课堂精编 · 复习页

本页是「课堂精编」8 个讲次（第 1–7 讲与第 9 讲）的复习层。各讲页首的「10 分钟复习版」管单讲怎么读，本页管跨讲的一条线：主线、公式去重汇总、易混对照、复习路线。配套练习与自测见练习与自测；导览与全课程地图见课堂精编导览。

这一页与另外两页的分工

一页速览 · 公式与结论卡与易混对照卡汇总的是第一章 + 补充篇（数值线性代数工具箱）。
本页只汇总课堂精编这 8 讲（课堂主线第 2–5 章目前由讲座页承载），与上面两页互补、不逐条重复。
每条结论都链到讲次页的具体小节。讲次页正文是权威版本：要改公式，先改讲次页，再同步本页。
第 8 讲（10-12）的转写与板书关键帧已归档，但讲座页尚未写出；本页凡涉及该讲内容（唯一性、收敛阶、牛顿法二阶收敛）均以第 9 讲开头的复盘为据。

一、八讲主线

8 个讲次页不是 8 个孤岛：每一讲的入口都压在前一讲的产物上。下表按依赖顺序串成一条线（不是在讲次列表上抄一遍）。

讲次	主题	关键结论（一句话）	压在前面哪一讲的产物上
第 1 讲	数值分析对象与误差理论	四类误差里只有截断 / 舍入可控；误差三件套与四则误差限立起全课程的误差语言	起点（无依赖）
第 2 讲	有效数字、精度技巧与范数	误差理论落成四条精度保护技巧；由距离公理化出范数，得相容关系 $\lVert Ax\rVert\le\lVert A\rVert\lVert x\rVert$	第 1 讲的误差限公式（技巧 1、4 都是它的推论）
第 3 讲	矩阵范数与高斯消去	矩阵 1-范数 = 最大列和、 $\infty$ -范数 = 最大行和；找一个范数使 $\lVert A\rVert\lt1$ 即判 $I\pm A$ 可逆；高斯消去与列主元	第 2 讲范数四公理与从属范数（ $\lVert A\rVert_\infty$ 的推导直接用相容关系）
第 4 讲	LU 分解与迭代法引论	消去的矩阵形式给出 LU（Doolittle 逐圈公式）；三对角追赶法 $O(n)$ ；分裂 $A=N-P$ 与收敛定理的唯一性部分	第 3 讲的高斯消去（矩阵形式）与可逆判据（ $\lVert G\rVert\lt1\Rightarrow I-G$ 可逆）
第 5 讲	收敛理论、误差估计与 Jacobi / Gauss–Seidel	充要条件 $\rho(G)\lt1$ （对角化解耦自证）；先验 / 后验误差估计回答「差小即停」；Jacobi、行对角占优、Gauss–Seidel	第 4 讲的分裂框架与迭代格式
第 6 讲	逐次超松弛法（SOR）与特征值问题开篇	SOR 构造与显示化； $\omega\in(0,2)$ 必要；严格对角占优 + $0\lt\omega\le1$ 充分（反证全证）；Ostrowski 定理	第 5 讲的 $\rho(G)$ / $\lVert G\rVert$ 两条判据与 Gauss–Seidel 的分裂
第 7 讲	幂法、反幂法；非线性方程开篇	$\lambda_1$ 必为实数；幂法先单位化再乘 $A$ ；2-范数下 $y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$ ；反幂法每步解 $Au_{k+1}=y_k$ ；二分法与不动点迭代收敛定理	第 6 讲末「求模最大特征值」的问题设定；反幂法每步要吃第 3、4 讲的解方程组
第 9 讲	牛顿法全局收敛、割线法与插值引论	收敛阶定理（导数消失到第 $m-1$ 阶 $\Rightarrow m$ 阶）；牛顿法四条件全局收敛；割线法 $1.618$ 、单点割线法一阶；插值：范德蒙德存在唯一但病态，换拉格朗日基	第 7 讲的不动点框架 + 第 8 讲（占位）的三定理复盘；插值部分则为独立开篇

