(a) 行 $\leftrightarrow$ 操作空间速度的六个分量（$v_x,v_y,v_z,\omega_x,\omega_y,\omega_z$，前 3 行 $J_P$ 线速度、后 3 行 $J_O$ 角速度）；列 $\leftrightarrow$ 关节（第 $i$ 列 = 关节 $i$ 的单位速度作用）（录播 0:21:46）。(b) 其余关节全部锁死、只以单位速度驱动关节 $i$ 时，末端产生的六维速度——$v_e=J\dot q$ 展开后 $J_i\dot q_i$ 即该项贡献（1:00:52）。(c) $J$ 的每一列由 $z_{i-1},p_{i-1},p_e$ 组成，这些量全从 $T_i^0(q)$ 读取——$q$ 变则 $J$ 变（定义 3.1.1）。

$J$ 的情形	工具	使用条件与解的性质
方阵、满秩（$n=r$，无奇异）	$J^{-1}$	$\dot q=J^{-1}v_e$ 唯一解；配数值积分（定义 3.5.1 前的 3.5.0）
长方、行满秩（$r<n$，冗余）	$J^\dagger=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}$	解最小范数（$W=I$）；加零空间项 $(I-J^\dagger J)\dot q_0$ 做内部运动（定义 3.5.1）
退化 / 邻域（奇异）	$J^*=W^{-1}J^{\mathrm T}(JW^{-1}J^{\mathrm T}+K^{-1})^{-1}$	容许末端速度误差 $\delta$；$K$ 大治奇点、$K\to0$ 退回伪逆（定义 3.5.2）

一句话：方阵求逆、矮胖求伪逆、退化加阻尼。

(a) 相同——$\dot p_e$ 对 $q$ 直接求偏导与几何法逐列给出的 $J_P$ 一致（定义 3.6.1）。(b) 后三行描述的是同一个角速度在不同基下的读数：$J$ 用基系正交轴（$\omega$ 分量有物理意义），$J_A$ 用欧拉角三根非正交瞬时轴（$\dot\varphi$）——二者差一个换基 $T$（定理 3.6.A）。(c) $T_A=\operatorname{diag}\{I_3,T(\varphi)\}$，左上 $I_3$、右下 $T(\varphi)$（ZYZ 显式见 3.6.2）；$s_\vartheta=0$（$\vartheta=0,\pi$）时 $T$ 奇异 ⇒ $J_A$ 退化，与 ZYZ 表示歧义同源。

(a) $F_e=[f_e;\mu_e]$：3 个平动力 + 3 个转动力矩；$\tau$ 为 $n$ 个关节力矩（移动关节为力）（定义 3.8.1）。(b) 功率守恒：$\dot q^{\mathrm T}\tau=v_e^{\mathrm T}F_e=(J\dot q)^{\mathrm T}F_e$ 对任意 $\dot q$ 成立 ⇒ $\tau=J^{\mathrm T}F_e$——速度变换的转置就是力变换（对偶），无需方阵、无需满秩（定义 3.8.1 证明框）。(c) 成立——与 $J$ 的形状无关。

对任意向量 $p$，用旋转不改变模长与夹角（或直接展开 $S$ 与 $R$ 的元素）验证 $R(\omega\times(R^{\mathrm T}p))=R\omega\times p$… 更简的路线：$\forall p$，

$$RS(\omega)R^{\mathrm T}p=R\,(\omega\times R^{\mathrm T}p)=R\omega\times p=S(R\omega)p,$$

最后一步用了「旋转与叉乘可交换」：$R(a\times b)=Ra\times Rb$（在 $R$ 的行列式为 $+1$ 时成立）。对任意 $p$ 成立即得 (3.11)。用处：$\dot R_i=S(\omega_i)R_i$ 的递推里把 $R_{i-1}S(\omega_{i-1,i}^{i-1})R_i^{i-1}$ 化为 $S(R_{i-1}\omega_{i-1,i}^{i-1})R_i$，三个算子便能对同一矩阵比较（3.1.2(d)）。

记 $P=a_2c_2+a_3c_{23}$、$Q=a_2s_2+a_3s_{23}$、$R=a_3s_{23}$、$S=a_3c_{23}$，则

$$J_P=\begin{bmatrix}-s_1P&-c_1Q&-c_1R\\ c_1P&-s_1Q&-s_1R\\ 0&P&S\end{bmatrix}.$$

按第三行展开（第一项系数为零）：

$$\det J_P=-P\begin{vmatrix}-s_1P&-c_1R\\ c_1P&-s_1R\end{vmatrix}+S\begin{vmatrix}-s_1P&-c_1Q\\ c_1P&-s_1Q\end{vmatrix} =-P\,(PR)+S\,(PQ)=P\,(SQ-PR)$$

（两个二阶行列式分别用了 $s_1^2+c_1^2=1$）。再算

$$SQ-PR=(a_2s_2+a_3s_{23})(a_3c_{23})-(a_2c_2+a_3c_{23})(a_3s_{23})=a_2a_3(s_2c_{23}-c_2s_{23})=-a_2a_3\,s_3 .$$

