(a) 能源 → 功率放大器 → 伺服发动机 → 传动装置（末端接关节与机械手本体）（定义 5.1.1）。

(b) $P_c$ 只决定「取多少」（控制规律信号，通常是电的小信号），能量由 $P_e$ 提供（一次能源，与提供给发动机的 $P_a$ 物理性质相同）。正因如此，功率增益 $P_a/P_c$ 才能达到 $10^6$ 量级（定义 5.1.11）。

(c) $P_{da}$ 在放大器（教材也把它归在「功放与发动机之间的耗散」）、$P_{dm}$ 在发动机（机械/电/液压/气压损失）、$P_{dt}$ 在传动装置（主要是摩擦）（定义 5.1.2）。

(a) 关节要低速度、高转矩，而伺服发动机最优工作条件下是高速度、低转矩——两者相反，故必须用传动装置把工作点搬过去（定理 5.1.B）。

(b) ① 定量：降速增矩，按比例传输速度与力矩；② 定性：把旋转运动转成平移运动（丝杠、齿轮齿条）；③ 减重优化有效载荷：把发动机放到基座或上游，减小末端惯量，同时改善静态（功率—重量比）与动态性能（定义 5.1.3）。

(c) 没有传动装置时，一个关节与下游各关节是强耦合的（动力学非线性耦合项无法忽略）；加上大减速比后，耦合按 $1/k_r$（力矩）与 $1/k_r^2$（惯量）被削弱，于是「控制这个关节就单独控制这个关节」——这正是第 8.3 节独立关节控制的物理根据（定理 5.2.C、定义 5.2.5）。

(a) $k_i=0$（不接电流反馈）且 $F_m\ll k_vk_t/R_a$ 时为速度控制发电机（$\omega_m\approx G_vv'_c/k_v$）；$k_i\neq0$ 且电流回路取大增益（$Kk_i\gg R_a$）时为力矩控制发电机（$c_m\approx\frac{k_t}{k_i}(v'_c-\frac{k_v}{K}\omega_m)$）（定理 5.2.A）。

(b) 因为无电流反馈时干扰力矩的等价增益 $R_a/(k_vk_t)$ 与时间响应 $R_aI_m/(k_vk_t)$ 都远小于有电流反馈时的 $1/F_m$ 与 $I_m/F_m$，即抗干扰更好；保护问题改用带死区非线性的电流反馈在回路上限流解决（定理 5.2.B）。

(c) 本体传感器（proprioceptive）测量机械手自身内部状态量（关节位置、关节速度）；外部传感器（exteroceptive）测量机械手与环境交互的量（力、距离、视觉）。关节力矩传感器按教材 §5.3 的分类属于本体量（它测的是机械手内部的状态），但六维腕力传感器测的是末端与环境之间的交互力，属外部量（定义 5.3.1、定义 5.4.1）。

(a) 积分用于在稳态（$\vartheta',\dot\vartheta'$ 为常量）完全消除干扰对输出的影响；比例用于稳定与阻尼。教材指出纯比例给不出采样时间很短的阻尼瞬态响应，原因是前向通路传递函数上有两个位于原点的极点（定理 5.2.D）。

(b) 多了一个基于角速度测量的局部反馈回路（内环速度环，仍保留 PI）。它带来两条改进：干扰点附近有两个反馈回路 ⇒ 瞬态干扰抑制也更强；可选择参数得到更宽带宽、更少振荡的传递函数 ⇒ 瞬态更快、跟踪能力更强（方法 5.2.E）。

(c) 因为此时放大器处在电流环内部，不再单独出现，而是以因子 $1/k_i$ 的形式进入 $k_m$（教材 §5.2.4 末，对照 定理 5.2.A 的说明）；干扰权重也由 $R_a/k_v$ 改为 $k_t/k_i$。

