必考点竞技场

练「被问住」的地方。 复习层（公式速查卡、易错点总表）解决「记和查」，这一页解决「在压力下还答得对」。

考场与面试丢分多半不是「没学过」，而是三条链子断了一环：概念记串（右乘 / 左乘、必要 / 充分）、公式说不全（漏前提、漏坐标系）、工程判断讲不出判据。下面按「按章清单 → 三档竞技 → 限时挑战」的顺序，把这三条一次练掉。

本页的「必考」从哪来

分级依据只有一类：老师在录播里点过名的。每章总览页的「优先级说明」保留了原话与时间点，例如第三章「肯定是要考的」（1:05:52）与「主要是记住这个公式就可以」（0:25:53），第四章「重点介绍混合梯形」（0:48:11）。本页的清单是这些原话的整理，不含臆测；全部答案要点都能在正文里定位（见「回读锚点」列）。

分档判据：快问快答考能否一口报出结论；推导现场考能否白板写出链条；工程判断考能否在约束下给出方案与判据。三档依次上扬，前一档不过就别跳。

一、按章必考点清单

每条给出「考点 → 一句话答案要点 → 回读锚点 → 30 秒自述模板」。自述模板是骨架，不是台词——比赛时按它组织语言即可。

第一章 · 引言（4 条）

考点	一句话答案要点	回读锚点	30 秒自述模板
机器人学的科学定义	是「感知与行为之间的智能联系」，与外表无关	1.1	「定义说的是联系，不是形态——所以一台固定底座机械手也是机器人，而一台没有感知闭环的专用机床不是。」
四个子系统	机械 / 执行 / 传感 / 控制，各说一句功能	1.1.3	「机械是身体、执行是肌肉、传感是本体感觉、控制是大脑——四者缺一都不构成闭环。」
五构形对比	笛卡儿 / 圆柱 / 球形 / SCARA / 拟人，按关节序列与工作空间形状区分	1.2.2	「先看三个关节的类型序列，再看轴的平行或相交关系——序列定工作空间形状，轴关系定精度分布。」
建模 / 规划 / 控制	三段式：建模说清运动与力，规划给时间律，控制靠反馈兜住模型误差	1.5	「模型永远不准，所以最后一段必须是反馈闭环——这不是可选项。」

第二章 · 运动学（5 条）

考点	一句话答案要点	回读锚点	30 秒自述模板
旋转矩阵的三条性质	$R^{\mathrm T}R=I$ （ $R^{-1}=R^{\mathrm T}$ ）、 $\det R=+1$ 、9 量 − 6 约束 = 3 参数	2.2	「两个性质各管一件事：正交给出逆变换白送，行列式把镜像筛掉。」
合成规则	右乘当前轴、左乘固定轴；不可交换	2.3	「复述成中文就能判：『在转完的基础上，再绕它的新轴转』——是右乘。」
欧拉角与奇点	ZYZ 奇点 $s_\vartheta=0$ 、RPY 奇点 $c_\vartheta=0$ ；退化时只能定和或差	2.4	「奇点不是公式错，是表示退化——两个角合并成一个，逆解必然跳变。」
DH 四参数	$a_i,\alpha_i$ 恒为常数， $d_i,\vartheta_i$ 恰有一个是关节变量；能自由选取处「让参数尽量为零」	2.8	「每个关节四个数、其中恰一个变——这条账对不上，参数表一定填错了。」
逆解与球腕解耦	四难点（非线性 / 多解 / 可能无解 / 无通用解析法）；球形腕或三轴平行才可解耦	2.12	「先扣掉 $d_6\boldsymbol a_e$ 求腕心解臂，再用 $(R_3^0)^{\mathrm T}R_e$ 解腕——臂支数 × 腕支数 = 总解数。」