故

$$\det J_P=-a_2a_3\,s_3\,(a_2c_2+a_3c_{23}).$$

两个因子：$s_3=0$（$\vartheta_3=0,\pi$）为肘奇点——臂伸直 / 折回，与两连杆平面臂 例 3.2 概念等价；$a_2c_2+a_3c_{23}=0$ 为肩奇点——腕点坐标 $p_x=p_y=0$（落在 $z_0$ 轴上），$J_P$ 第一列恒为零（定理 3.3.A 后）。与第一个关节变量无关（$\vartheta_1$ 被消去，教材原文即指出）。

(a) $J$ 不满秩 ⇔ 各列（关节轴方向与其矩的叉乘）线性相关；参考点选取只改变每列的表示（$p_e-p_{i-1}$ 换成 $p_w-p_{i-1}$），不改变「轴的共线 / 平行关系」这一结构事实（1:32:40）。(b) $\det J=\det J_{11}\det J_{22}$，其中 $J_{12}=0$（因 $p_w-p_i \parallel z_i$，$i=3,4,5$，叉乘为零）。(c) 不能——参考点已不是末端，该矩阵不再表示「关节速度 → 末端速度」的映射；它只用于奇点分析（教材 §3.3.1 原文同样强调）。

$J(\dot q^*+P\dot q_0)=v_e+JNN^{\mathrm T}\dot q_0=v_e+0=v_e$——用了 $JN=0$（定理 3.4.B）。两者都是到 $\mathcal N(J)$ 的投影：$I-J^\dagger J$ 是伪逆诱导的正交投影（$W=I$ 时按欧氏内积正交），$NN^{\mathrm T}$ 是给定基 $N$ 的（非正交）投影；当 $N$ 的列标准正交时两者一致。作用相同：不惊动末端的内部运动。

(a) $k\to0$ 得 $J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}=J^\dagger$（右伪逆）——3.5.2 的「远离奇点取小、甚至趋 0」。(b) 对 $JJ^{\mathrm T}$ 做特征分解，特征值 $\sigma_i^2$，则 $J^*$ 的第 $i$ 个奇异方向增益为 $\sigma_i/(\sigma_i^2+k^2)\le 1/(2k)$——有界：$\sigma_i\to0$ 时增益不再发散（$\sigma_i/k^2$ 与 $k$ 同阶），这就是「容许误差换关节速度有界」；代价是末端速度有小偏差 $\delta$（教材 §3.5.2）。

$$\begin{bmatrix}\dot p_1^0\\ \omega_1^0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&-RS(\tilde p)\\ 0&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\ \omega_1\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}f_1^0\\ \mu_1^0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&0\\ RS(\tilde p)&R\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_1\\ \mu_1\end{bmatrix}$$

理由：虚功率不变（$\dot q^{\mathrm T}\tau$ 的对偶推广）——两坐标系里算出的功率必须相等：$(v^0)^{\mathrm T}f^0=v^{\mathrm T}f$ 对任意 $v$ 成立 ⇒ $f^0=(J_v)^{\mathrm T}f$，即力变换矩阵 = 速度变换矩阵的转置（教材式 3.113–3.115 的 $v_2^2=J_2^1v_1^1\Rightarrow\gamma_1^1=(J_2^1)^{\mathrm T}\gamma_2^2$）。

数值列 $i$：$J_P[:,i]\approx\frac{p_e(q+\epsilon e_i)-p_e(q-\epsilon e_i)}{2\epsilon}$，误差 $O(\epsilon^2)$；与解析式比对，最大绝对误差 $<10^{-7}$（$\epsilon=10^{-6}$ 时）。三连杆平面臂取 $q=(0.3,-0.7,1.1)$、$a=(1,0.8,0.6)$，本编脚本实测线速度部分偏差 $1.6\times10^{-10}$（$\epsilon=10^{-6}$ 的中心差分理论误差量级）。注意角速度行不能用位置差分得到——需用 $S=\dot RR^{\mathrm T}$ 的差分 $\dot R\approx(R(q+\epsilon e_i)-R(q-\epsilon e_i))/2\epsilon$ 提取（tools/verify_ch03_jac.py 即此法）。

(a) 见 3.2.1。(b) 记第 $j$ 列为 $C_j$，按第三行（全 $1$）展开：$\det\bar J=M_{31}+M_{32}+M_{33}$（$M_{3j}$ 为对应代数余子式），代入并整理（$s_1c_1$、$s_{123}c_{123}$ 型项逐一抵消）得

$$\det\bar J=a_1a_2\,s_2 .$$

与两连杆平面臂（例 3.2）同构：末行 $[1,1,1]$ 把三根杆的「臂展常数」压成同一个 $s_2$ 因子。(c) 奇点 $s_2=0$（$\vartheta_2=0,\pi$）——与 $\vartheta_1,\vartheta_3$ 无关，仍是边界型（臂伸直 / 折回）；差异在于三连杆多一个「臂展分层」自由度，$\vartheta_3$ 可把末端放回同一半径，因此部分可达边界不再同时是奇异边界（工作空间是二维区域而非环带），但 $\vartheta_2=0,\pi$ 本身仍是不可逆位形。