思路：稳态意味着所有导数项为零，且把 $i_a$ 用 $c_m$ 消掉。

1. 稳态退化：$v_a=R_ai_a+k_v\omega_m$，$c_m=F_m\omega_m$（取 $c_r=0$），$c_m=k_ti_a$。
2. 放大器：$v_a=C_i(0)G_v(v'_c-k_ii_a)$；取 $k_i=0$ 得 $v_a=Kv'_c$。
3. 消 $i_a$：由 $c_m=k_ti_a=F_m\omega_m$ 得 $i_a=\frac{F_m\omega_m}{k_t}$，代入第 1 步： $$Kv'_c=\frac{F_mR_a}{k_t}\omega_m+k_v\omega_m=\Big(\frac{F_mR_a}{k_t}+k_v\Big)\omega_m$$
4. 若 $F_m\ll k_vk_t/R_a$，则 $\frac{F_mR_a}{k_t}\ll k_v$，括号中第二项占优： $$\omega_m\approx\frac{K}{k_v}v'_c=\frac{G_v}{k_v}v'_c$$

结论：转速正比于控制电压、与负载无关——这就是「具有与速度控制发电机相同的特性」。∎

1. 由放大器与电枢电平衡消去 $v_a$：$v_a=K(v'_c-k_ii_a)=R_ai_a+k_v\omega_m$，整理 $$Kv'_c=(R_a+Kk_i)i_a+k_v\omega_m$$
2. 代入 $i_a=c_m/k_t$： $$Kv'_c=\Big(\frac{R_a+Kk_i}{k_t}\Big)c_m+k_v\omega_m$$
3. 若 $Kk_i\gg R_a$，则 $R_a+Kk_i\approx Kk_i$，解出 $$c_m\approx\frac{k_t}{k_i}\Big(v'_c-\frac{k_v}{K}\omega_m\Big)$$

为什么独立于角速度：$\omega_m$ 的系数是 $k_v/K$；而 $K=C_i(0)G_v$ 中 $G_v$ 很大（放大器电压增益），故 $k_v/K$ 很小——转速对力矩的影响可忽略。∎

1. 由 $fr=I\dot\omega+F\omega+C_l$ 得 $f=\frac{1}{r}(I\dot\omega+F\omega+C_l)$，代入 (5.23)： $$C_m=I_m\dot\omega_m+F_m\omega_m+\frac{r_m}{r}\big(I\dot\omega+F\omega+C_l\big)$$
2. 利用无打滑条件 $\omega=\omega_m/k_r$ 与 $\dot\omega=\dot\omega_m/k_r$，以及 $r_m/r=1/k_r$： $$C_m=I_m\dot\omega_m+F_m\omega_m+\frac{1}{k_r^2}\big(I\dot\omega_m+F\omega_m\big)+\frac{C_l}{k_r}$$
3. 合并同类项即得 $I_{eq},F_{eq},C_l/k_r$ 三项。

为什么不同：惯量与摩擦是速度/加速度的系数，它们随转速一起被折算——$\omega$ 换一次、再乘以力臂比 $1/k_r$，共两次，故为 $1/k_r^2$；而 $C_l$ 是与运动无关的外力矩，只经过力臂比这一次折算，故为 $1/k_r$。∎

折算方法与 B3 相同，得到

$$C_m=I_{eq}\dot\omega_m+F_{eq}\omega_m+\frac{mgl}{k_r}\sin\frac{\vartheta_m}{k_r}$$

两条途径：

1. 幅值：$\frac{mgl}{k_r}$ ——非线性项的幅度被除以 $k_r$；
2. 自变量：$\sin\frac{\vartheta_m}{k_r}$ ——自变量被缩小 $k_r$ 倍，使得在电机转一整圈（或关节转一整圈对应的电机行程）的范围内，$\sin$ 只走过很小一段近似直线的区间。

合起来，非线性在电机端退化为「近似线性的小扰动」——这正是独立关节控制得以逐个关节做线性设计的根据，也是第 7 章讨论 $n$ 连杆耦合的出发点。∎

两条不等式是

$$\underbrace{\frac{R_a}{k_vk_t}}_{\text{速度控制}}\ \ll\ \underbrace{\frac{1}{F_m}}_{\text{力矩控制}},\qquad \underbrace{\frac{R_aI_m}{k_vk_t}}_{\text{速度控制}}\ \ll\ \underbrace{\frac{I_m}{F_m}}_{\text{力矩控制}}$$

