$AB\in\mathbb{R}^{3\times2}$（内维 $4$ 对上）；$A^{\mathrm T}\in\mathbb{R}^{4\times3}$ 要乘 $B$ 需内维 $3=4$——不成立，不能算。

诊断含义：错这题说明还没有「先对形状、再动手」的习惯。齐次变换连乘（2.7）与雅可比的行列分工（3.1）全靠形状先行，这是必须补的第一课。

两行模长各为 $1$、内积 $(-1+1)/2=0$，故 $Q^{\mathrm T}Q=I_2$，正交；$\det Q=\frac12\bigl(1-(-1)\bigr)=1$，故 $Q\in SO(2)$（它是绕原点转 $-45^{\circ}$ 的平面旋转）。

诊断含义：旋转矩阵的两条性质「正交 + $\det=+1$」必须成为条件反射。只记得「转置等于逆」而忘了行列式，就回 2.2 重读「两个符号各有归属」一段。

$\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}+1=0\Rightarrow\lambda_{1,2}=\pm\mathrm i$（一对共轭纯虚根）。$A$ 就是 2 维版的 $R_z(90^{\circ})$。

诊断含义：实旋转矩阵的复特征值总是成对共轭、模为 1，因此除 $\vartheta=0,\pi$ 外没有实特征向量（没有一条实轴被保持方向）。这条直觉是「为什么求 $R$ 的逆要绕一圈走角和轴 / 四元数」的入口（2.5、2.6）。想不到这一点，线代需要补一轮。

$\nabla f=2\boldsymbol x$。逐分量看最清楚：$f=\sum_ix_i^{2}$，故 $\partial f/\partial x_i=2x_i$。

诊断含义：这个结果会在三处反复出现——速度合成里对位置求导、伪逆的最小范数解、零空间项 $k_0(\partial g/\partial\boldsymbol q)^{\mathrm T}$ 的构造（3.4）。梯度指向 $f$ 增长最快的方向，其模长是该方向的方向导数。

$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+O(x^{3}),\qquad \cos\epsilon\approx1-\frac{\epsilon^{2}}{2}\approx1,\qquad \sin\epsilon\approx\epsilon.$$

诊断含义：这就是「微小旋转在忽略二阶效应时像向量一样可加」的代数根源——$R_k(\mathrm d\vartheta)=I+S_k\,\mathrm d\vartheta+O(\mathrm d\vartheta^{2})$，两个一阶项相加可交换。微分运动学整章都建立在这条近似上（2.3.2、3.1）。

$y(t)=ku\bigl(1-e^{-t/T}\bigr)$，故 $y_\infty=ku$，时间常数就是 $T$（经 $T$ 达终值的 $63.2\%$，经 $3T$ 达 $95\%$）。

诊断含义：放大器的一阶惯性 $\dfrac{V_a}{V_c}=\dfrac{G_v}{1+sT_v}$ 与直流的机械时间常数 $T_m=\dfrac{R_aI_m}{k_vk_t}$ 是同一条曲线。这题会做，5.2.1 的四个方程就只是代数整理。

$\boldsymbol p=R\boldsymbol p'+\boldsymbol o'$。$R\boldsymbol p'$ 就是 $R$ 的第一列 $=(0,1,0)^{\mathrm T}$，故 $\boldsymbol p=(2,2,0)^{\mathrm T}$。

诊断含义：这是齐次变换的作用规则（先转、再加平移），也是「$R$ 的第 $j$ 列 = 系 $j$ 的 $x_j$ 轴在参考系中的方向余弦」的活用（2.7）。

绕当前（动系）轴转用右乘：$R=R_z(90^{\circ})R_y(90^{\circ})=\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}$。（自查：三列两两正交、模长各 $1$、$\det R=+1$。）

诊断含义：口诀「右乘当前轴、左乘固定轴」是第二章的母规则——ZYZ、RPY、DH 的 $A_i$ 连乘、角和轴的五步序列都是它的换装登场。记反了，第二章后面每道题都会错（2.3）。

$I_3$ 是（$\det=+1$）；$-I_3$ 的 $\det=-1$，是中心反演（镜像），不属于 $SO(3)$。「转 $180^{\circ}$」的公式是 $R(\pi,\boldsymbol r)=2\boldsymbol r\boldsymbol r^{\mathrm T}-I_3$，它需要一条实轴 $\boldsymbol r$ 被映到自己；$-I_3$ 把每个向量都反向，没有这样的轴。

