mathbb C$ 失败（$\overline{iz}=-i\bar z\neq i\bar z$）——说明「线性」必须绑定数域（定义 2.2.1 注记 1）。 (c) 平移把原点搬到别处：$T(\boldsymbol{\theta})\neq\boldsymbol{\theta}'$，违反 推论 2.2.1（1）（线性映射保持原点不动）。

(a) 对（定理 2.2.2 的等价形式；证明：$T(x)=T(y)\iff T(x-y)=\boldsymbol{\theta}$）。(b) 不一定——注 2：$p<n$ 时只验了部分向量（定理 2.2.2 注 2）。(c) 不成立——注 1：线性映射不一定把基映成像空间的基（零映射映成零向量组）。(d) 对（推论 2.2.2），且此时 $V$ 的基的像是 $W$ 的基。

(a) 对——这正是 定义 2.3.1 的定义方式，是写矩阵的唯一依据。 (b) 错，写反了：$A\in F^{m\times n}$，行数 $m=\dim W$（到达空间）、列数 $n=\dim V$（出发空间）。记忆：「$A$ 的行数等于像空间的维数」——因为每一列是像的坐标，坐标有 $m$ 个分量。 (c) 对——$V\to V$ 时出发基与到达基同为一组，故 $n\times n$。 (d) 对——$T(\varepsilon_1)=\sum_i a_{i1}\eta_i$，系数全为 $0$ 即 $T(\varepsilon_1)=\boldsymbol{\theta}'$（对照 推论 2.2.1（1） 的逆向使用：非零向量可以被映成零，见 定理 2.2.2 注 1 与 $N(T)$）。

(a) 不对。等势只要求存在双射（定义 2.1.1），同构还要求这个双射保持加法与数乘（定义 2.3.2）——即「等势 $+$ 保运算」。课件旁注「整数集与偶数集同构」说的是等势层面的直觉，不能当作线性空间同构的判据。 (b) 维数相等（定理 2.3.3）；不是「元素个数相同」——有限维实空间只要维数相同就都同构于 $\mathbb R^n$（推论 2.3.1）。 (c) 相似必相抵，相抵未必相似：相似是 $B=P^{-1}AP$（两侧同一个 $P$）；相抵是 $B=P^{-1}AQ$（$P,Q$ 可独立）。相抵对应「同一个线性映射 + 两组基各自换」，相似对应「同一个线性变换 + 同一空间的两组基」（定理 2.3.5、推论 2.3.4）。 (d) 都不可能。相抵要求同型（都是 $m\times n$，因为初等变换不改变矩阵的行列数），$2\times3$ 与 $3\times2$ 不同型，谈不上相抵；相似只对同阶方阵定义，更谈不上。（能与 $2\times3$ 矩阵相抵的是另一个 $2\times3$ 矩阵，且需秩相同。）

(a) 定义会失去意义。线性变换必把零向量映成零向量（推论 2.2.1 第 1 条；矩阵情形 $A\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}$），于是 $T\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}=\lambda\boldsymbol{\theta}$ 对每个数 $\lambda$ 都成立——「$\lambda$ 是特征值」变成恒真的话，特征值集合成了整个数域。所以 线性变换的特征值与特征向量 2.4.2 与 特征值与特征向量（矩阵，先修回顾） 2.4.1 都要求 $\boldsymbol{\xi}\neq\boldsymbol{\theta}$。 (b) 属于，但不是。$V_\lambda$ 是 $A-\lambda I$ 的零空间，零空间必含零向量；而特征向量按定义非零（特征子空间 2.4.3）。准确说法：$V_\lambda$ 是「$\lambda$ 的全体特征向量再添上零向量」。 (c) 只差零向量这一个点：$\boldsymbol{x}\in V_\lambda$ 允许 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\theta}$，特征向量不允许。推论：$V_\lambda$ 是子空间（零空间对加法、数乘封闭），而「特征向量全体」不是子空间——两句话不能互换。 (d) 至少一个：由 重数不等式 2.4.7 左端 $\dim V_\lambda\geq1$，即 $V_\lambda$ 中存在非零向量，它就是特征向量（这与「$\lambda$ 是特征值」等价）。但「至少一个」不意味着「很多」：经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2 的 $J_3$ 在 $\lambda=1$ 处恰好只有一维特征子空间。