读法：查某一讲的依赖时横着读；准备考试时竖着看「关键结论」一列。第 3–9 讲的高斯消去、LU、追赶法、迭代法、幂法、非线性方程与插值属于本书第 2–5 章（与原书第 2–5 章同号），目前由讲座页承载——这些讲座页是目前最完整的表述。

二、必记公式与结论

按主题去重汇总。每条给「适用条件」——考试失分多半不是不会算，而是漏了前提。

2.1 误差与有效数字

结论	适用条件 / 注意	出处
误差三件套： $e=x-a$ ； $\lvert e\rvert\le\varepsilon$ 记作 $x=a\pm\varepsilon$ ； $e_{\mathrm r}=\dfrac{x-a}{x}\approx\dfrac{x-a}{a}$	相对误差的定义分母是精确值 $x$ ；改取 $\lvert a\rvert$ 需 $\lvert e\rvert\ll\lvert a\rvert$	第 1 讲 §六
四则误差限： $\varepsilon(x\pm y)=\varepsilon_x+\varepsilon_y$ ； $\varepsilon(xy)\approx\lvert b\rvert\varepsilon_x+\lvert a\rvert\varepsilon_y$ ； $\varepsilon(x/y)\approx\dfrac{\lvert b\rvert\varepsilon_x+\lvert a\rvert\varepsilon_y}{b^2}$	把误差当微分、略去高阶小量 $e_xe_y$ 后用三角不等式；除法含 $b^2$ ——小除数危险	第 1 讲 §六
递推稳定性判据： $y_n=\alpha_n+\beta y_{n-1}$ 的误差按 $\beta^n$ 传播	只看放大因子 $\lvert\beta\rvert$ 是否 $\gt1$ ，不看递推式长什么样； $\lvert\beta\rvert\gt1$ 时倒过来算（远端初值由估计式定住）	第 1 讲 §五例 3
有效数字： $\varepsilon(a)$ 不超过某一位的半个单位时，从最高位第一个非零数字数到该位	与小数位数无关；误差限变大时逐位退位	第 2 讲 §一
精度保护四技巧：连加从小到大、相近大数相减先改写、小根用韦达定理、小数不放分母	四条都是误差限公式的推论，不是经验之谈	第 2 讲 §二

2.2 向量范数与矩阵范数

结论	适用条件 / 注意	出处
向量范数三公理：正定 · 齐次 · 三角不等式； $\lVert x\rVert_1,\lVert x\rVert_2,\lVert x\rVert_p$	范数就是距离/长度的推广	第 2 讲 §三
矩阵范数四公理：比向量多一条次可乘性 $\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$	对从属范数第 4 条是定理，对一般矩阵范数是公理	第 2 讲 §四
从属（算子）范数 $\lVert A\rVert=\max_{\lVert x\rVert=1}\lVert Ax\rVert$	分子分母必须用同一个向量范数；几何上是单位闭曲面上的最远点（2-范数球面、1-范数八面体、 $\infty$ -范数立方体）	第 2 讲 §四
相容关系 $\lVert Ax\rVert\le\lVert A\rVert\lVert x\rVert$ ；乘积不等式 $\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert$	只对适配（相容）的范数对成立；后续一切收敛性分析的起点	第 2 讲 §五
$\lVert A\rVert_1=\max_j\sum_i\lvert a_{ij}\rvert$ （最大列和）； $\lVert A\rVert_\infty=\max_i\sum_j\lvert a_{ij}\rvert$ （最大行和）	2-范数（最大奇异值）课堂留作自学，正文 1.3.4 补全	第 3 讲 §一
存在某个矩阵范数使 $\lVert A\rVert\lt1$ $\Rightarrow$ $I\pm A$ 可逆	反证：设 $x=Ax$ 则 $\lVert x\rVert\le\lVert A\rVert\lVert x\rVert\lt\lVert x\rVert$ 矛盾；不用算行列式	第 3 讲 §二
范数等价性： $a_{pq}\lVert x\rVert_p\le\lVert x\rVert_q\le b_{pq}\lVert x\rVert_p$	只在有限维成立，无限维不成立	第 2 讲 §三