第三章 · 微分运动学与静力学（5 条）

考点	一句话答案要点	回读锚点	30 秒自述模板
$\dot R=S(\boldsymbol\omega)R$	由 $RR^{\mathrm T}=I$ 求导 ⇒ $\dot RR^{\mathrm T}$ 反对称 ⇒ 认成 $S(\boldsymbol\omega)$	3.1	「一行求导、一步反对称、一次比对——角速度就是那个反对称阵的三分量。」
逐列构造（绿框）	转动： $J_{P_i}=z_{i-1}\times(\boldsymbol p_e-\boldsymbol p_{i-1})$ 、 $J_{O_i}=z_{i-1}$ ；移动： $J_{P_i}=z_{i-1}$ 、 $J_{O_i}=\boldsymbol 0$	3.1	「 $z_{i-1}$ 从 $T_{i-1}^0$ 的第三列读，不是 $[0,0,1]^{\mathrm T}$ ；其余关节锁死时这一列就是关节 $i$ 的贡献。」
奇点与解耦行列式	$\det J=0$ ；带球腕时 $\det J=\det J_{11}\det J_{22}$ ，只保行列式、不保末端语义	3.3	「奇点是结构的几何属性，换算法换精度都躲不掉；那条解耦只用来做奇点分析，不能拿去做逆解。」
三味药选型	方阵求逆 $J^{-1}$ 、矮胖求伪逆 $J^\dagger=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}$ 、退化加阻尼 $J^*$	3.5	「看 $J$ 的形状定药：方阵、长方、病态三种情形三种工具；阻尼 $K$ 在奇点邻域取大、远处取小。」
静力学对偶	$\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}(\boldsymbol q)F_e$ ，由虚功原理推出；速度变换的转置就是力变换，长方阵也成立	3.8	「功率守恒一句话： $\dot{\boldsymbol q}^{\mathrm T}\boldsymbol\tau=\boldsymbol v_e^{\mathrm T}F_e$ ，代进 $\boldsymbol v_e=J\dot{\boldsymbol q}$ 就出来。」

第四章 · 轨迹规划（4 条）

考点	一句话答案要点	回读锚点	30 秒自述模板
三个概念的分层	路径（纯几何）⊂ 轨迹（+ 时间律）⊂ 运动规划（+ 避障与优化）	4.1	「差别只在『有没有时间』和『管不管障碍』——路径是曲线，轨迹是曲线加时刻表。」
阶次选择	约束数 = 系数个数：三次给 4 个条件，要指定初终加速度必须升到五次	4.2.1	「先数要满足几个条件，再定几次多项式——这是一个纯计数问题。」
梯形速度曲线（重点）	$t_c$ 满足 $\ddot q_ct_c^{2}-\ddot q_ct_ft_c+(q_f-q_i)=0$ ；加速度下界 $\lvert\ddot q_c\rvert\ge\dfrac{4\lvert q_f-q_i\rvert}{t_f^{2}}$	4.2.1	「三段：抛物线加速、直线巡航、抛物线减速；下界取等就是三角形，巡航段消失。」
位置轨迹 = 几何 × 时间	$\dot p_e=\dot s,t$ ；圆弧再加向心项 $\dfrac{\dot s^{2}}{\rho}n$	4.3.2	「几何只回答『往哪走』，时间律只回答『走多快』；两者一乘，加速度自动分成切向与向心两项。」