(a) 是。特征对的翻译定理 2.4.1 第 1 条：取定基后，$T$ 与它的矩阵 $A$ 的特征值完全相同。核对：$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)$。 (b) 不是。$(1,1)^{\mathrm T}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的坐标列，属于 特征值与特征向量（矩阵，先修回顾） 2.4.1 的世界；$T$ 的特征向量住在 $V$ 里。按 特征对的翻译定理 2.4.1 第 2 条必须把它乘回基：属于 $2$ 的特征向量是 $\boldsymbol{\varepsilon}_1+\boldsymbol{\varepsilon}_2$。（$A(1,1)^{\mathrm T}=(2,2)^{\mathrm T}=2(1,1)^{\mathrm T}$ 只验证了坐标这一层。） (c) 属于 $2$：$k(\boldsymbol{\varepsilon}_1+\boldsymbol{\varepsilon}_2)$（$k\neq0$）；属于 $1$：$k\boldsymbol{\varepsilon}_1$（$k\neq0$）——因为 $A-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$ 给出 $x_2=0$，坐标是 $(1,0)^{\mathrm T}$，而 $A(1,0)^{\mathrm T}=(1,0)^{\mathrm T}$ ✓。 (d) 不对。$V_\lambda$ 由 $T$ 本身决定（「被 $T$ 保持的方向」），与基无关；随基改变的只是特征向量的坐标。只有把坐标列误当成特征向量时，才会觉得它依赖基（求线性变换特征对的流程 第 4 步）。上三角矩阵最容易出错：坐标看着「很像」答案，但除非基恰好是标准基，它们都不是 $V$ 中的向量。

(a) 一定相同：特征多项式、特征值（含代数重数）、迹、行列式、秩——这正是 相似不变量 2.4.4 的清单。几何重数也在其中：$B-\lambda I=P^{-1}(A-\lambda I)P$，故 $\operatorname{rank}(B-\lambda I)=\operatorname{rank}(A-\lambda I)$，再由 几何重数的计算 2.4.6 得 $\dim V_\lambda=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$ 不变（与 2.4.3 的思考题一致）。 不一定相同：矩阵的具体元素；特征向量的坐标——若 $A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则 $B(P^{-1}\boldsymbol{x})=\lambda(P^{-1}\boldsymbol{x})$，$B$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量是 $P^{-1}\boldsymbol{x}$，一般与 $\boldsymbol{x}$ 不同。 (b) 不对。相似必同特征多项式，反之不真。经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2 是标准反例：$J_2$ 与 $J_3$ 的特征多项式都是 $(\lambda-1)^3$，但 $\dim V_1$ 分别是 $2$ 与 $1$；而几何重数是相似不变量，故二者不相似。判相似不能只看特征多项式。 (c) 例如 $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ 与 $B=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}$（正文 例 2.4.3 的算例）：取 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}$，可算得 $P^{-1}AP=B$。$\operatorname{tr}=5$、$\det=6$、特征多项式 $(\lambda-3)(\lambda-2)$ 都能一眼核对，但「相似」这个结论必须落实到具体的 $P$（或用完全不变量判断），不能凭元素形状猜。

