5.3.1 位置传感器

本节兑现上一节的第一个基本反馈量：位置。器件清单不长，但要分清三件事——电位计这类最直观的接触式器件为什么退居教学图纸；编码器为什么分成绝对式与增量式两族，各自的「坑」在哪（格雷码、判向、圈数与掉电）；以及旋转变压器为什么在精度与鲁棒性上是另一条路线。顺路回答三个工程问题：12 轨的编码器够不够、减速之后谁去记圈数、增量式为什么必须回到零位。录播 01:48:03–01:57:55。

5.3.1.1 位置传感器的定义与器件清单

定义 5.3.2 · 位置传感器 position transducers

位置传感器的作用，是提供与机械设备相对给定参考位置的线位移或角位移成比例的电信号。它们主要用于机器工具（机床）控制，因而应用范围宽广（教材 §5.3.1）。

按测量对象分两张清单：

测什么	可用器件
线位移	电位计、线性差动变换器（linear variable-differential transformer, LVDT）、感应同步器（inductosyn）
角位移	电位计、编码器（encoder）、旋转变压器（resolver）、同步器（synchro）

机器人上更常用角位移传感器，原因是伺服的发动机是旋转型的——注意这条对移动关节（棱柱关节）也成立：即使关节本身做平动，上游的伺服发动机仍然输出转角。从精确性、鲁棒性和可靠性的角度，最常用的两类是编码器与旋转变压器，它们的工作原理是本节的主体；线位移传感器（LVDT 与感应同步器）则主要在测量机器人中使用。

课堂幻灯片 · 01:46:58：5.3.1 位置传感器——器件清单与四张原理图：电位计测位移 / 感应同步器测位移 / 线性差动变压器测位移，以及电位计测角度与感应同步器测角度

先说被教材一笔带过的电位计，因为课件上给了它两张原理图。 电位计（potentiometer）的做法最直观：把一段电阻体两端分别接到电源电压 $V$ 与地，滑动触点（电刷） 在电阻体上移动，把总电阻分成 $R_1$ 、 $R_2$ 两段，输出就是触点到某一端的那段分压——触点越靠近 $V$ 端（课件标注 Maximum R），输出越大；越靠近接地端（Minimum R），输出越小。测角度的版本把这根电阻体弯成一段圆弧（课件右下：阻力片 + 滑动触点 + 输出电压），电刷随轴一起转。

电位计的两条工程短处（本教程按课件原理图补注）

教材只把电位计列进器件清单、没有展开。按上面的分压原理图，它的短处是自明的：

线性度：分压关系 $V_{\text{out}}/V$ 只在「电阻体均匀、输出端不取电流」的理想条件下严格正比于位移；绕组 / 膜层的均匀性、负载效应都会让它变成近似线性，教材因此把它与「精确性」要求高的场合分开。
噪声与磨损：滑动触点是接触式的，摩擦、磨损、接触电阻的跳动都会直接叠加到输出上，而且这类器件寿命有限、长期使用后阻值还会变化。

这也解释了为什么教材把「精确性、鲁棒性和可靠性」最好的一档让给编码器与旋转变压器：它们都不靠接触传递信息。（本节后文只按教材与课件展开这两类。）

5.3.1.2 绝对式编码器：码盘、分辨率与格雷码

定义 5.3.3 · 编码器 encoder

编码器有两种类型：绝对式（absolute）与增量式（incremental）。绝对式编码器的构造是：

一个布有同心圆（轨道） 的光学玻璃盘；
每一条轨道都有交替出现的、通过金属薄膜沉积得到的透明扇区与不光滑扇区序列；
光束相应于每一条轨道发出，被位于光盘背面的光电二极管或光电晶体管截取（课件图注：LED 对 photo sensor）；
通过对透光区与不光滑扇区的适当安排，可以把有限数量的角位置转换为相应的数字数据；
轨道的数目决定信息的长度（字长），从而决定编码器的分辨率。

光学编码器把信号处理电子装置做在盒子里，直接提供数字位置测量，与控制计算机通过接口相连。

课堂幻灯片 · 01:48:35：5.3.1 位置传感器——绝对式编码器：光学码盘（Code wheel, 4 bits）、光电读码（LED / photo sensor）与并行转串行输出