诊断含义：$\det R=+1$ 不是装饰性约定，它承担「排除镜像」的筛选功能。凡由「三个正交向量」拼出的矩阵，都要查这一个数（2.2、2.5）。

(a) 力臂等于力的作用线到铰点的垂直距离 $L$，故 $M=FL=0.5\times20=10\ \mathrm{N\cdot m}$。(b) 力臂为零（力线穿过铰点），故 $M=0$。

诊断含义：这就是雅可比移动行 $J_{P_i}=z_{i-1}\times(\boldsymbol p_e-\boldsymbol p_{i-1})$ 的物理原型——叉乘里那个矢径就是力臂。理解力臂才能理解「为什么某些位形下关节再怎么出力也推不动末端」（3.1、3.8）。

$\boldsymbol v=\boldsymbol\omega\times\boldsymbol p=(0,0,4)\times(0.3,0,0)=(0,\ 1.2,\ 0)\ \mathrm{m/s}$。

诊断含义：$\boldsymbol v=\boldsymbol\omega\times\boldsymbol p$ 是 $\dot R=S(\boldsymbol\omega)R$ 的几何图像，也是雅可比角速度行 $J_{O_i}=z_{i-1}$ 的来历。手算叉乘不过关，第三章的逐列构造就会退化成抄公式（3.1）。

(a) 平面刚体 $3$ 个（两平移 + 一转动），空间刚体 $6$ 个（三平移 + 三转动）。(b) 不能。两个转动关节只有 $2$ 个自由度，末端落在二维平面内的一维曲线上，覆盖不了区域。

诊断含义：这条区分了「关节空间维数」与「任务维数」——只有 $n$ 与任务实际维数 $r$ 的关系才对得上号，$n>r$ 即冗余（2.10）。它也是「可达工作空间 ≠ 灵活工作空间」的第一课（1.2）。

A @ B → (3, 2)（矩阵乘）。A * B 是逐元素乘，需要广播：(3,4) 与 (4,2) 无法对齐，抛 ValueError（broadcast 失败）。

诊断含义：@ 与 * 的差别是本书数值实验里最常见的错误。形状刚好兼容时矩阵乘错了不会报错，只会静默给出错误结果——比报错更危险。

import numpy as np
def Rz(t):
    c, s = np.cos(t), np.sin(t)
    return np.array([[c, -s, 0.0],
                     [s,  c, 0.0],
                     [0.0, 0.0, 1.0]])

诊断含义：注意写 0.0 而不是 0——否则整张矩阵的 dtype 会被隐式转换，后续精度判断容易出意外。这题写不出，各章习题集的「数值验证」类题目（第二章 C1）都要先补 Python 基础。

ok = np.allclose(R @ R.T, np.eye(3), atol=1e-10) and abs(np.linalg.det(R) - 1.0) < 1e-10

容差取 $10^{-10}$ 量级：双精度下几十步乘加的累积误差在 $10^{-15}$ 量级，留五个数量级余量既能容下正常误差、又能挡住离谱的矩阵。不要用 == 比较浮点。

诊断含义：本书的验算习惯是「每个解析解回代正运动学，每个 $R$ 查 $R^{\mathrm T}R=I$、$\det R=1$」。不会写这个自检，等于放弃对自己结果的第一次把关（2.2）。

$$\left.\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\right|_{x_0}\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h},$$ 截断误差 $O(h^{2})$；前向差分 $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 只是 $O(h)$——中心差分把一阶误差项对消掉了。

诊断含义：这是「用中心差分校验任何一个亲手推导的雅可比」的工具（3.1 小结、第三章 C1）。$h$ 不能太小（会被舍入误差吃掉），工程上取 $10^{-6}$ 数量级。

排布：分成上下两个子图、共享横轴（位置一张、速度一张）——两者单位不同（rad 与 rad/s），量级常差一个数量级以上。两个常见错：① 画在同一纵轴上，小量被压成直线；② 不标单位、不加图例，看过一遍等于没看。

诊断含义：教材图 4.1（三次多项式）与图 4.3（梯形速度曲线）都是「位置 + 速度」双图。判断一条轨迹是否满足约束、加速度在哪跳跃，全靠这张图（4.2.1）。