(a) 几何重数 $=\dim V_\lambda=\dim N(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$（特征子空间 2.4.3、几何重数的计算 2.4.6）；代数重数 $=\lambda$ 作为特征多项式 $\det(\lambda I-A)$ 的根的重数。 (b) $1\leq\dim V_\lambda\leq\lambda$ 的代数重数（重数不等式 2.4.7）。几何重数不可能为 $0$：若 $\dim V_\lambda=0$，则 $V_\lambda=\{\boldsymbol{\theta}\}$，即 $(A-\lambda I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\theta}$ 只有零解，$A-\lambda I$ 可逆、$\det(\lambda I-A)\neq0$，与「$\lambda$ 是特征值」矛盾——「特征值」这个前提本身就保证至少有一个非零特征向量。 (c) $\lambda=5$ 是单根，由 (b) 得 $1\leq\dim V_5\leq1$，故 $\dim V_5=1$ 必成立；$\lambda=2$ 的几何重数可以是 $1$ 或 $2$。于是 $\dim V_2=2$ $\iff$ 几何重数之和 $=2+1=3=n$ $\iff$ $A$ 可对角化；$\dim V_2=1$ 时只有 $2$ 个线性无关的特征向量，$A$ 不能对角化（2.4.4 的设计基流程）。 (d) 例如 $A_1=\operatorname{diag}(2,2,5)$ 与 $A_2=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&5\end{pmatrix}$：特征多项式都是 $(\lambda-2)^2(\lambda-5)$，而 $\operatorname{rank}(A_1-2I)=1$、$\operatorname{rank}(A_2-2I)=2$，故 $\lambda=2$ 处的几何重数分别是 $2$ 与 $1$——这正是 经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2 的教训：特征多项式不含特征结构的全部信息。

(a) 不对。取平面旋转 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$：$\det(\lambda I-A)=\lambda^2+1$，特征值是 $\pm\mathrm i$——模都是 $1$，但都不是 $\pm1$；而 $A^{\mathrm T}A=I$，$A$ 确实是正交矩阵（正交矩阵与酉矩阵 2.5.1）。 (b) 对正交（酉）矩阵，能保证的只有 $|\lambda|=1$：特征值全部落在复平面的单位圆上（正交矩阵特征值的模 2.5.3）。复特征值完全可能出现，实矩阵也不例外（正交矩阵与酉矩阵 2.5.1 之后的注）。 (c) 若 $\lambda\in\mathbb{R}$ 且 $|\lambda|=1$，则 $\lambda=\pm1$。所以「$\pm1$」只覆盖实特征值那部分；而 $n$ 阶实矩阵未必有 $n$ 个实特征值——上面的旋转矩阵一个实特征值都没有。 (d) 错在约去 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}$。对复向量 $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}$ 不是正数，可以等于 $0$、甚至为负：课堂的反例是 $\boldsymbol{x}=(1,\mathrm i)^{\mathrm T}$，$\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{x}=1+\mathrm i^2=0$（错误证明警示），所以这一步除法不合法，$\lambda^2=1$ 根本推不出来。纪律：未确认特征值为实数之前，长度与模一律用共轭转置 $\boldsymbol{x}^{\mathrm H}\boldsymbol{x}$（展开时的共轭陷阱）；正确写法见习题 B14。

(a) 错。$H$ 是镜像（反射），不是投影：把 $\boldsymbol{x}$ 拆成沿 $\boldsymbol{\omega}$ 的分量与垂直分量，则 $H\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x})_{\perp}-(\boldsymbol{x})_{\parallel}$——沿 $\boldsymbol{\omega}$ 的分量被保留下来并取反，而不是丢掉（Householder 矩阵 2.5.4 后的几何注：「注意不是投影，是镜像」）。 (b) 对。由 $\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}\boldsymbol{\omega}=1$ 得 $H^2=I$（Householder 矩阵的性质 2.5.7 第 2 条）；投影的代数特征是幂等 $P^2=P$（第一章 1.6），而 $H^2=I\neq H$——若 $H$ 是投影，就会丢掉沿 $\boldsymbol{\omega}$ 的分量、也不可能保长度。 (c) 错。$\det H=-1$（Householder 矩阵的性质 2.5.7 第 6 条）——镜像改变定向，这正是它与 Givens 旋转（$\det=+1$）的分水岭。 (d) 对。$H\boldsymbol{\omega}=-\boldsymbol{\omega}$；凡与 $\boldsymbol{\omega}$ 正交的 $\boldsymbol{v}$ 都满足 $H\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}$，而 $\dim\boldsymbol{\omega}^{\perp}=n-1$ 保证能取到 $n-1$ 个线性无关的这类向量（Householder 矩阵的性质 2.5.7 第 4、5 条）。于是 $\lambda=1$ 处代数重数与几何重数都是 $n-1$、$\lambda=-1$ 处都是 $1$；两种重数处处相等 $\iff$ 可对角化（重数不等式 2.4.7），故在基 $\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{q}_2,\cdots,\boldsymbol{q}_n$ 下 $H$ 就是 $\operatorname{diag}(-1,1,\cdots,1)$。 (e) 正交投影矩阵是 $P=I-\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}$：它把 $\boldsymbol{x}$ 映成 $(\boldsymbol{x})_{\perp}$、把 $\boldsymbol{\omega}$ 映成 $\boldsymbol{\theta}$。而

$$H=I-2\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^{\mathrm T}=2P-I,$$

