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课程知识地图

这份教程的目标，是把「用计算机算数」讲成一个闭环的工程问题：误差从哪来、怎么度量、怎么控制（第一章），以及控制误差所需的语言与工具箱——范数、内积、正交、投影、谱（补充篇）。下文先给出概念主干图，箭头标出的正是「先学什么、后学什么」；随后的两张地图表把图上每个节点落回具体小节，方便随时定位。学习时不妨顺着箭头自检：前一环是否真的懂了。

第一章 + 补充篇主干

下图中的 2.1–2.6 是补充篇内部编号，不是课堂第 2 章的节号；课堂第 2 章是线性方程组，见课堂主线。

翻译链条与四类误差（1.1） 度量：ε / ε_r / 有效数字（1.2） 传播与四原则 · 浮点公理（1.2） 向前 / 向后误差 · 条件数（1.2） 范数：给「向量 / 矩阵多大」立公理（1.3） 等价定理 · 相容性 · ‖A‖<1 与 Neumann 级数（1.3） 内积与正交矩阵（2.1） 四个子空间与投影 · 最小二乘（2.2） 正交化与 QR 分解（2.3） 条件数与扰动（2.4） 特征值 · 谱半径 · Gerschgorin（2.5） 对称谱：Rayleigh 商 · Courant–Fischer SVD · 低秩逼近 · 数值秩（2.6）
图 0-1 · 第一章 + 补充篇概念主干：翻译产生误差 → 误差可度量、会传播 → 度量与控制的语言是范数 → 范数的几何实现是内积与正交 → 正交结构给出投影、QR 与 SVD → 谱刻画敏感性

一句话主线：科学计算的每一步翻译都产生误差（1.1）；误差用绝对 / 相对误差与有效数字来度量，并按四则运算的规则传播（1.2 前半）。要控制传播，先得弄清浮点数的表示与运算，再掌握算法设计原则（1.2 后半）；而「误差究竟有多大」这句话本身就需要一把尺子——范数（1.3）。第一章把这把尺子造好，却只回答「多大」；补充篇把尺子升级为几何——内积定义「正交」，正交给出「投影」，投影导出「最小二乘」与「QR」，而条件数（2.4）、谱半径（2.5）、奇异值（2.6）分别回答「多敏感」「多快收敛」「离奇异有多远」。

第一章地图（误差与范数）

层内容位置
问题层科学计算链条、四类误差的落点、四个关键词1.1
度量层e,ε,εre,\varepsilon,\varepsilon_{\mathrm r}、有效数字与相对误差的换算1.2.2
传播层一元 / 多元 Taylor 误差估计、四则运算误差限1.2.3
算法层复杂度 O(⋅)O(\cdot)、稳定性、四条设计原则、秦九韶1.2.4
机器层IEEE 754、机器精度 uu、浮点算术公理1.2.5
判据层向前 / 向后误差、conditioning ≠ stability1.2.6
语言层范数三公理与四公理、五个公式、等价与相容、定理 1.3.61.3

补充篇地图（几何与谱）

层内容位置
几何基础内积公理、加权内积、正交与标准正交基、正交矩阵十条件2.1
结构层四个基本子空间的正交补关系、正交分解、投影矩阵、最小二乘2.2
算法层Gram–Schmidt、修正 Gram–Schmidt、Householder、Givens；QR 分解2.3
敏感层cond(A)\mathrm{cond}(A)、右端 / 系数扰动界、Hilbert 矩阵、残差 ≠ 误差2.4
谱层特征值、谱半径、ρ≤∥⋅∥\rho\le\lVert\cdot\rVert、Gerschgorin、Rayleigh 商、Courant–Fischer2.5
统一层SVD 两种几何读法、与四个基本子空间的关系、Eckart–Young、数值秩、伪逆、PCA2.6
实证层四种 QR 方法的正交性退化实测、条件数与有效数字、低秩压缩2.7
三件最有用的「随身行李」
  1. 有效数字与相对误差的换算：εr≤12a1×101−n\varepsilon_{\mathrm r}\le\tfrac{1}{2a_1}\times10^{1-n}，反之 εr≤12(a1+1)×101−n⇒\varepsilon_{\mathrm r}\le\tfrac{1}{2(a_1+1)}\times10^{1-n}\Rightarrow 至少 nn 位（1.2.2）。
  2. 算法设计四原则：稳定性看方向、防吞噬、防相消、防小除数（1.2.4）。
  3. 两条判据两把尺：∥A∥<1⇒I±A\lVert A\rVert\lt1\Rightarrow I\pm A 可逆且 Neumann 级数收敛（1.3.5）；cond(A)=σ1/σr\mathrm{cond}(A)=\sigma_1/\sigma_r 决定最多能保住几位有效数字（2.4）。