(a) $J_3=\begin{bmatrix}z_2\\ 0\end{bmatrix}$（$z_2=R_2^0$ 第三列 $=[c_1s_2,s_1s_2,c_2]^{\mathrm T}$）。(b) 关节 3 是移动关节——只产生沿轴的平移、不产生角速度（$J_{O_3}=0$）（定理 3.1.C）。(c) 取 $\dot q=[0,0,\dot d_3,0,0,0]^{\mathrm T}$，末端线速度 $=z_2\dot d_3$（纯沿伸缩轴）；若方向不符，用 $J^{-1}$/伪逆解 $\dot q$——斯坦福满秩时直接逆。

四轴全平行（$\alpha_i=0$）⇒ $z_0=z_1=z_2=z_3=[0,0,1]^{\mathrm T}$；$p_0=p_1=[0,0,0]^{\mathrm T}$、$p_2=[a_1c_1,\ a_1s_1,\ 0]^{\mathrm T}$、$p_3=p_2+[a_2c_{12},a_2s_{12},0]^{\mathrm T}$、$p_4$ 同 $p_3$（$d_3$ 沿 $z_3$ 平移同一 $z$ 坐标）。逐列：

$$J=\begin{bmatrix} -[a_1s_1+a_2s_{12}] & -a_2s_{12} & 0 & 0\\ a_1c_1+a_2c_{12} & a_2c_{12} & 0 & 0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&1&0&1 \end{bmatrix}$$

第 4、5 行恒为零（末端绕 $x,y$ 转动自由度根本不存在）；秩 $\le\min(6,4)$，实际最大 4（前三行 $2\times2$ 块 $\det=a_1a_2s_2$ + 第三、六行）。完整推导与奇点分析见作业三。

$J_P$（前两行）：$\det J_P=a_1a_2s_2=0.25s_2$，$w=|\det J_P|=0.25|\sin\vartheta_2|$：$90°$ 时 $0.2500$、$30°$ 时 $0.1250$、$5°$ 时 $0.0218$、$0.1°$ 时 $4.36\times10^{-4}$——趋于 0 的速度与 $\vartheta_2$ 同阶，正是 3.5.1 用 $\max w$ 远离奇异的依据；也说明奇点邻域「$\det J$ 小、$J^{-1}$ 大」的放大机制（2:11:18）。

增益 $g(\sigma)=\sigma/(\sigma^2+k^2)$，$g'=0\Rightarrow\sigma=k$，峰值 $g_{\max}=1/(2k)$。$k=0.1$ 时峰值 $5$（在 $\sigma=0.1$）；$k=0.5$ 时峰值 $1$（在 $\sigma=0.5$）。伪逆增益 $1/\sigma$ 在 $0^+$ 无界。曲线族说明：$k$ 是「增益上限」的旋钮——$1/(2k)$ 即 $J^*$ 各方向增益的界；$k\to0$ 全曲线回到 $1/\sigma$。

• 结构性：球腕 $s_5=0$（内部）、肘 $s_3=0$、肩「腕点落轴」——串联 6 轴无法消除，只能避开（规划 / 变速度 / 自动规避）；
• 可消除：7 轴冗余臂用零空间项 $\dot q_0$（定理 3.4.B）在临奇位形前自运动到更灵巧的姿态，或直接解可操作度优化问题（3.5.1）；
• 关键判据：看 $w(q)=\sqrt{\det(JJ^{\mathrm T})}$ 是否趋 0；预期结论：「边界奇点廉价可避、内部奇点必须主动管理」。

• $J^{\mathrm T}$ 把末端期望广义力映射为关节力矩（3.8）——力的「逆运动学」；
• $\Delta x$ 项提供柔顺（类似 3.7.1 的误差反馈，但作用于力环）；
• 奇点处 $J^{\mathrm T}$ 降秩：某些方向的力无法输出（$J^{\mathrm T}$ 的值域 = 关节能产生的力矩空间），与 3.4 零空间的「力版本」对偶；
• 结论：力控制设计必须与前几节的雅可比分析联动。

用 $p_3(q)=[c_1(a_2c_2+a_3c_{23}),\ s_1(a_2c_2+a_3c_{23}),\ a_2s_2+a_3s_{23}]$（教材 p.115 给出）做中心差分，与 $\bar J$ 全元素比对；本编实测最大偏差 $2.0\times10^{-10}$（中心差分误差量级；若换用符号工具可到 $10^{-16}$）。方法学要点：任何「三行两块」型公式都应做全元素（非抽样）验证。

• 验收：末端轨迹与期望直线偏差 $<10^{-3}$（$\Delta t=1$ ms、欧拉积分）；障碍距离随 $\dot q_0$ 激活而上升；
• 原因：$P=I-J^\dagger J$ 的列在 $\mathcal N(J)$ 内，$JP\dot q_0=0$——3.5.1 与 定理 3.4.B 已证；
• 陷阱：$\dot q_0$ 太大会把关节速度推高（总速度 = 特解 + 内运动），实际要限幅 / 加权（$W\neq I$）。