即「先投影到 $\boldsymbol{\omega}^{\perp}$、翻倍、再减去原向量」。这也解释了 (d) 的两个特征值：$P$ 的特征值是 $1$（$\boldsymbol{\omega}^{\perp}$ 上，$n-1$ 重）与 $0$（$\boldsymbol{\omega}$ 方向），$2P-I$ 把它们变成 $1$ 与 $-1$。

(a) 见 定理 2.1.1 证明框（两侧夹 $I$ 的连环等式）。 (b) 直接验证两个恒等式：$(f_1^{-1}f_2^{-1})(f_2f_1)=f_1^{-1}(f_2^{-1}f_2)f_1=f_1^{-1}f_1=I$；同法 $(f_2f_1)(f_1^{-1}f_2^{-1})=I$。由逆的唯一性得证。记忆：先穿的后脱。

(a) 见 定理 2.2.1 证明框。 (b) 取不全为零的 $k_i$ 使 $\sum k_i\alpha_i=\boldsymbol{\theta}$；作用 $T$ 并用 $T(\boldsymbol{\theta})=\boldsymbol{\theta}'$ 得 $\sum k_iT(\alpha_i)=\boldsymbol{\theta}'$，系数仍不全为零。 (c) 零映射 $T(x)=\boldsymbol{\theta}'$：若 $V$ 的无关组 $\alpha_1,\alpha_2$，其像 $\boldsymbol{\theta}',\boldsymbol{\theta}'$ 线性相关；或任一「非单射」的线性映射都把某个非零向量映成零（$N(T)\ni x\neq\boldsymbol{\theta}$，取 $\{x\}$ 无关、像 $\{\boldsymbol{\theta}'\}$ 相关）。

(a) 见证明框：从 $\sum k_iT(\alpha_i)=\boldsymbol{\theta}'$ 出发，用 $T$ 保持组合倒推 $\sum k_i\alpha_i=\boldsymbol{\theta}$，再取无关性得 $k_i=0$。 (b) 见证明框：反设存在 $x\neq y$ 使 $T(x)=T(y)$，取 $V$ 的一组基 $\alpha_i$、把 $x-y$ 展开成基的组合，用「像的零组合系数为零」导出 $x-y=\boldsymbol{\theta}$，矛盾。 (c) (b) 中用的是 $V$ 的基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$（$n=\dim V$）——必须是「张成整个 $V$ 的无关组」，只验一个真子组的无关性不足以覆盖全部向量（正是注 2 的反例情形）。

见 定理 2.2.5 证明框的四步（取基 → 扩基 → 像的生成 → 像的无关性）。关键点：① $N(T)$ 的基扩充为 $V$ 的基（基扩充定理）；② 前 $m$ 个基向量被压成零，故 $R(T)$ 由后 $n-m$ 个像张成；③ 后 $n-m$ 个像的零组合必须给出 $N(T)$ 中的向量，用两套基（$N(T)$ 的基 + 扩展部分）的无关性收尾。

(a) $(T_1+T_2)(x+y)=T_1(x+y)+T_2(x+y)=T_1(x)+T_2(x)+T_1(y)+T_2(y)$（用了 $W$ 的交换律）$=(T_1+T_2)(x)+(T_1+T_2)(y)$；齐次性同理。$\lambda T_1$ 逐点由 $W$ 的数乘性质传递。 (b) 因为 $L(V,W)$ 的加法与数乘都「逐点借用 $W$ 的运算」，八条公理只需在每个固定 $x$ 上验证，而那是 $W$ 已保证的。 (c) 零元素是零映射 $O:x\mapsto\boldsymbol{\theta}'$；$T$ 的负是负映射 $-T:x\mapsto-T(x)$。