第五章 · 执行器与传感器（4 条）

考点	一句话答案要点	回读锚点	30 秒自述模板
功率链与工况矛盾	能源 → 功放 → 发动机 → 传动装置 → 关节；关节要「低速大转矩」，发动机最优在「高速低转矩」	5.1、5.1.1	「矛盾是根源，传动装置是解法——它的三重作用是定量、定性、减重解耦。」
电气驱动四方程与两种特性	$V_a=(R_a+sL_a)I_a+V_g$ 、 $V_g=k_v\Omega_m$ 、 $C_m=(sI_m+F_m)\Omega_m+C_l$ 、 $C_m=k_tI_a$ ； $k_t=k_v$	5.2.1	「四式两两相消得统一传函 $\dfrac{k_m}{s(1+sT_m)}$ ；速度控制干扰增益小，所以独立关节不加电流反馈。」
减速比折算	$I_{eq}=I_m+\dfrac{I}{k_r^{2}}$ 、 $F_{eq}=F_m+\dfrac{F}{k_r^{2}}$ 、负载力矩 $\dfrac{C_l}{k_r}$	5.2.3	「惯量摩擦是速度的系数，按平方折；力矩是外力，按一次折——记反了整道题就错。」
位置环 PI 与编码器	积分管稳态、比例管稳定与阻尼（前向通路两个原点极点）；编码器 $2\pi/2^{n}$ ，格雷码相邻只变一位	5.2.4、5.3.1	「PI 的两项不是风格偏好，是被两个原点极点逼出来的；分辨率不等于精度。」

二、三档竞技

三档的规则、计分与自评标准都写在各自的框里，照做即可：不用改题目，只要计时和开口（或落笔）。

第一档 · 快问快答（8 条 · 每题 30 秒）

规则：抽一条 → 计时 30 秒 → 开口讲（录音或讲给同伴）→ 对照答案要点自评。只说不写。 评分：说出结论（1 分）+ 说出一条理由或条件（1 分）+ 说出一个反例或边界（1 分）。满分 3 分，低于 2 分算不过。

#	题目	答案要点（自评用）	回读
1	$R^{-1}$ 等于什么？为什么？	$R^{\mathrm T}$ ；来自正交性 $R^{\mathrm T}R=I$ 。注意：这条只对旋转块成立	2.2
2	连续旋转什么时候右乘、什么时候左乘？	当前轴右乘、固定轴左乘；ZYZ 与角和轴五步序列正好是两种用法的对照	2.3
3	ZYZ 的奇点在哪？退化后剩什么？	$s_\vartheta=0$ ；只剩 $\varphi+\psi$ （ $\vartheta=0$ ）或 $\varphi-\psi$ （ $\vartheta=\pi$ ）	2.4
4	为什么角度反解一律用 $\operatorname{Atan2}$ ？	$\arccos$ 值域只有 $[0,\pi]$ （不唯一），且导数在 $x\to\pm1$ 无界——误差被无限放大	2.4
5	DH 的 $4n$ 个参数里，常数与变量各几个？	每个关节 4 个： $a_i,\alpha_i$ 恒为常数， $d_i,\vartheta_i$ 恰有一个是关节变量	2.8
6	雅可比第 $i$ 列的物理意义？	其余关节全部锁死时，关节 $i$ 的单位速度对末端速度的贡献	3.1
7	末端力怎样映射回关节力矩？	$\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}(\boldsymbol q)F_e$ ；静力平衡式，长方阵也成立	3.8
8	减速比把哪两样东西按什么幂次折算？	惯量与摩擦按 $1/k_r^{2}$ ，负载力矩与非线性按 $1/k_r$	5.2.3

第二档 · 推导现场（7 条 · 每题 3 分钟）

规则：白板或纸上手写推导，不许查资料。写完对照「必须出现的步骤」自评，缺哪一步回正文补。评分：第一行对（1 分）+ 链条完整（2 分）+ 说出前提与失效条件（2 分）。满分 5 分。