2.3 条件数（课堂的两处落点）

本 8 讲没有成节展开条件数与扰动分析（见补充篇 2.4，汇总见公式卡第十一节）。课堂只在两处用到它，复习时按这两处准备即可：

结论	适用条件 / 注意	出处
手算零件： $\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ 只需要范数与逆——第 3 讲练的正是 $\lVert A\rVert_1$ 、 $\lVert A\rVert_\infty$ 的手算	定义与扰动界见补充篇 2.4；「损失的有效数字位数 $\approx\log_{10}\mathrm{cond}$ 」课堂未讲	第 3 讲 §一
「存在唯一 $\ne$ 能算出来」：范德蒙德矩阵互异节点下非奇异，但病态到没法直接解	病态是问题的属性，列主元这类算法改良救不了它；处置要换提法（换基）	第 9 讲 §十一
对照实例（本页练习 B2）： $\begin{pmatrix}1&1\1&1.001\end{pmatrix}$ 的 $\mathrm{cond}_\infty\approx4.0\times10^3$	量级 3~4 位有效数字的损失；两行近似平行的直接后果	见练习 B2

2.4 高斯消去与 LU 分解

结论	适用条件 / 注意	出处
不用行交换的高斯消去能消成上三角 $\iff$ 前 $n-1$ 个顺序主子式 $\Delta_1,\dots,\Delta_{n-1}\ne0$	充要条件；最后一个主元只管「能不能解」，要唯一解还需 $\Delta_n\ne0$	第 3 讲 §四
列主元：每步取当前列绝对值最大元换到主元位，使 $\lvert m_{ik}\rvert\le1$	动机就是「不让小数当分母」	第 3 讲 §五
消去的矩阵形式： $(P_{n-1}\cdots P_1)A=U$ ， $P=P_{n-1}\cdots P_1$ 与 $L:=P^{-1}$ 都是单位下三角	依据：单位下三角阵的乘积与逆仍是单位下三角	第 4 讲 §一
存在性：前 $n-1$ 个顺序主子式不为 $0$ $\Rightarrow$ $A=LU$ ；解方程走 $Ly=b$ 前代 + $Ux=y$ 回代	这里的箭头是 $\Rightarrow$ （高斯消去那条是 $\iff$ ）；一次分解、反复使用	第 4 讲 §二
Doolittle 逐圈公式： $u_{kj}=a_{kj}-\sum_{s\lt k}l_{ks}u_{sj}$ ， $l_{ik}=\dfrac{a_{ik}-\sum_{s\lt k}l_{is}u_{sk}}{u_{kk}}$	关键是安排顺序（第 1 行 U → 第 1 列 L → 第 2 行 U → …）使每步只含一个未知数	第 4 讲 §三
三对角追赶法：分解不产生填充（ $L$ 下双对角、 $U$ 上双对角），计算量约 $3n=O(n)$	对比朴素高斯消去 $O(n^3)$ ；工程主流，实际软件不用朴素消去	第 4 讲 §四

2.5 迭代法收敛理论

结论	适用条件 / 注意	出处
分裂 $A=N-P$ $\Rightarrow$ $x^{(k+1)}=Gx^{(k)}+d$ ， $G=N^{-1}P$ 、 $d=N^{-1}b$	实际计算每步解 $Nx^{(k+1)}=Px^{(k)}+b$ ，不显式构造 $N^{-1}$	第 5 讲 §一
充要条件：对任意初值收敛 $\iff$ $\rho(G)\lt1$	证法： $G$ 对角化解耦成标量递推 $z_{k+1}=\lambda z_k+E$ ， $\lvert\lambda\rvert\lt1$ 才收敛； $G$ 不可对角化时用若尔当形，结论不变	第 5 讲 §二
充分条件：存在范数使 $\lVert G\rVert\lt1$ $\Rightarrow$ 解存在唯一且对任意初值收敛	大规模问题算不出特征根，实际用这一条； $\rho(G)\le\lVert G\rVert$ （课堂断言未证，补充篇 2.5 有）	第 5 讲 §三
后验估计： $\lVert x^{*}-x^{(k)}\rVert\le\dfrac{\lVert G\rVert}{1-\lVert G\rVert}\lVert x^{(k)}-x^{(k-1)}\rVert$	这就是「相邻差小就停机」的道理； $\lVert G\rVert$ 接近 1 时差小不能断定接近真解	第 5 讲 §三
先验估计： $\lVert x^{(k)}-x^{*}\rVert\le\dfrac{\lVert G\rVert^{k}}{1-\lVert G\rVert}\lVert x^{(1)}-x^{(0)}\rVert$	原书式 2.26，课堂未写、按原书补列；推导规律是「下标 $+$ 幂次 $=$ 常数」	第 5 讲 §三