一圈能分辨多细？ 分辨率完全由轨道数（位数）决定： $n$ 条轨道给出 $2^n$ 个角位置。关节控制需要的典型分辨率先由老师算了一遍——12 条轨道。

例 5.3.A · 12 轨编码器的角分辨率与齿轮减速后的换算

题 1：某关节用 12 轨绝对式编码器，一圈能分辨多少个角位置？每格对应多少度？

题 2：若关节与发动机之间有一个减速比为 $k_r$ 的减速器，编码器装在发动机侧，关节侧的分辨率是多少？

题 3：此时为什么还要另配一套装置去记「圈数」？

解：

$2^{12}=4096$ 个角位置，即分辨率为每圈 1/4096，每格对应 $360^{\circ}/4096\approx0.0879^{\circ}$ 。老师 01:52:00 的原话：「相当于把 360 度分成 4096（份），它的分辨率每个度数就是 4096 分之 360。」——对关节控制而言，教材给出「最少 12 个轨道」这个量级。
减速器做的是定量变换（定义 5.1.3）：关节侧转一圈，发动机侧要转 $k_r$ 圈（「在关节处的一圈相应于发动机处的几圈」）。编码器在发动机侧数它的 4096 格，折算到关节侧就是 $360^{\circ}/(4096\,k_r)$ ——关节侧的等效分辨率被减速比放大了 $k_r$ 倍。
因为 12 轨的绝对式编码器只在一圈之内给出唯一读数（「这种编码器在一圈内就能提供准确的测量」）；跨圈之后码字重复，单靠码盘分不出转到第几圈。所以需要「一个简单的电子装置来计数并存储实际的圈数」：每次经过零位就把圈数加 1（反方向则减 1），而「加还是减」要由转向决定（老师 01:52:44–01:52:57）。

为什么不用普通二进制码？ 这就引出了本节第一个「考试型」结论——码盘上的码制不能随手选。

定理 5.3.B · 格雷码：一次只变一位

（一）问题：同时发生多重转换。 若码盘按普通二进制编码，从一个扇区转到另一个扇区时可能同时有多个位发生翻转：老师举的例子是从 $0001$ 到 $0010$ （1 变 2），「其实是两位变」。光电元件与码道的安装不可能绝对对齐，多位同时翻转的那一瞬间，读出的码字既不是起点也不是终点，于是产生不准确的测量。

（二）对策：格雷码。 实际中不采用二进制编码，改用格雷码（Gray code）：它的性质是相邻两个码字只相差一位——「每一个（码字）到下一个……相连的都是变化一位」。因此每次转换仅发生一次对比的变化，多位同时翻转引起的测量不确定性被消除（教材 §5.3.1、课件 01:51:43 页）。

（三）规模：4 轨分辨 16 个角位置。 教材以 4 条轨道为例给出示意与码表（表 5.1， $2^4=16$ ）。

表 5.1 格雷码的码表（教材表 5.1）

#	编码	#	编码
0	0000	8	1100
1	0001	9	1101
2	0011	10	1111
3	0010	11	1110
4	0110	12	1010
5	0111	13	1011
6	0101	14	1001
7	0100	15	1000

盯住表里的相邻两行：从 7 到 8 是 $0100\to1100$ ，从 15 绕回 0 是 $1000\to0000$ ——永远只翻一位。这就是「格雷码不按大小顺序，但按圈顺序」的全部秘密（老师 01:51:13：「它就不（像）普通的二进制编码对应了」）。

5.3.1.3 增量式编码器：计数、判向与置零

绝对式给出「我在哪」，增量式只给出「我动了多少」。 教材的判断很明确：增量式编码器结构简单、价格低廉，因此使用范围比绝对式编码器更广泛。它的构造与绝对式相似——也是一个光学盘，但只有两条轨道：两条轨道上透明扇区与不光滑扇区的数目相等，且两路信号相互正交（相位相差 90° 电角度）。这两条轨道除了给出与角旋转相关联的转换（脉冲）数目，还额外地提供了旋转方向（符号）。

第三条轨道：机械零位。 通常还会引入第三条轨道，上面只有一个不光滑扇区，它允许定义一个绝对的机械零，作为角位置的参考（教材 §5.3.1、图 5.13）。

课堂幻灯片 · 01:53:40：5.3.1 位置传感器——增量式编码器：码盘 + 双轨 A/B 相差 90°（判向）+ Z 相零位，下图是顺时针与逆时针两种转向下 A/B/Z 三路脉冲的先后关系