• 等价增益：它衡量「负载力矩 $C_l$ 对转速的影响系数」。速度控制时该系数是 $R_a/(k_vk_t)$，力矩控制时是 $1/F_m$。前者远小 ⇒ 同一负载力矩造成的转速下降更小。
• 时间响应：它出现在分母的一阶惯性环节 $1/(1+sT_m)$ 里。速度控制的时间常数 $R_aI_m/(k_vk_t)$ 远小于力矩控制的 $I_m/F_m$ ⇒ 抗扰恢复更快。

两条合起来正是 定理 5.2.B 的结论：需要高抗扰时（独立关节控制）不加电流反馈；需要力矩特性时（集中控制）才加。∎

电气	液压	角色
$V_a=(R_a+sL_a)I_a+V_g$	$Q=Q_m+Q_l+Q_c$	输入侧的平衡（液压侧多出两项）
$V_g=k_v\Omega_m$	$Q_m=k_q\Omega_m$	「转动对输入的抵消效应」
$C_m=(sI_m+F_m)\Omega_m+C_l$	同式 (5.18)	机械侧方程完全相同
$C_m=k_tI_a$	$C_m=k_pp$	内变量与力矩成正比（电流 ↔ 压差）

电气侧没有对应物的两项：渗漏 $Q_l=k_lp$ 与可压缩性 $Q_c=\gamma Vsp$——液压介质固有的泄漏与弹性，电气侧不存在（电气侧的抗衡量是电感与反电动势）。

为什么压力反馈拆不掉：压力反馈回路是伺服阀 / 分布器 / 发动机这一物理结构的固有特征；教材明确「除非引入适当变换器并实现相关控制电路，否则不能将其修正」。而电流反馈在电气驱动里是设计选择（要不要加 $k_i$ 这一路）。∎

用 $I_{eq}=I_m+I/k_r^2$、$F_{eq}=F_m+F/k_r^2$、$C_l/k_r$：

$k_r$	$I_{eq}$ (kg·m²)	$F_{eq}$ (N·m·s/rad)	$C_l/k_r$ (N·m)
1	$5.010\times10^{-2}$	$2.100\times10^{-2}$	5.0000
50	$1.200\times10^{-4}$	$1.008\times10^{-3}$	0.1000
100	$1.050\times10^{-4}$	$1.002\times10^{-3}$	0.0500
200	$1.013\times10^{-4}$	$1.001\times10^{-3}$	0.0250

$k_r=100$ 时：$I/k_r^2=5.0\times10^{-6}$，而 $I_m=1.0\times10^{-4}$，贡献仅 5%——负载惯量几乎被完全「抹掉」，$I_{eq}$ 由电机自身说了算。

编程核验（与上表一致）：

Im, I, Fm, F, Cl = 1e-4, 0.05, 1e-3, 0.02, 5.0
for kr in (1, 50, 100, 200):
    print(kr, Im + I/kr2, Fm + F/kr2, Cl/kr)

速度控制（式 5.12）：

$$k_m=\frac{1}{k_v}=5.000,\qquad T_m=\frac{R_aI_m}{k_vk_t}=\frac{0.2\times0.0014}{0.04}=7.00\times10^{-3}\ \mathrm{s}$$

干扰等价增益 $=\dfrac{R_a}{k_vk_t}=\dfrac{0.2}{0.04}=5.000$。

力矩控制（式 5.13）：

$$k_m=\frac{k_t}{k_iF_m}=\frac{0.2}{0.01\times0.01}=2000,\qquad T_m=\frac{I_m}{F_m}=\frac{0.0014}{0.01}=0.140\ \mathrm{s}$$

干扰等价增益 $=\dfrac{1}{F_m}=100$。

判断：$5.000\ll100$ 且 $7.0\times10^{-3}\ll0.14$ ⇒ 速度控制（不加电流反馈）抗干扰好得多，与 定理 5.2.B 一致。注意力矩控制的 $T_m$ 大了 20 倍，响应更慢。

(a) $2\pi/2^{12}=2\pi/4096=1.534\times10^{-3}$ rad $=0.0879^\circ$。

(b) 关节分辨率 = 电机侧分辨率 $/k_r$：

$k_r$	关节分辨率 (rad)	关节分辨率 (度)
1	$1.534\times10^{-3}$	0.08789
50	$3.068\times10^{-5}$	0.00176
100	$1.534\times10^{-5}$	0.00088