(1) 先证良定义：坐标唯一 ⟹ 像唯一。再证线性：对 $x=\sum x_i\alpha_i$、$y=\sum y_i\alpha_i$，

$$T(x+y)=\big[(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\big]\alpha_1+(x_3+y_3)\alpha_3=T(x)+T(y),\quad T(\lambda x)=\lambda T(x).$$ (2) $T(3\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3)=(3-1)\alpha_1+2\alpha_3=2\alpha_1+2\alpha_3$。 $N(T)$：解 $(k_1+k_2)\alpha_1+k_3\alpha_3=\boldsymbol{\theta}$ ⟹ $k_3=0,\ k_2=-k_1$；故

$$N(T)=\operatorname{span}\{\alpha_1-\alpha_2\},\qquad \dim N(T)=1,\qquad \dim R(T)=2\ (=\dim V-1\ \checkmark).$$

（对照 定理 2.2.5 验证。）注意：本题 $T$ 非单射（$N(T)\neq\{\boldsymbol{\theta}\}$），与去年考题（$T$ 的像覆盖 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 方向、可单射）的区别正在于「是否丢掉某个方向」。

(a) 见 定理 2.3.1 的证明框。构造：$T(x)\triangleq(\eta_1,\cdots,\eta_m)A\alpha$（$\alpha$ 是 $x$ 在 $\varepsilon$ 下的坐标）；再逐条验证良定义、线性、矩阵恰为 $A$；唯一性：两个这样的 $T$ 在每个 $\varepsilon_j$ 上一致，而对任意 $x=\sum k_j\varepsilon_j$，由保持线性组合得 $T(x)=\sum k_jT(\varepsilon_j)$，故处处一致。 (b) 构造那半用「坐标 $\alpha$ 由 $x$ 唯一确定」（基的表示唯一性，定理 1.3.2）——这保证 $T$ 是良定义的映射；唯一性那半用「线性映射保持线性组合」（定理 2.2.1）——这把「基上一致」放大成「处处一致」。两半缺一不可：少了前者 $T$ 可能定义不出来，少了后者可能存在两个不同的 $T$ 对应同一个 $A$。

(a) 见 定理 2.3.2 的证明框：$f$ 是双射（存在性 + 唯一性 = 定理 2.3.1），且 $f(T_1+T_2)=A_1+A_2$、$f(\lambda T_1)=\lambda A_1$（逐列验证）。按 定义 2.3.2，双射 + 保两种运算即同构映射。 (b) 同构的空间维数相等（定理 2.3.3），而 $\dim F^{m\times n}=mn$（自然基 $E_{ij}$），故 $\dim L(V,W)=mn$。 与 例 2.2.A 的关系：2.2.4 课堂上说「线性映射其实就是一个矩阵」时只能「通俗地理解」——因为当时还没有同构的语言，也不清楚「取定基之后」这个前提有多重要；定理 2.3.2 把这句话变成了严格命题：取定基 $\Rightarrow$ $L(V,W)$ 与 $F^{m\times n}$ 是同一个东西的两种写法（注意：不同的基给出不同的同构映射，但同构关系本身与基的选择无关，只取决于维数）。

(a) 由过渡矩阵定义 $(\varepsilon')=(\varepsilon)Q$、$(\eta')=(\eta)P$，代入 $T(\varepsilon')=T(\varepsilon)Q=(\eta)AQ=(\eta')P^{-1}AQ$，再与 $T(\varepsilon')=(\eta')B$ 对照即得（详见 定理 2.3.5 证明框）。关键在于 $Q$ 出现在右边（出发端）、$P^{-1}$ 出现在左边（到达端）。 (b) 退化为 $B=P^{-1}AP$（推论 2.3.4）——即相似。几何含义：$A$ 与 $B$ 是同一个线性变换在同一个空间的两组不同基下的矩阵。这也是 例 2.3.B 把 $\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$ 化成 $\operatorname{diag}(1,2)$ 的依据。 (c) 相似 $\Rightarrow$ 相抵（取 $Q=P$ 即可）；反之不真——相抵不要求同阶方阵，且允许两侧用互不相关的可逆矩阵。典型反例：$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$ 与 $B=\begin{bmatrix}2&0\\0&0\end{bmatrix}$ 相抵（同型、同秩，可通过初等变换互化），但不相似——相似保持特征值（此处 $1$ vs $2$），而相抵只保持秩。$\operatorname{rank}$ 是相抵的完全不变量，相似的不变量则复杂得多（这正是后续特征值理论的主题）。