判向靠「谁先来」。 老师把 A/B 两路的分工讲得很干脆（01:53:40–01:54:21）：

A 先升沿 ⇒ 顺时针（clockwise）；B 先升沿 ⇒ 逆时针（counter-clockwise）——「每次都是 A 先升（沿），然后 B 在这个（后面），它就是 clockwise」；反过来「每次都是 B 先于 A……它就是 counter-clockwise」。所以「这（两路）主要是为了进行方向的判断」，具体由后续的逻辑 / 算法完成。

Z 相负责「转了几圈」。 第三条轨道的作用是记圈数：「每次经过（零位）就加一圈或者是减一圈」，同样要配合 A、B 判断方向（老师 01:54:24–01:54:36）。

增量式的结构性弱点：绝对位置必须被「赋值」，而它是易失的。 在关节执行系统中使用增量式编码器，显然需要对绝对位置赋值——用合适的计数与电子存储电路来实现（上电后先回零位、再从零位累加，就是这一赋值过程的具体做法）。教材特意提醒：位置信息保存在非永久性（易失）存储器上，因此作用在电路上的扰动、或者电源电压的波动，都可能使位置信息出现错误。这一缺陷在绝对式编码器上不存在，因为角位置信息直接编码在码盘上——掉电重上电，它仍然知道自己在哪里。

顺带一条通向下一节的线索：编码器盒子里的电子装置直接给出数字位置；若使用外接电路，速度测量可以从位置测量重建——每次转换产生一个脉冲时，有三条可能的途径（见 §5.3.2）。处理器件里最常用的就是编码器本身：老师说「编码器其实是最常用的」（01:56:15–01:56:18）。

5.3.1.4 旋转变压器与线性位移传感器

注 5.3.1 · 另两类器件：旋转变压器与线性位移传感器

旋转变压器（resolver）是一种结构紧凑且具有鲁棒性的机电位置传感器。它的工作原理基于两个电子电路之间的相互感应，容许没有机械限制的角位置的连续传送（可以一直转下去，没有机械限位）。角位置的信息与两个正弦电压的幅值相关联，经适当的轴角—数字转换器（resolver-to-digital converter, RDC）处理后，获得与位置测量相对应的数字信息。

线性位移一侧：线性差动变换器（LVDT，课件图注为 AC 激磁 + 一次绕组 + 可动铁芯 + 两个二次绕组，输出随铁芯位移变化）与感应同步器（inductosyn，尺面上印制绕组、随位移输出相位 / 幅值变化的信号）——「线性位移传感器（LVDT 和感应同步器）主要在测量机器人中使用」。此外，教材把同步器（synchro）与旋转变压器并列，作为可测角位移的器件（教材未展开其原理）。

旋转变压器的结构：一台「小电动机」。 从结构上看，它是一个带转子和定子的小型电动机：感应（激磁）线圈在转子上，而定子上有两个相互成 90° 电角度的线圈。给转子输入一个正弦电压 $V\sin\omega t$ （典型频率范围 0.4 kHz～10 kHz），定子线圈上就会产生电压，其幅值取决于旋转角 $\theta$ （两路分别正比于 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ ）。这就是「角位置信息藏在两个正弦电压的幅值里」的含义。

$课堂幻灯片 · 01:56:23：5.3.1 位置传感器——旋转变压器：转子激磁 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t</annotation></semantics></math>Vsinωt 与定子两路 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t\cos\theta</annotation></semantics></math>Vsinωtcosθ、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t\sin\theta</annotation></semantics></math>Vsinωtsinθ；跟踪型 RDC 电路方案（数字乘法器 → 代数求和 → 放大 → 同步探测器 → 补偿器 → 积分 → VCO → 正反向计数器）$ $课堂幻灯片 · 01:56:23：5.3.1 位置传感器——旋转变压器：转子激磁 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t</annotation></semantics></math>Vsinωt 与定子两路 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t\cos\theta</annotation></semantics></math>Vsinωtcosθ、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>V</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">V\sin\omega t\sin\theta</annotation></semantics></math>Vsinωtsinθ；跟踪型 RDC 电路方案（数字乘法器 → 代数求和 → 放大 → 同步探测器 → 补偿器 → 积分 → VCO → 正反向计数器）$