2.6 Jacobi、Gauss–Seidel 与 SOR 的收敛条件

结论	适用条件 / 注意	出处
Jacobi： $N=D$ 、 $P=-(L+U)$ ； $G=D^{-1}(-(L+U))$ ，分量式 $x_i^{(k+1)}=\frac1{a_{ii}}\bigl(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j^{(k)}\bigr)$	三分 $A=L+D+U$ 中 $L$ 、 $U$ 不含对角线	第 5 讲 §四
行对角占优 $\lvert a_{ii}\rvert\gt\sum_{j\ne i}\lvert a_{ij}\rvert$ $\Rightarrow$ $\lVert G\rVert_\infty\lt1$ $\Rightarrow$ Jacobi 收敛	列对角占优同样成立（原书定理 2.12 括注），证法不同；Crank–Nicolson 离散后的矩阵就是行对角占优	第 5 讲 §四
Gauss–Seidel： $N=L+D$ 、 $P=-U$ ；本轮已算出的新分量立刻投入使用	「形式隐式、实际显式」： $x^{(k+1)}$ 前只挂严格下三角，一行一行往下算	第 5 讲 §五
SOR： $N=L+\omega^{-1}D$ 、 $P=(\omega^{-1}-1)D-U$ ； $\omega=1$ 时退化为 Gauss–Seidel	对角部分按 $\omega^{-1}:(1-\omega^{-1})$ 分配；显示化只用「移项 + 两边乘 $\omega D^{-1}$ 」	第 6 讲 §二 · §四
必要条件：SOR 收敛 $\Rightarrow$ $0\lt\omega\lt2$ （证法 $\lvert\det G\rvert=\lvert\omega-1\rvert^{n}\lt1$ ）	必要不充分：只约束特征值之积；「区间外一定不收敛，区间内不保证收敛」	第 6 讲 §五
充分条件 ①：严格行（列）对角占优 + $0\lt\omega\le1$ $\Rightarrow$ 收敛	证明靠引理「严格对角占优 $\Rightarrow$ 可逆」+ 反证 $\mu I-G$ 奇异；对角放大、其余缩小 $\Rightarrow$ 「更对角占优」矛盾	第 6 讲 §六 · §七
充分条件 ②（Ostrowski）： $A$ 对称正定 $\Rightarrow$ SOR 收敛 $\iff0\lt\omega\lt2$	只述不证，记结论；实际用 $\omega\gt1$ 加速正是靠它保驾护航	第 6 讲 §八
Jacobi 与 Gauss–Seidel 之间没有一般优劣	可能都收敛、都不收敛、或一收一散；差别只在拆法（拆法即名字）	第 5 讲 §五 · §七