(c) 需要 $k_r>1.534\times10^{-3}/1\times10^{-5}=153.4$，故至少 $k_r=154$（工程上取 160 或更高）。

注意：这是量化分辨率（能分辨的最小增量），不等于精度——实际精度还受安装偏心、码盘工艺、传动回差等限制（定义 5.3.3）。

内参矩阵 $\Omega=\begin{bmatrix}fa_x&0&X_0\\0&fa_Y&Y_0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}633.6&0&250\\0&964&250\\0&0&1\end{bmatrix}$。

$$x_I=633.6\times0.05+250\times0.6=181.68,\quad y_I=964\times(-0.08)+250\times0.6=72.88,\quad \lambda=0.6$$

$$X_I=\frac{x_I}{\lambda}=\frac{181.68}{0.6}=302.80,\qquad Y_I=\frac{y_I}{\lambda}=\frac{72.88}{0.6}=121.47$$

即约 $(303,\ 121)$：目标点在主点 $(250,250)$ 的右上方（$Y_I<250$ 说明在图像上半部，与 $y_c<0$ 一致）。除以深度 $\lambda$ 这一步不能省——省了就把「归一化平面」当成「像素平面」了（对照作业五 5.7）。

音速用 $v\approx331.4+0.6T$（m/s，$T$ 为摄氏温度）。

(a) $d=vt/2$：

$T$ (°C)	$v$ (m/s)	$d$ (m)
0	331.40	1.9884
20	343.40	2.0604
25	346.40	2.0784

从 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 到 $25^{\circ}\mathrm{C}$，同一回波时间算出的距离差了 4.5%（1.988 → 2.078 m）。

(b) $t=2d/v=2\times1.5/343.40=8.736\ \mathrm{ms}$。

(c) 因为距离正比于音速，而音速随温度线性漂移（每摄氏度约 0.18%）；若按 $20^{\circ}\mathrm{C}$ 标定却在 $0^{\circ}\mathrm{C}$ 使用，$2\ \mathrm{m}$ 处会出现约 $-9\ \mathrm{cm}$ 的系统误差——比多数测距传感器的标称分辨率还大。所以工程上要么测温补偿，要么只用它做「有没有障碍」的粗判而不做精密定位（定理 5.4.B）。

由 $R=I$：$f_c=f_s=[0\ 0\ 30]^{\mathrm T}$ N。

$$S(r)=\begin{bmatrix}0&0.15&0\\-0.15&0&-0.1\\0&0.1&0\end{bmatrix},\qquad S(r)f_s=\begin{bmatrix}0\\-3\\0\end{bmatrix}$$

$$\mu_c=S(r)f_s+R\mu_s=[0\ -3\ 0]^{\mathrm T}\ \mathrm{N\cdot m}$$

与作业 5.6 的对比：那里的 $R$ 非单位阵、$\mu_s$ 也非零，两项恰好抵消得到 $\mu_c=0$；本题中 $\mu_s=0$，于是得到一个非零的力偶——说明「传感器读数里的力臂项」并不总是被抵消，只有在特定几何与姿态下才会。物理上：一个大致的判断是，若力的作用线通过接触点且传感器读数自洽，则 $\mu_c$ 反映的是偏心造成的力矩。∎

• 力矩需求：直驱要产生同样的关节力矩，电机体积与质量按平方关系膨胀（老师 0:37:20 的经验算法：要 10 N·m 就得上百公斤级电机）；加 $k_r=100$ 的减速器后，电机只需出 1/100 的力矩，减速箱本身只有几十到几百克。
• 惯量匹配：直驱下负载惯量全部反映到电机轴（$I_{eq}=I_m+I$）；减速后按 $1/k_r^2$ 缩小（$k_r=100$ 时只剩万分之一）——这正是「惯量小、好控制」（0:33:01）。
• 非线性：直驱时耦合项（科氏力、重力矩）全在电机端，必须在线补偿；减速后按 $1/k_r$（力矩）与自变量缩小（$\sin\frac{\vartheta_m}{k_r}$）双重削弱，近似线性（例 5.1）。
• 间隙与刚度：减速器带来回差（间隙）与弹性，降低定位精度与带宽——这是直驱唯一的明显优势（消除传动弹性与间隙）。
• 成本：直驱要稀土永磁大电机 + 高性能电流环 + 更强的控制算力；减速器路线成熟、便宜、产品范围宽。