跟踪型 RDC：一条闭环把幅值变成数字。 教材图 5.14 给出带跟踪型 RDC 函数表的电路方案（课件 01:56:23 页），信号链如下：

定子两路电压送入两个数字乘法器，乘法器的另一个输入是数字量 $\alpha$ ；
两路输出求代数和，得到 $V\sin\omega t,\sin(\theta-\alpha)$ ；
该信号经放大后送同步探测器，其滤波后的输出与 $\sin(\theta-\alpha)$ 成比例；
得到的信号经适当的补偿后积分，再送入电压控制振荡器（voltage-controlled oscillator, VCO，即电压—频率转换器）；
VCO 的输出脉冲送入一个正反向计数器；计数器输出寄存器上的数字量 $\alpha$ ，就是角 $\theta$ 的测量。

这条回路为什么值得记住？ 因为它按反馈原理工作： $\alpha$ 被驱赶到与 $\theta$ 一致（此时 $\sin(\theta-\alpha)\to0$ ）。回路中存在两个积分器（其中一个就是正反向计数器），这确保只要转子常速转动，就不会有（数字的）位置和（模拟的）速度测量误差；但 $\alpha$ 这个字上会发生舍入误差，从而影响位置测量。补偿措施的作用是赋予系统适当的稳定性与带宽。若还希望直接拿到数字量的速度，则必须再加一个 A/D 转换器。

精度定位：旋转变压器是非常精确的传感器——教材说在 RDC 的输出中可以获得「1/16 比特」的分辨率（原文照录；英文原版作 a resolution of 1 bit out of 16，本教程理解为「16 位量级的细分辨」，译文疑有讹，存疑待考）。

把全部器件并到一张表上看（本教程整理，内容均取自教材 §5.3.1 的定性表述；教材未给出的项标「—」）：

器件	测什么	原理要点	教材给出的分辨率 / 精度	成本与复杂度	教材给出的典型用途
电位计	线 / 角位移	滑动触点取电阻分压	教材未给（接触式，仅在清单中列出）	低	并入器件清单（机床等一般控制）
绝对式编码器	角位移	多轨码盘 + 光电读码，格雷码消除多重转换	12 轨 ⇒ 1/4096 每圈	较高	关节控制
增量式编码器	角位移（增量）	双轨正交判向 + 单扇区零位轨；脉冲计数	由轨道（线数）决定，教材未给数值	结构简单、价格低廉	关节执行系统，使用范围比绝对式更广
旋转变压器	角位移	转子激磁、定子正交绕组的互感应 + 跟踪型 RDC	非常精确（「1/16 比特」，原文照录）	高（需 RDC 与补偿环节）	机器人关节（紧凑、鲁棒、无机械限位）
同步器 synchro	角位移	与旋转变压器并列的角位移器件（教材未展开）	—	—	教材列为可测角位移的器件
LVDT	线位移	一次绕组 + 可动铁芯 + 二次绕组差分输出	—	—	测量机器人
感应同步器	线位移	尺面印制绕组，随位移变化的信号	—	—	测量机器人

考点 · 老师原话（录播时间点）

二进制码为什么不能用。 「二进制编码有个缺陷是什么呢？就是从一个扇区转到另一个扇区的时候，它有可能同时变化两位」；「比如说从 0001 到 0010……其实是两位变」（01:50:00、01:50:27）。

格雷码的规则与目的。 「实际过程中就（改）用格雷码编码。格雷码的（特点）是，每一个到下一个……相连的都是变化一位」（01:50:55）；目的就是「消除由于相连扇区变换的过程中，从多个扇区（码位）的高低转换引起的不准确测量」（01:51:31）。

12 轨与 360/4096。 「对于关节控制，所需要的分辨率，一般最少需要 12 个轨道；12 个轨道的话，就是 2 的 12 次方，其实是有 4096……相当于把 360 度分成 4096（份），它的分辨率每个度数就是 4096 分之 360」（01:51:45–01:52:08）。这一问是本节最可能被直接考到的算术。

减速之后要记圈数。 「如果存在齿轮减速的情况，关节处转一圈，这时候（电机）一侧其实转几圈……这时候我们就需要一个（简易）的电子装置来计数，实际转了多少圈需要记录」；规则是「每次转到 0 位的时候，它就（加）1，或者是减，因为它是不同方向」（01:52:16–01:52:57）。

增量式三轨的分工。 「增量式编码器一般是有三个位置」；「有两个轨道是配合使用的，A 和 B，（这）主要是为了进行方向的判断」；「（第）三道（轨道）的作用是（记）圈数，每次经过（零位）就加一圈或者是减一圈，当然也得配合 A、B（判断）方向」（01:53:04、01:53:45、01:54:24）。

绝对式与增量式的读法差别。 「绝对式的每一个扇区都有一个角度值；增量式的，其实它是通过累计的（计数）——通过一次，它就是亮一次，下面就加个 1」（01:53:16–01:53:38）。