2.7 幂法、反幂法与位移反幂法

结论	适用条件 / 注意	出处
问题设定： $A$ 实矩阵， $\lvert\lambda_1\rvert\gt\lvert\lambda_2\rvert\ge\cdots$ ，特征向量互异	「严格按模最大」这个前提缺不得，全部推导都建在它上面	第 7 讲 §一
实矩阵按模严格最大的特征值必为实数	反证：共轭 $\overline{\lambda_1}$ 也是特征值且模相同，与「严格最大」矛盾	第 7 讲 §二
基本展开 $A^{k}u_0=\lambda_1^{k}\bigl[\alpha_1x_1+\sum_{i\ge2}\alpha_i(\lambda_i/\lambda_1)^{k}x_i\bigr]$ ；两个障碍：相对衰减 $\ne$ 绝对衰减、 $\lambda_1^{k}$ 溢出	直接累乘 $A$ 会溢出，且滤不掉其他分量——这才需要单位化	第 7 讲 §三
幂法： $y_k=\dfrac{u_k}{\lVert u_k\rVert}$ 、 $u_{k+1}=Ay_k$ （先单位化，再乘 $A$ ）	求特征向量时范数随便取；极限 $y_k\to(\lambda_1/\lvert\lambda_1\rvert)^{k}\alpha_1x_1/\lVert\alpha_1x_1\rVert$ ， $\lambda_1\lt0$ 时差一个 $(-1)^{k}$	第 7 讲 §四
特征值提取：取 2-范数时 $y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$	因为 $\lVert y_k\rVert_2=1$ 且 $x_1^{\mathrm T}x_1=\lVert x_1\rVert_2^{2}$ ；换 $\infty$ -范数公式要另作调整	第 7 讲 §五
反幂法： $\lambda$ 模最小 $\Rightarrow$ 对 $A^{-1}$ 用幂法得 $1/\lambda$ ；实际每步解 $Au_{k+1}=y_k$	不构造 $A^{-1}$ ；每迭代一步解一次线性方程组（第 3、4 讲的直接法/迭代法在这里汇合）	第 7 讲 §七
位移反幂法：已知 $\lambda_k$ 的近似 $p$ $\Rightarrow$ 对 $A-pI$ 用反幂法求最小的 $\lambda_k-p$ ，再 $\lambda_k=(\lambda_k-p)+p$	前提是 $p$ 离 $\lambda_k$ 最近；背景是能级 = 特征值	第 7 讲 §八

2.8 非线性方程：不动点迭代与收敛阶

结论	适用条件 / 注意	出处
$f(x)=0\iff x=\varphi(x)$ ，迭代 $x_{k+1}=\varphi(x_k)$ ，极限即不动点；变形不唯一	最省事的构造： $\varphi(x)=x+f(x)$	第 7 讲 §九
二分法： $f$ 连续、 $f(a)f(b)\lt0$ $\Rightarrow$ 有根； $n$ 步后区间长 $\lvert[a_n,b_n]\rvert=\dfrac{b-a}{2^{n}}$	保证收敛但收敛慢；误差随区间长度一起变小	第 7 讲 §九
收敛定理：连续可导 + (i) 自映射 $\varphi([a,b])\subseteq[a,b]$ + (ii) 压缩 $\lvert\varphi'\rvert\le L\lt1$ $\Rightarrow$ 唯一不动点且迭代收敛	两条件各管什么：(i) 管迭代值不越界，(ii) 管收敛	第 7 讲 §十
存在性证明： $F(x)=x-\varphi(x)$ 在两端异号 + 介值定理	第 7 讲当堂只证存在性；唯一性与压缩下的收敛由第 8 讲（占位）与第 9 讲复盘补齐	第 7 讲 §十
收敛阶定理： $\varphi'(s)=\cdots=\varphi^{(m-1)}(s)=0$ 、 $\varphi^{(m)}(s)\ne0$ $\Rightarrow$ $m$ 阶收敛， $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{x_{k+1}-s}{(x_k-s)^{m}}=\dfrac{\varphi^{(m)}(s)}{m!}$	$\varphi'(s)\ne0$ ⇒ 线性； $\varphi'(s)=0,\varphi''(s)\ne0$ ⇒ 二阶（有效数字约翻倍）	第 9 讲 §二