#	题目	必须出现的步骤	回读
1	推 $\dot R=S(\boldsymbol\omega)R$	$RR^{\mathrm T}=I$ 求导 → $\dot RR^{\mathrm T}$ 反对称 → 用常模向量与 $\boldsymbol\omega\times\boldsymbol r$ 比对 → 认出 $S=S(\boldsymbol\omega)$	3.1
2	逐列构造绿框	写出 $J_{P_i},J_{O_i}$ 两式 → 说明 $z_{i-1}$ 是 $T_{i-1}^0$ 的第三列 → 说明移动关节角速度行为零	3.1
3	由虚功原理推 $\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}F_e$	$\dot{\boldsymbol q}^{\mathrm T}\boldsymbol\tau=\boldsymbol v_e^{\mathrm T}F_e$ → 代入 $\boldsymbol v_e=J\dot{\boldsymbol q}$ → 对任意 $\dot{\boldsymbol q}$ 取等 → 转置得式	3.8
4	推 ZYZ 逆解三式	先写合成矩阵 → 从第三列取 $\varphi$ 、第三行取 $\psi$ → 用 $\sqrt{r_{13}^2+r_{23}^2}$ 与 $r_{33}$ 定 $\vartheta$ → 指出 $s_\vartheta=0$ 失效	2.4
5	写出 $A_i^{i-1}$ 并解释「第 4 列 = 三参数肉身」	给出 $4\times4$ 完整矩阵 → 说明两步分解（绕 $z_{i-1}+$ 沿 $z_{i-1}$ ，再沿 $x_i+$ 绕 $x_i$ ）→ 指出第 4 列前三行是 $(a_ic_{\vartheta_i},a_is_{\vartheta_i},d_i)$	2.8
6	推梯形速度曲线的 $t_c$ 方程	写三段位置式 → 由中点值与巡航速度联立 → 消去 $\dot q_c$ 得 $\ddot q_ct_c^2-\ddot q_ct_ft_c+(q_f-q_i)=0$ → 由判别式非负得加速度下界	4.2.1
7	说明球腕为什么可解耦，并给出 $\det J$ 的分解	三轴交于一点 ⇒ 腕的转动不改变腕心位置 ⇒ 臂定位、腕定向各自成子问题； $\det J=\det J_{11}\det J_{22}$	3.3

第三档 · 工程判断（7 条 · 每题 1 分钟）

规则：口述「需求 → 约束 → 方案 → 判据」四段。答完自我追问一句：「若指标反向要求，你会改哪一刀？」评分：约束是否被逐条回应（1 分）+ 方案是否具体（1 分）+ 是否给出可测量的判据（1 分）。满分 3 分。

#	题目	及格骨架	回读
1	关节用直驱还是「电机 + 减速器」？	直驱换来无弹性无间隙、精度高，代价是控制复杂度（失去减速后非线性耦合不能忽略）；判据：低速高精度小负载且控制器算力足够才选直驱	5.1.1
2	大负载搬运选电动还是液压？	液压胜在低速大扭矩、功率密度高；代价是渗漏、污染、维护；判据：关节端需求力矩是否超出电机的连续工作区	5.1.2
3	位置环要不要加测速反馈？	加：多一个反馈回路 ⇒ 瞬态抗扰更强、带宽更宽、振荡更少；判据：阶跃响应的超调与调节时间是否达标	5.2.4
4	工业为什么用梯形速度曲线，不用五次多项式？	梯形曲线峰值加速度可控且可验证（加速度分段常值，直接对电机上限）；代价是加速度跳变、能量比最优高 12.5%；判据：电机峰值加速度与谐振频率约束	4.2.1
5	逆解算出 $c_2\notin[-1,1]$ ，怎么办？	这是「给定点在工作空间外」，应报告无解并提示最近可达点；硬套 $\operatorname{Atan2}$ 会给出看似合理却错误的角	2.12
6	奇点附近关节速度发散，换更高级的算法能解决吗？	奇点（轴共线 / 腕点落轴）是结构的几何属性，换算法换精度都躲不掉；可用 DLS 限住幅值（容许末端误差），根治要靠规划绕开或结构上避免	3.3、3.5
7	编码器选型只看轨数（分辨率）够不够？	不够：量化分辨率 $2\pi/2^{n}$ 只是能分辨的最小增量，精度还受安装偏心、码盘工艺、传动回差限制；判据：重复定位精度实测值而非数据手册分辨率	5.3.1

