第一章 · 绪论

本教程依据颜庆津《数值分析》（第 4 版）第一章「绪论」（原书第 1–13 页）整理、扩充而成，覆盖数值分析的研究对象、误差知识与算法知识、向量范数与矩阵范数三节。原书 5 条定理、6 道例题、15 道习题全部收录，原编号保留不变；原书「从略 / 留给读者」的证明一律补全；在此基础上新增 IEEE 754 浮点、向后误差与条件数，以及四组可复现的数值实验。

三节一览

这张表是本章唯一的逐节总览：预习时先扫「核心问题」一列，看清每节要解决什么；复习时只读「关键结论」与「典型陷阱」，逐行自问能否复述。

节	核心问题	关键结论	典型陷阱
1.1 研究对象	科学计算是什么？数值分析研究什么？	问题链条「实际问题 → 数学模型 → 数值问题 → 数值解」；四个关键词（收敛性 / 稳定性 / 误差估计 / 复杂性）；「公式写法即算法设计」—— $(\sqrt2-1)^6$ 的六个等价公式相差 5 个数量级	误以为「计算机算出来的就是对」；误以为「精度不够就加位」
1.2 误差与算法	误差怎么度量、传播、控制？	四类误差（定义 1.2.1–定义 1.2.4）； $\varepsilon$ / $\varepsilon_{\mathrm r}$ / 有效数字三件套（定义 1.2.5–定义 1.2.7）；误差传播（定理 1.2.2、式 1.1、四则公式）；秦九韶 $O(n)$ ；算法设计四原则；IEEE 754 公理（定义 1.2.10）；向前 / 向后误差与条件数（定义 1.2.11）	把有效数字当小数位数；相近数相减；递推系数 $\lvert\beta\rvert\gt1$ 还正向跑；浮点用 `==` 比较
1.3 范数	「向量大小」「矩阵大小」怎么公理化？	向量范数三公理（定义 1.3.1）； $\lVert\cdot\rVert_{1,2,\infty}$ （定理 1.3.1）与 $p$ -范数极限；等价定理（定理 1.3.3）；算子范数（定理 1.3.4）； $\lVert A\rVert_1$ 列和、 $\lVert A\rVert_\infty$ 行和、 $\lVert A\rVert_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{\mathrm T}A)}$ （定理 1.3.5）；F-范数相容但非从属（定义 1.3.4）； $\lVert A\rVert\lt1\Rightarrow I\pm A$ 非奇异 + Neumann 级数（定理 1.3.6、定理 1.3.7）	把 $\lVert AB\rVert=\lVert A\rVert\lVert B\rVert$ 当等式；把 $\lVert A\rVert_2$ 写成 $\lambda_{\max}(A)$ ；行列混淆

怎么用这份教程

先读直觉，再抠证明：每个定义、定理前都有一个蓝色「直觉」框，用一两句白话说明这条定义或定理在讲什么、为什么需要它；证明与推导收在其后的 ::: proof 块里，第一遍可以整段跳过，二刷再逐行补上——先抓住「是什么、怎么用」，再回头追问「为什么」。
对照原书：原书定理 1.1–1.5、例 1–6、习题 1–15 全部收录。原书编号只出现在盒子标题的括注与题面里，正文统一用节级编号，两套编号的对照表见 1.3 节开头，可逐条、逐题对照。
补全证明：原书三处「从略 / 留给读者」的证明全部补出，逐条收在 ::: proof 块内，清单见勘误与补注。
动手实验：1.2.7 与 1.3.6 的实验代码都能直接复制运行，书中输出为真实运行结果，可逐行对照。
自检：每节末尾都有小结，列出常见错误与误解；习题集 A/B/C/D 四组 20 题全部附解答或提示；自检表把每条学习目标对到相应小节与习题。
跟课堂：2026 秋庞刚老师的前三讲已覆盖本章全部内容，各节末尾的「课堂对照」框都给出对应的讲座精编链接（讲座总览）。

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