结论：工业机械手绝大多数选电机 + 减速器；只有小负载、高精度、高带宽场合（如协作臂末端、半导体设备）才用直驱（定义 5.1.4，老师 0:38:23）。

先看两条硬指标：低速大转矩与功率—重量比。

• 电动方案：需要极大减速比（数百以上）或大功率伺服 + 高刚性结构。优势是控制灵活、效率高、免维护、无污染、易于与控制器集成；但重载下机械结构笨重、传动刚度要求高。
• 液压方案：能在低速度下产生大转矩、功率—重量比高、静态下不会熄火（不需要抱闸维持姿态）——正适合重载搬运；代价是需液压源与泵站、效率低、维护与漏油污染（方法 5.1.D，教材 §5.1.2）。

结论：单看物理指标液压更合适（教材原话：「液压伺服发动机尤其适用于应用机械手搬运重载荷的情况……不仅是最合适的执行器，而且装置成本也将使操纵系统的整体开销减少一定的百分比」）。但本题精度要求 1 mm、常温、洁净车间，电动方案在精度、维护与集成上更省事；若纯粹比吨位与功率密度（例如 1 t 级以上、行程更长），则液压占优。

判断依据：教材给出的两条操作侧结论——「速度高转矩低 vs 低速大转矩」决定是否需要传动装置/选谁；「环境要求 + 会不会熄火」决定危险或大负载场合选谁。

思路一：加大位置环增益 / 改参数。可以提高带宽，但受机械谐振与两个原点极点的限制，超调往往更严重（定理 5.2.D）。

思路二：加测速反馈，构成「外环位置 + 内环速度」（方法 5.2.E）。带来两条改进：干扰点附近有两个回路 ⇒ 瞬态干扰抑制更强；$\vartheta_m/\vartheta'$ 传递函数带宽更宽、振荡更少 ⇒ 阶跃响应更快更阻尼。

	抗扰（稳态）	抗扰（瞬态）	带宽
只有位置 PI	好（积分作用）	一般	受限
位置 + 速度反馈	好（内环 PI）	更好（两个回路）	更宽

结论：优先加测速反馈（工业位置伺服的标准结构），参数上保留内环 PI 以消除稳态干扰；若没有速度传感器，可用位置信号的差分/观测器重建速度（方法 5.3.A），但要付出噪声放大的代价。

(a) CCD 与 CMOS 的区别（定义 5.4.5）：CCD 靠电荷转移逐点读出（需要积分过程，功耗高但一致性好）；CMOS 每个像元自带放大器与读出电路（可并行读出、速度快、功耗低、可集成处理电路）。工业高速抓取现在多用 CMOS；对成像质量要求极高且速度不敏感的场合仍可用 CCD。

(b) 必须标定，因为从图像到「工件在机器人坐标系中的位置」要经过一整条几何链：相机内参（焦距 $f$、比例因子 $a_x,a_Y$、主点 $X_0,Y_0$、畸变系数）与外参（相机相对机器人末端/基座的位姿）。标定就是求这两组参数，使投影模型 $\Omega$ 与真实成像一致；不标定则像素坐标无法反算物理位置（作业 5.7 用的正是这套模型）。

(c) 每个像素对应的物理尺寸至少要小于精度要求（按奈奎斯特/工程惯例取 2–3 倍余量）：

$$N_x\ge\frac{400\ \mathrm{mm}}{0.5\ \mathrm{mm}}=800,\qquad N_y\ge\frac{300\ \mathrm{mm}}{0.5\ \mathrm{mm}}=600$$

即至少 800×600；若要求亚像素定位稳定，取 1024×768 或更高（并把 0.5 mm 精度分配一部分给镜头畸变与标定残差）。