课堂精编对照（2026 秋·庞刚《数值分析 I》）

下表给出课堂进度与正文的对应关系。第 1–3 讲覆盖第一章全部内容；从第 3 讲起进入第 2 章 线性方程组的解法（原书第 2 章，目前由讲座页承载）；第 6 讲末尾开启第 3 章特征值问题；第 7 讲给出幂法 / 反幂法与第 4 章非线性方程的引入。

讲次主题对应正文老师补充（正文暂未展开）
第 1 讲引例、误差分类、误差限运算1.1、1.2.1–1.2.3三个板书例题：∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx 的级数积分、∫5∞e−x2dx\int_5^\infty e^{-x^2}dx 的渐近展开、递推 InI_n 的稳定性
第 2 讲有效数字、精度技巧、范数引入1.2.2、1.2.4、1.3.1、1.3.3从属范数的几何直观（球面 / 八面体 / 盒子）、相容关系的完整板书证明
第 3 讲矩阵范数计算、可逆判据、高斯消去1.3.4、1.3.5 + 课堂精编∥A∥1\lVert A\rVert_1 最大列和公式的逐步推导、[[0,1],[1,0]][[0,1],[1,0]] 的反例、列主元消去
第 4 讲LU 分解、追赶法、迭代法引论第 2 章导览（原书 2.2、2.4.1）Doolittle 逐圈求解 + 完整例题、三对角 O(n)O(n) 分解、∥G∥<1&#124;G&#124;&lt;1 收敛定理
第 5 讲收敛理论、误差估计、Jacobi / Gauss–Seidel第 2 章导览（原书 2.4.1–2.4.3）ρ(G)<1\rho(G)&lt;1 充要条件的对角化解耦自证（原书证明从略）、先验 / 后验误差估计
第 6 讲SOR、收敛定理、特征值问题开篇第 2 章导览（原书 2.4.4）+ 第 3 章导览必要条件 ω∈(0,2)\omega\in(0,2)、「对角占优 ⟹ 可逆」引理、0<ω≤10&lt;\omega\le1 与对称正定 0<ω<20&lt;\omega&lt;2 两大收敛定理、薛定谔方程动机
第 7 讲幂法、反幂法与位移、非线性方程开篇第 3 章导览（原书第 3 章）+ 第 4 章导览（原书第 4 章引入）+ 补充篇 2.5（Rayleigh 商）λ1\lambda_1 必为实数的共轭反证、规范化幂法的回推推导、ykTAyk→λ1y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1 的 2-范数条件、Auk+1=ykAu_{k+1}=y_k 的实际写法、位移 A−pIA-pI、二分法与不动点存在性证明
直接法与迭代法的去向

第 3–7 讲的高斯消去、LU 分解、追赶法、迭代法与幂法属于本书第 2、3 章（与原书同号），目前由讲座页承载（详见课堂精编导览）。第 6 讲末尾的特征值问题开篇（模最大特征值、幂法预告）指向原书第 3 章，第 7 讲已把幂法展开为完整算法；非线性方程（原书第 4 章）在第 7 讲只讲到不动点迭代与二分法，Newton 法等留待后续讲次展开。