2.9 牛顿法与割线法族

结论	适用条件 / 注意	出处
牛顿法： $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$ ； $\varphi(x)=x-\dfrac{f}{f'}$ ， $\varphi'(x)=\dfrac{ff''}{(f')^{2}}$	$\varphi'(s)=0$ （ $f(s)=0$ 、 $f'(s)\ne0$ ）⇒ 至少二阶	第 9 讲 §二
一般定理只保证局部收敛： $f$ 在根附近二次连续可导、 $f'(s)\ne0$ 、初值充分靠近 $s$	「充分靠近」是存在性邻域，定理不告诉你它多大——初值取远可能跑到别的根或局部极值	第 9 讲 §三
全局收敛定理四条件：(i) $f(a)f(b)\lt0$ ；(ii) $f''$ 不变号；(iii) $f'$ 不为零；(iv) $f(x_0)f''(x_0)\gt0$	(i)+(iii) 夹住并唯一化根；(ii) 保证凸性不变、序列不越界；(iii) 保证单调趋近；(iv) 指定初值侧。核心是「凸性与单调性都不变」	第 9 讲 §四 · §五四格图像
证明骨架（第一种情形，上凸 + 单增）： $x_0\lt x_1\lt s$ → 归纳得单调有界 → 取极限得 $f(s')=0$ → 由唯一性 $s'=s$	关键一步是 Taylor 展开 $f(x_0)=f'(\xi)(x_0-s)$ 与 $f'$ 单调降给出 $0\lt f'(\xi)/f'(x_0)\lt1$	第 9 讲 §六
割线法： $f'(x_k)\approx\dfrac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}$ ， $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$	需要两个初值；几何是过两点的割线与 $x$ 轴交点；阶 $r=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618$ （ $r^{2}-r-1=0$ ）	第 9 讲 §七
单点割线法： $x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)(x_k-x_0)}{f(x_k)-f(x_0)}$ （ $x_0$ 钉住）	代价是降为一阶；同一套四条条件下仍收敛	第 9 讲 §八
Steffensen 迭代法	课堂「点到即止」，留作自阅——本页不展开	第 9 讲 §九

2.10 插值法

结论	适用条件 / 注意	出处
插值问题：已知 $n+1$ 个互异点，求 $P(x_i)=f(x_i)$ 的 $n$ 次多项式	$n+1$ 个条件对 $n+1$ 个系数——「正好」；建模取舍是「尽量找最简单的函数」	第 9 讲 §十
范德蒙德矩阵 $A_{ij}=x_i^{,j}$ ， $\det A=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)\ne0$ $\Rightarrow$ 存在唯一	但病态：节点稍多、稍靠近，条件数指数级恶化，直接解系数会丢大量有效数字	第 9 讲 §十一
拉格朗日基： $l_i(x)=\prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$ ， $l_i(x_i)=1$ 、 $l_i(x_j)=0$ ； $L_n(x)=\sum_i f(x_i)l_i(x)$	系数直接就是 $f(x_i)$ ，一步不用解方程——换基绕开范德蒙德病态	第 9 讲 §十二
误差余项（下一讲起点）： $R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$	第 9 讲页末预告；收敛性（Runge 现象等）留给下一讲，本页练习 B8 只用这个余项式做误差界	第 9 讲 §十二页末

三、最容易混的对照表

读法：只看每张卡的口诀行；做错题时再回来看表格。每张卡都给「依据」——考试写理由要用它。

3.1 残差 / 误差 / 相邻迭代差

口诀：残差 $b-Ax$ 可算，误差 $x-x^{*}$ 不可算，相邻迭代差是第三个量——老师口称的「残差」通常指最后一个。

	残差 $r^{(k)}=b-Ax^{(k)}$	误差 $e=x^{(k)}-x^{*}$	相邻迭代差 $x^{(k)}-x^{(k-1)}$
可算吗	可算（只用已知量）	不可算（ $x^{*}$ 未知）	可算
课堂用途	Krylov 子空间方法用真残差	误差估计的目标	停机判据（后验估计）

依据：第 5 讲 §六考注 4——老师把停机用的相邻迭代差口称为「残差」，标准术语里残差是 $b-Ax$ ，两者不同。「前向误差 / 后向误差」这一对属正文术语（1.2.6），本 8 讲未展开，此处不混入。

3.2 谱半径 $\rho(G)$ / 矩阵范数 $\lVert G\rVert$

口诀： $\rho(G)\lt1$ 是充要条件但算不出， $\lVert G\rVert\lt1$ 是充分条件且好算。

	$\rho(G)$	$\lVert G\rVert$
判别地位	充要（对任意初值收敛）	充分（存在某个范数即可）
强弱	$\rho(G)\le\lVert G\rVert$ ，反向不成立	$\lVert G\rVert\ge1$ 时格式仍可能收敛
大规模问题	算不出特征根，用不了	能用（ $\lVert\cdot\rVert_1$ 、 $\lVert\cdot\rVert_\infty$ 手算即可）

