$\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}=1\times2+2\times0+2\times1=4$；$\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2=\sqrt{1+4+4}=3$；$\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5$。

$$\cos\theta=\frac{4}{3\sqrt5}\approx0.596285,\qquad\theta\approx53.40^{\circ}.$$

错因提示： 若算出 $\cos\theta\gt1$，通常是忘了开根号，或把 $\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2$ 写成了 $\lVert\boldsymbol{y}\rVert_1$。补充篇 2.1 就从内积与长度讲起。

$\lvert\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}\rvert\le\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2$，等号成立当且仅当 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ 线性相关。

作用：展开 $\lVert\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\rVert_2^2=\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2^2+2\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}+\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2^2$ 后，交叉项 $2\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}\le2\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2$ 恰好补成完全平方 $(\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2+\lVert\boldsymbol{y}\rVert_2)^2$。没有它，三角不等式证不出来——这正是定理 1.3.1 的 2-范数部分的关键一步。

$A^{\mathrm T}A=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&14\\14&20\end{pmatrix}$；$\det A=1\times4-2\times3=-2$；

$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}.$$

考点： $A^{\mathrm T}A$ 对称正定（$\det=200-196=4\gt0$，迹 $30\gt0$），而 $\lVert A\rVert_2$ 正由它的特征值决定——见 1.3.4。

$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=0\Rightarrow\lambda_1=3,\ \lambda_2=1$，都为正，故正定。

$A$ 对称 $\Rightarrow A^{\mathrm T}A=A^2$，特征值为 $9,1$，故 $\sqrt{\lambda_{\max}(A^2)}=3$。顺便得到 $\lVert A\rVert_2=3$、$\lVert A^{-1}\rVert_2=1$、$\mathrm{cond}_2(A)=3$。

写成规格化形式 $a=0.316\times10^{-1}$，故 $m=-1$，写出 $k=3$ 位数字。要求 $\tfrac12\times10^{m-n}=0.00005=\tfrac12\times10^{-4}$，即 $m-n=-4$，得 $n=3\le k=3$。故 $a$ 有 3 位有效数字。

易错： 小数点后紧跟的那个 $0$ 不算有效数字；有效数字从第一位非零数字 $3$ 数起。判据流程见 1.2.2。

$u=4.00-1.00=3.00$。由多元误差公式，$\partial u/\partial a=2a=4$，$\partial u/\partial b=-2b=-2$：

$$\varepsilon(u)\approx4\times0.005+2\times0.005=0.03,\qquad\varepsilon_{\mathrm r}(u)=\frac{0.03}{3.00}=1\%.$$

$u=0.300\times10^1$（$m=1$）：$n=2$ 时 $\tfrac12\times10^{-1}=0.05\ge0.03$ ✓，$n=3$ 时 $0.005\lt0.03$ ✗，故有 2 位有效数字。

关键提醒： $a^2-b^2$ 属于「相近数相减」这一危险结构：一旦 $a$ 与 $b$ 相近，两个平方数就几乎相等。本例 $4.00-1.00$ 尚不致命；若换成 $a=1.01,b=1.00$，有效数字就会大量流失——此时应改写为 $u=(a-b)(a+b)$。见 1.2.4。

$\lVert A\rVert_1$ 是绝对值最大的列和，$\lVert A\rVert_\infty$ 是绝对值最大的行和。

列和：$|1|+|3|=4$，$|-2|+|4|=6$ $\Rightarrow\lVert A\rVert_1=6$。行和：$1+2=3$，$3+4=7$ $\Rightarrow\lVert A\rVert_\infty=7$。

$\lVert A\rVert_F$ 不从属于任何向量范数：任何算子范数满足 $\lVert I\rVert=1$，而 $\lVert I_2\rVert_F=\sqrt2\neq1$。见 1.3.4。

误差满足 $\delta_n=-\beta\delta_{n-1}$，即 $\lvert\delta_n\rvert=3^n\lvert\delta_0\rvert$——正向递推每步放大 3 倍，$3^{100}$ 是天文数字，绝不能正向算。

应反向：把关系改写为 $y_{n-1}=\dfrac{1}{\beta n}-\dfrac{1}{\beta}y_n$，此时每步误差缩小为 $1/3$，稳定。代价是要先知道 $y_{100}$ 的近似值——用积分估计式（夹逼）把它定下来。方法见 1.2.4 原则 (1)。

$\boldsymbol{q}_1^{\mathrm T}\boldsymbol{q}_2=\dfrac{1}{2\sqrt3}\bigl[(1)(1)+(1)(-1)+(0)(1)\bigr]=0$，故正交；又 $\lVert\boldsymbol{q}_1\rVert_2=\lVert\boldsymbol{q}_2\rVert_2=1$，故它们是标准正交组。

两个线性无关的向量总能扩充成基，再用 Gram–Schmidt 正交化——取 $\boldsymbol{q}_3$ 为与二者都正交的单位向量即可。手算：$\boldsymbol{q}_3=(1,-1,-2)^{\mathrm T}/\sqrt6$，验证 $\boldsymbol{q}_1^{\mathrm T}\boldsymbol{q}_3=(1-1+0)/\sqrt{12}=0$、$\boldsymbol{q}_2^{\mathrm T}\boldsymbol{q}_3=(1+1-2)/\sqrt{18}=0$。这正是 2.3 的操作。

投影系数 $\dfrac{\boldsymbol{a}^{\mathrm T}\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}^{\mathrm T}\boldsymbol{a}}=\dfrac{4}{2}=2$，故投影 $\boldsymbol{p}=2\boldsymbol{a}=(2,2,0)^{\mathrm T}$，残差 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{p}=(0,0,2)^{\mathrm T}$。

核对：$\boldsymbol{a}^{\mathrm T}\boldsymbol{r}=0$ ✓（残差与列空间正交，这是投影的定义性质），$\lVert\boldsymbol{r}\rVert_2=2$。一般公式 $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}^{\mathrm T}\boldsymbol{a})^{-1}\boldsymbol{a}^{\mathrm T}\boldsymbol{b}$ 见 2.2。

第 2 行 $=2\times$第 1 行，故秩不超过 $2$；而第 1、3 行线性无关（不成比例），故 $\operatorname{rank}A=2$。

$A\boldsymbol{x}=(2-2,\ 4-4,\ 2-1)^{\mathrm T}=(0,0,1)^{\mathrm T}\neq\boldsymbol{0}$，故 $\boldsymbol{x}$ 不属于零空间。零空间里的向量要满足 $x_1+2x_2+3x_3=0$ 且 $x_1+x_2+x_3=0$，可解出 $\boldsymbol{x}\in\operatorname{span}\{(1,-2,1)^{\mathrm T}\}$。秩 + 零空间维数 $=n=3$，与秩定理一致（2.2）。

$A=U\Sigma V^{\mathrm T}$，其中 $U\in\mathbb{R}^{m\times m}$、$V\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 为正交矩阵，$\Sigma\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 为非负对角阵（对角元 $\sigma_1\ge\cdots\ge\sigma_r\gt0$，$r=\operatorname{rank}A$）。

$$\lVert A\rVert_2=\sigma_1,\qquad \mathrm{cond}_2(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_r}\ (\text{可逆时}).$$

若这两问答不出，说明补充篇最大的新工具你还没建立起来，务必按顺序读完 2.6 之前的全部小节。