三、三分钟限时挑战

规则：设 3 分钟计时，只看题不看答案，把答案写在纸上（口述容易自我宽容）。时间到停笔，再展开下面的折叠块逐条批改。每题 1 分。

三分钟限时挑战 · 10 问

1. $R^{\mathrm T}R$ 等于什么？

2. $R_z(90^{\circ})$ 的第一列是什么？

3. DH 的 $4n$ 个参数里有几个是关节变量？

4. 两连杆平面臂（杆长 $a_1,a_2$ ）的 $\det J$ 是多少？什么位形下为零？

5. $\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}F_e$ 中 $\boldsymbol\tau$ 是几维向量？

6. 三次多项式能同时指定初终加速度吗？

7. 梯形速度曲线在 $\lvert\ddot q_c\rvert=\dfrac{4\lvert q_f-q_i\rvert}{t_f^{2}}$ 时是什么形状？

8. 12 轨绝对式编码器在电机轴上的角分辨率约是多少度？

9. 声纳测距 $d$ 与回波时间 $t$ 、音速 $v$ 的关系是 $d=vt$ 还是 $d=vt/2$ ？

10. 零空间运动 $P\dot{\boldsymbol q}_0$ 对末端速度的贡献是多少？

答案与批改

1. $I_3$ （正交性 $R^{\mathrm T}R=I$ ；注意 $R^{\mathrm T}$ 是逆不是「近似」）。

2. $(0,1,0)^{\mathrm T}$ 。 $R_z(90^{\circ})=\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ ，第一列即新 $x$ 轴在旧系中的像。

3. $n$ 个（每个关节一个）：转动关节取 $\vartheta_i$ 、移动关节取 $d_i$ ， $a_i,\alpha_i$ 恒为常数。

4. $\det J=a_1a_2s_2$ （只取定位用的有效两行时）； $\vartheta_2=0,\pi$ 时为边界奇点（臂伸直或折回）。

5. $n$ 维（关节力矩向量）； $F_e$ 是 6 维， $J^{\mathrm T}$ 是 $n\times6$ 。

6. 不能。三次只有 4 个系数，容不下初终加速度这 2 个额外条件——必须升到五次（6 个系数对应 6 个条件）。这条就是「约束数 = 系数个数」。

7. 三角形速度曲线：加速段与减速段相接，巡航段消失， $t_c=t_f/2$ 。

8. $\dfrac{360^{\circ}}{2^{12}}=\dfrac{360}{4096}\approx0.0879^{\circ}$ （约 $1.53\times10^{-3}$ rad）。

9. $d=vt/2$ ——回波走的是往返双程；再乘温度修正 $v\approx331.4+0.6T$ 。

10. 恒为零。 $JP\dot{\boldsymbol q}_0=\boldsymbol 0$ ，所以它叫「不惊动末端」的内部运动，只能用来再配置（避障、躲关节极限、远离奇异）。

计分与段位

得分	段位	含义与下一步
10	👑 王者	概念已成条件反射：直接进考场冲刺卷练整卷节奏
8–9	💠 钻石	稳；把错的那条按「回读锚点」补一遍，再重刷挑战
6–7	🥇 黄金	骨架有了，但细节会漏——去第一档快问快答把 8 条讲一遍
3–5	🥈 白银	概念还散着：先做易错点总表的 30 道判断题，再回来
0–2	🥉 青铜	回公式速查卡的「最小必背集」十七条，逐条默写

四、练完去哪

想练整卷、限时、按点给分：进考场冲刺 · 综合自测卷（100 分制，含评分标准与漏点定位表）。
想练闭卷检索：易错点总表的 30 道判断题 + 公式速查卡的遮右栏默写。
某一档整档不过：点「回读锚点」回到对应小节，把该节末尾的常见错误清单逐条认领，再重刷该档。
诊断页还没做过：先回入学诊断确认先修无缺口——先修有洞时刷题只会加固错误。

最后一句：竞技场训练的是表达的确定性——把「我知道一点」变成「我能一口报出结论、能在白板上推完、能在约束下给出判据」。这一页每道题的答案都写在正文里；讲不出来，说明那里还没真懂，回去补，而不是背题。

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