依据：第 5 讲 §二·§三。实例见练习 B4： $\rho(G_J)=0.2887$ 、 $\lVert G_J\rVert_\infty=0.3333$ 。

3.3 局部收敛 / 全局收敛（牛顿法）

口诀：一般定理只说「初值靠近根」，四条件才把初值放到「某个明确的阴影区」。

	一般（局部）定理	全局收敛定理
前提	$f$ 在 $s$ 附近二次连续可导、 $f'(s)\ne0$ 、 $x_0$ 充分靠近 $s$	四条条件（异号 + $f''$ 不变号 + $f'$ 恒不为零 + $f(x_0)f''(x_0)\gt0$ ）
结论	收敛到 $s$ ，二阶	收敛到 $[a,b]$ 上唯一根
初值能离多远	定理不说（存在性邻域）	由 (iv) 指定的那一侧，可以离得很远

依据：第 9 讲 §三与 §四。

3.4 牛顿法 / 割线法 / 单点割线法

口诀：每松一步（去导数 → 去记忆）就掉一档阶，也省一步代价。

方法	每步要用	初值个数	收敛阶
牛顿法	$f(x_k),f'(x_k)$	1	2
割线法	$f(x_k),f(x_{k-1})$	2	1.618（超线性）
单点割线法	$f(x_k),f(x_0)$	1（另加固定点 $x_0$ ）	1

依据：第 9 讲 §七·§八。数值对照见练习 B7。

3.5 Jacobi / Gauss–Seidel / SOR（拆法即名字）

口诀：三种方法是三种拆法，不是三个等级的精度；收敛快慢要看具体矩阵。

	$N$	$P$	备注
Jacobi	$D$ （对角）	$-(L+U)$	按对角 / 非对角拆； $G$ 显式
Gauss–Seidel	$L+D$ （含对角下三角）	$-U$	按上 / 下三角拆；新分量立刻投入使用
SOR	$L+\omega^{-1}D$	$(\omega^{-1}-1)D-U$	把对角部分按参数分配； $\omega=1$ 退化为 GS

依据：第 5 讲 §四·§五、第 6 讲 §二。「GS 一定比 Jacobi 收敛性强」是错的——三者可能都收敛、都不收敛，或一收一散。

3.6 SOR 的 $\omega$ ：必要 / 充分三层

口诀：区间外一定不收敛（必要），区间内要看矩阵类型（充分）。

矩阵类型	$\omega$ 的结论	强度
一般矩阵	收敛 $\Rightarrow\omega\in(0,2)$	必要（由 $\lvert\det G\rvert=\lvert\omega-1\rvert^{n}$ 而来，只约束特征值之积）
严格行（列）对角占优	$0\lt\omega\le1$ $\Rightarrow$ 收敛	充分
对称正定（Ostrowski）	收敛 $\iff0\lt\omega\lt2$	充要（区间是开的）

依据：第 6 讲 §五·§七·§八。 $\omega=2$ 为何不行： $\rho(G)=1$ （练习 B5、D2）。

3.7 「能消成上三角」/「方程组有唯一解」

口诀：前 $n-1$ 个顺序主子式管「能不能消」，第 $n$ 个管「能不能解」。

问题	判据	来源
不用行交换能消成上三角	前 $n-1$ 个顺序主子式 $\Delta_1,\dots,\Delta_{n-1}\ne0$ （充要）	高斯消去定理
$Ax=b$ 有唯一解	$\Delta_n\ne0$ （即 $A$ 非奇异，最后一个主元非零）	线性代数基本结论

依据：第 3 讲 §四、第 4 讲 §二。反例： $A=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$ 非奇异（有唯一解），但 $\Delta_1=0$ ，不换行第一步就消不动。

3.8 幂法：求特征向量 / 求特征值

口诀：算向量范数随取；算特征值必须 2-范数。

	求特征向量	求特征值
范数取法	$\lVert\cdot\rVert$ 任意（极限与范数无关）	必须 $\lVert\cdot\rVert_2$
公式	$y_k\to\dfrac{\alpha_1x_1}{\lVert\alpha_1x_1\rVert}$ （ $\lambda_1\gt0$ ）	$y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$
前提	先单位化、再乘 $A$ （顺序不能反）	同上，且 $\lVert y_k\rVert_2=1$