(1) 由 $B=P^{-1}AP$，

$$\lambda I-B=\lambda P^{-1}P-P^{-1}AP=P^{-1}(\lambda I-A)P .$$

再用 $\det(XY)=\det X\cdot\det Y$：

$$\det(\lambda I-B)=\det P^{-1}\cdot\det(\lambda I-A)\cdot\det P=\det(\lambda I-A),$$

因为 $\det P^{-1}\cdot\det P=1$。特征多项式相同，则根与重数相同；比较两端 $\lambda^{n-1}$ 的系数与常数项即得 $\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}A$、$\det B=\det A$（也可直接引用 相似不变量 2.4.4）。 (2) 设同一线性变换 $T$ 在两组基下的矩阵分别为 $A$ 与 $B$。由换基公式（推论 2.3.4）存在可逆 $P$ 使 $B=P^{-1}AP$，故由 (1) 两者的特征多项式相同。于是「$T$ 的特征多项式」可以定义为它在任意一组基下矩阵的特征多项式——这个定义不依赖基的选取。这正是 相似不变量 2.4.4 所说「这些量是线性变换自身的量」的证明。 (3) 取 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}$（正文 例 2.4.3 用过它），$\det P=-1\neq0$，且

$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}=B .$$

两边特征多项式都是 $(\lambda-3)(\lambda-2)$；$\operatorname{tr}=5$、$\det=6$ 也都相同 ✓。注意 $A\neq B$——可见「特征多项式相同」既不意味着矩阵相同，也不意味着相似（经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2：$J_2$ 与 $J_3$ 的特征多项式相同却不相似）。

(1) 对 $s$ 归纳。$s=1$ 时 $\boldsymbol{\xi}_1=\boldsymbol{\theta}$ 显然成立。 设结论对 $s-1$ 个互异特征值成立。对

$$\boldsymbol{\xi}_1+\cdots+\boldsymbol{\xi}_s=\boldsymbol{\theta}\tag{$*$}$$

两端作用 $T$，并用 $T\boldsymbol{\xi}_i=\lambda_i\boldsymbol{\xi}_i$：

$$\lambda_1\boldsymbol{\xi}_1+\cdots+\lambda_s\boldsymbol{\xi}_s=\boldsymbol{\theta}.$$

把 $(*)$ 乘 $\lambda_s$ 再与上式相减，消掉最后一项：

$$(\lambda_1-\lambda_s)\boldsymbol{\xi}_1+\cdots+(\lambda_{s-1}-\lambda_s)\boldsymbol{\xi}_{s-1}=\boldsymbol{\theta}.$$

注意 $(\lambda_i-\lambda_s)\boldsymbol{\xi}_i\in V_{\lambda_i}$，而 $\lambda_1,\cdots,\lambda_{s-1}$ 仍互不相同，故由归纳假设每个 $(\lambda_i-\lambda_s)\boldsymbol{\xi}_i=\boldsymbol{\theta}$（$i<s$）；又 $\lambda_i-\lambda_s\neq0$，得 $\boldsymbol{\xi}_i=\boldsymbol{\theta}$（$i<s$）。代回 $(*)$ 得 $\boldsymbol{\xi}_s=\boldsymbol{\theta}$。 直和：上面的结论正是「零向量的表法唯一」，而它与 $V_{\lambda_1}\cap(V_{\lambda_2}+\cdots+V_{\lambda_s})=\{\boldsymbol{\theta}\}$ 一样都是直和的判据（定理 1.6.1）。 (2) 取 $\boldsymbol{\xi}_i\in V_{\lambda_i}$、$\boldsymbol{\xi}_i\neq\boldsymbol{\theta}$，设 $k_1\boldsymbol{\xi}_1+\cdots+k_s\boldsymbol{\xi}_s=\boldsymbol{\theta}$。由 $k_i\boldsymbol{\xi}_i\in V_{\lambda_i}$ 与 (1) 得 $k_i\boldsymbol{\xi}_i=\boldsymbol{\theta}$；再由 $\boldsymbol{\xi}_i\neq\boldsymbol{\theta}$ 得 $k_i=0$（$i$ 任意），故线性无关。这就是 不同特征值的特征向量线性无关 2.4.5。 (3) 若 $T$ 有 $s$ 个互不相同的特征值，由 (2) 可取到 $s$ 个线性无关的向量；而 $n$ 维空间中线性无关组至多含 $n$ 个向量（第一章计数引理），故 $s\leq n$。