原理细节老师要求自学。 编码器与旋转变压器的内部电路，「下面具体的原理是我们自己再去看一下，我们就不详细地展开了」（01:56:41、01:56:44）；转速计那几张图同理（01:59:26）。复习时以结构、信号形式与工程结论为主，电路级细节按「扩展知识面」处理（01:59:29–01:59:44）。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

位置传感器的输出是什么量？线位移与角位移各有哪些器件？为什么机器人上更常用角位移传感器（对移动关节也成立）？
绝对式编码器的分辨率由什么决定？「12 轨」对应多少格、多少度？加了减速比 $k_r$ 之后为什么还要记圈数、怎么记？
普通二进制编码在扇区切换时会出什么问题？格雷码凭什么消除它？增量式编码器三条轨道（A/B/Z）各自负责什么？
旋转变压器的角位置信息藏在哪？跟踪型 RDC 回路里的两个积分器保证了什么？它的分辨率定位是什么？

核对

输出是与相对给定参考位置的线位移或角位移成比例的电信号，主要用于机床控制。线位移：电位计、LVDT、感应同步器；角位移：电位计、编码器、旋转变压器、同步器。更常用角位移是因为伺服的发动机是旋转型的——即使关节做平动（棱柱关节），上游仍是回转运动。

分辨率由轨道数（位数 $n$ ）决定， $2^n$ 个角位置。12 轨 ⇒ 4096 格 / 圈，每格 $360^{\circ}/4096\approx0.0879^{\circ}$ 。有减速比 $k_r$ 时，关节一圈 = 发动机侧 $k_r$ 圈，关节侧分辨率提高 $k_r$ 倍；但绝对式只在一圈内唯一，跨圈读数重复，所以要「一个简单的电子装置计数并存储圈数」——经过零位时按转向加 1 或减 1。

二进制码在扇区切换时可能同时翻转多位（如 $0001\to0010$ ），对齐误差使读数既非起点也非终点 ⇒ 不准确。格雷码相邻码字只差一位，每次转换只发生一次对比变化 ⇒ 不确定性被消除。增量式三轨：A/B 相差 90° 用来判向（A 先升沿为顺时针，B 先升沿为逆时针），Z 相（单个不光滑扇区）定义机械零并用于记圈。

藏在两个正弦电压的幅值里（定子两个互成 90° 电角度的绕组，幅值分别随 $\sin\theta$ 、 $\cos\theta$ 变化）。跟踪型 RDC 把 $\alpha$ 追赶到 $\theta$ ，回路的两个积分器（其一是正反向计数器）保证转子常速转动时位置与速度测量无误差（ $\alpha$ 的舍入误差仍会影响位置）。精度定位：非常精确，RDC 输出可获得教材所称的「1/16 比特」分辨率。

5.3.1 小结与常见错误

两张清单：线位移——电位计、LVDT、感应同步器；角位移——电位计、编码器、旋转变压器、同步器。机器人上角位移更常用（发动机是旋转型，移动关节亦然），主力是编码器与旋转变压器。
一条原理线：光电码盘 ⇒ 轨道数 = 位数 = 分辨率；码制改用格雷码消除多重转换的不确定性（相邻只变一位）；12 轨 ⇒ 每圈 1/4096。
一组对照：绝对式直接编码（掉电不失忆，但一圈内唯一 ⇒ 需记圈数）；增量式脉冲计数 + 判向 + 零位（结构简单便宜、使用更广，但位置存在易失存储器里，扰动与电源波动会摧毁它）。
一条闭环：旋转变压器用互感应把角位置放进两个正弦电压的幅值，再由跟踪型 RDC 用反馈原理转成数字（两个积分器保证恒速下无误差）；LVDT 与感应同步器则属于「测量机器人」用的线性位移器件。

常见错误清单 · 自查三条

把增量式当成「精度更低的绝对式」——差别不在精度，而在读数结构：一个是绝对编码、一个是增量计数加零位，掉电后行为完全不同。
忘了码制的理由：能说出「用格雷码」，却说不清它对付的是多位同时翻转这一具体现象（也答不出 $0001\to0010$ 这个反例）。
混淆发动机侧与关节侧：分辨率、圈数、减速比三件事必须各归各位——编码器装在发动机侧时，关节一圈对应发动机侧 $k_r$ 圈，故关节侧分辨率被放大，而圈数计数必须另做。