依据：第 7 讲 §四·§五。 $\lambda_1\lt0$ 时向量极限差一个 $(-1)^{k}$ ，但 $y_k^{\mathrm T}Ay_k$ 里两个 $(-1)^{k}$ 相消。

3.9 反幂法 / 位移反幂法

口诀：反幂法把「模最小」翻成「模最大」；位移把「最接近 $p$ 」也翻成「模最小」。

	反幂法	位移反幂法
目标	模最小的特征值	最接近已知近似 $p$ 的特征值
手段	对 $A^{-1}$ 用幂法	对 $A-pI$ 用反幂法
回收	$\lambda=1/(\text{幂法算出的值})$	$\lambda_k=(\lambda_k-p)+p$
实际计算	不构造 $A^{-1}$ ，每步解 $Au_{k+1}=y_k$	每步解 $(A-pI)u_{k+1}=y_k$

依据：第 7 讲 §七·§八。

3.10 「存在唯一」/「能算出来」

口诀：存在唯一是存在性结论，不是可用算法；能不能算要看条件数与基的选择。

	存在唯一	能算出来
依据	$\det A=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)\ne0$ （点互异）	条件数、基的选择、是否相消
范德蒙德路线	成立	失败：条件数指数恶化
拉格朗日路线	同一条多项式（与基无关）	成功：系数直接读出 $f(x_i)$

依据：第 9 讲 §十一·§十二。注意：「存在唯一」也不蕴含「节点加密就收敛」——第 9 讲页末只点了 Runge 现象的名字，具体例子留给下一讲（需核实于下一讲）。

四、复习路线

三档路线，只按剩余时间选一档，不要混着走。共同前提：讲次页的页身（课堂时间线、板书时间戳、错词对照表）复习时一律不看。

4.1 考前 2 小时

顺序	读什么	大约
1	本页 §二：遮住「适用条件」列自测，默不出公式就打勾	40 min
2	本页 §三：只读十张卡的口诀行 + 「依据」链接	20 min
3	8 个讲次页页首的「10 分钟复习版」盒（按第 5 → 6 → 7 → 9 → 3 → 4 → 2 → 1 的倒序，先啃最厚的）	45 min
4	各讲「老师强调」小节（第 5、6、7、9）只读标题句	10 min
5	必考点总表扫一遍	5 min

4.2 考前 1 小时

顺序	读什么	大约
1	本页 §二的 2.5–2.9（迭代、SOR、幂法、非线性、割线）——这五节是课堂精编独有的内容	25 min
2	本页 §三全部口诀行（十行）	10 min
3	第 5、第 6、第 7、第 9 四讲的核心小节各读一遍	20 min
4	练习页 A 组快速过一遍（只看题干，判断能不能立刻说出理由）	5 min

4.3 考前 20 分钟

只做三件事，不学新东西：

背十条口诀（本页 §三的口诀行）：残差可算误差不可算 · 充要算不出、充分好算 · 局部靠条件、全局靠四条件 · 每松一步掉一档阶 · 拆法即名字 · $\omega$ 这三层 · 能消看前 $n-1$ 个、能解看第 $n$ 个 · 向量随取、特征值必须 2-范数 · 反幂法不构造逆 · 存在唯一 $\ne$ 能算出来。
默写三条公式：后验估计 $\frac{\lVert G\rVert}{1-\lVert G\rVert}$ 、 $\lvert\det G\rvert=\lvert\omega-1\rvert^{n}$ 、 $y_k^{\mathrm T}Ay_k\to\lambda_1$ 。
过一眼「老师强调」的原文：第 5 讲 §七与第 6 讲 §十一——这两页的强调句密度最高。

别这样复习

从头顺读讲次页：每讲页身动辄 500 行，时间全花在时间线与错词表上。
只看结论不看条件： $\rho(G)\lt1$ 与 $\lVert G\rVert\lt1$ 、 $\omega\in(0,2)$ 的必要 / 充分，是本 8 讲最集中的失分点。
拿练习页的答案当阅读材料：先闭卷写，写不出来再看——答案默认折叠就是为了这个顺序。

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