设 $m=\dim V_\lambda$，取 $V_\lambda$ 的一组基 $\boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_m$。由基扩充定理（推论 1.3.1）把它扩充成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基

$$\boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_m,\ \boldsymbol{\eta}_1,\cdots,\boldsymbol{\eta}_{n-m}.$$

把 $A$ 看成线性变换，在这组新基下它的前 $m$ 列是 $A\boldsymbol{\xi}_i=\lambda\boldsymbol{\xi}_i$ 的坐标，即第 $i$ 列只有第 $i$ 个分量等于 $\lambda$、其余为 $0$；而前 $m$ 列在第 $m+1,\cdots,n$ 个分量上全为 $0$。于是

$$A=\begin{pmatrix}\lambda I_m&C\\O&D\end{pmatrix},\qquad C\in\mathbb{C}^{m\times(n-m)},\ D\in\mathbb{C}^{(n-m)\times(n-m)} .$$

（这一步用到 $A\boldsymbol{\xi}_i=\lambda\boldsymbol{\xi}_i$ 与「新基下坐标唯一」。）于是

$$\det(tI-A)=\det\begin{pmatrix}(t-\lambda)I_m&-C\\O&tI_{n-m}-D\end{pmatrix}=(t-\lambda)^m\det(tI_{n-m}-D),$$

最后一步用的是分块上三角阵的行列式公式 $\det\begin{pmatrix}X&Y\\O&Z\end{pmatrix}=\det X\cdot\det Z$（按前 $m$ 列做 Laplace 展开即可）。 上式说明 $(t-\lambda)^m$ 整除 $A$ 的特征多项式，故 $\lambda$ 作为根的重数（代数重数）至少是 $m$，即 $\dim V_\lambda\leq$ 代数重数。

(a) 第一步「把 $V_\lambda$ 的基扩充为全空间的基」用的就是基扩充定理。少了它，就无法保证 $\boldsymbol{\xi}_1,\cdots,\boldsymbol{\xi}_m$ 能补成一组基，分块形状也无从谈起——这与亏加秩定理（定理 2.2.5）的证明是同一个套路。 (b) 经典三矩阵：同一特征多项式，三种几何重数 2.4.2 的 $J_3$：$\det(tI-J_3)=(t-1)^3$，代数重数 $3$；而 $\dim V_1=3-\operatorname{rank}(J_3-I)=3-2=1<3$。上三角分块里的 $C$ 无法消掉，正是 Jordan 块「链式结构」的来源；本题 C14 给出另一个具体例子（几何重数 $2<$ 代数重数 $3$）。 (c) 能。设互异特征值为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$，把每个 $V_{\lambda_i}$ 的基拼起来，共 $\sum_i\dim V_{\lambda_i}=\sum_i(\text{代数重数})=n$ 个向量；由 B11 的直和性它们线性无关，故构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基，且全部由特征向量组成——在这组基下 $A$ 的矩阵是对角形（每个 $\lambda_i$ 在对角线上出现「代数重数」次），即 $A$ 可对角化。 反过来也成立：若 $A$ 可对角化，则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，$n=\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq\sum_i(\text{代数重数})=n$，故每个特征值都取到等号。这就是「可对角化 $\iff$ 两种重数处处相等」的完整判据。