补充篇 · 勘误与补注（对应原书）

本页属“补充篇 · 数值线性代数工具箱”，不是课堂第 2 章；课堂第 2 章见线性方程组的解法。

第二章在原书中没有对应章节：它把原书 1.3 节的范数语言（本教程第一章 1.3 已逐条收录并补全证明，见第一章勘误与补注）扩展为一整套正交 / 投影 / 谱工具箱。凡与教材的差异、术语辨析、时效补注，以及本教程自身的更正，集中列在本页。

一、对照教材的补注

原书 1.3 节给出向量范数与矩阵范数的公理、计算公式与 Neumann 型判据（并触到条件数的定义），把内积、正交、投影、QR 分解、条件数理论、谱理论与 SVD 留给后续章节。本章按同样的体例把这几块补齐并扩充，逐条对应如下。

编号	本教程位置	教材的处理	本教程补了什么
C2.1	2.1 内积与正交性	原书 1.3 节从范数公理出发，未把内积公理化	补内积四公理与诱导范数、平行四边形 / 极化恒等式（逆方向的完整证明见附录 A.2.1）、正交矩阵的等价刻画、正交不变性
C2.2	2.2 四个基本子空间与投影	原书未展开四个基本子空间与投影矩阵	补秩定理与两对正交补、正交分解与最近点、投影矩阵 $P=A(A^{\mathrm T}A)^{-1}A^{\mathrm T}$ 的三条性质、正态方程与加权最小二乘
C2.3	2.3 正交化与 QR 分解	原书把 QR 分解与列主元放在第 2 章 2.2.2 一带讲；本教程提前到这里，作为「稳定地算投影」的工具	补经典 / 修正 Gram–Schmidt、Householder 反射、Givens 旋转的构造与对比，核心是三级正交性损失 $\mathrm{cond}^2u$ / $\mathrm{cond},u$ / $u$ （结论与完整分析见 Higham 第 19 章，延伸阅读）
C2.4	2.4 条件数与扰动分析	原书给出矩阵条件数的定义与右端扰动界（本教程 1.3.6 已收录原书部分）	补系数扰动界（含前提 $\mathrm{cond}(A)\rho_A\lt1$ 与它失效时的现象）、「残差 ≠ 误差」的定量关系、Skeel 与成分条件数、Hilbert 矩阵实测
C2.5	2.5 特征值、谱半径与对称谱理论	原书第 3 章 3.1–3.3 讲幂法、反幂法与 QR 方法；圆盘定理等只作结论引用	补 Gerschgorin 连通性条款的证明、Rayleigh 商与 Courant–Fischer、幂法收敛速度与 Rayleigh 商的二阶精度、Weyl 与 Bauer–Fike 扰动界、重特征值的开方敏感
C2.6	2.6 奇异值分解与低秩逼近	原书未涉及 SVD	补 SVD 的存在性证明与两种几何读法、四个基本子空间的标准正交基、伪逆与秩亏最小二乘、Eckart–Young 最优低秩逼近、数值秩
C2.7	2.7 数值实验	原书以手算例题为主，没有可复现的实验	补四组实验（正交性退化、条件数与有效数字、低秩逼近与 PCA、幂法与敏感性），每组附报告要求，输出为真实运行结果

编号约定

第二章没有原书编号可对，全章使用本教程的节级编号（定理 2.3.1、例 2.6.4、算法 2.5.1），锚点与引用方式与第一章一致；凡属原书后续章节（列主元消去、LU 分解、迭代法收敛性、QR 迭代、幂法 / 反幂法、Tikhonov 正则化）的内容，正文一律用虚线的「课程预告」框标出，不越出已讲范围展开（范围声明）。

二、术语与常见译误

术语	常见说法	建议用法	要点与出处
内积 vs 点积	两者互换使用	内积（inner product）是公理化概念；点积（dot product）专指 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}\boldsymbol{y}$ 这个算式	加权内积 $\boldsymbol{x}^{\mathrm T}D\boldsymbol{y}$ 是合法的内积，却不是点积；提「投影」时必须说明是在哪个内积下（2.1.1、2.2.5）
正交 vs 酉	把复矩阵的酉性也叫「正交」	实矩阵说正交（orthogonal），复矩阵说酉（unitary）	本教程只处理实矩阵（定义 2.1.3）；复情形要把 $\lvert\det Q\rvert=1$ 、保范数等结论按共轭转置改写。另注意：正交阵的复特征值只是「模为 1」（ $\mathrm e^{\pm\mathrm i\theta}$ ），并非 $\pm1$ （例 2.1.4）
投影 vs 正交投影	工程语境里把「投影」默认当成正交投影	投影 = 幂等算子（可以斜）；正交投影 = 对称 + 幂等	只幂等、不对称的是斜投影，其余项不垂直于目标子空间（定理 2.2.5 后的注、习题 A2(b)）
特征值 vs 奇异值	把 $\sigma_i$ 读成「特征值」，或直接写 $\sigma_i=\lvert\lambda_i\rvert$	特征值只有方阵有、可负可复；奇异值总非负、共 $\min(m,n)$ 个	$\sigma_i=\lvert\lambda_i\rvert$ 只在正规矩阵（含对称）上成立。反例： $\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}$ 的 $\lambda=0$ 而 $\sigma_1=1$ （2.6.7）
条件数 vs 谱半径	「用条件数判断迭代收敛」	条件数 $\mathrm{cond}(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert$ 管精度；谱半径 $\rho(A)$ 管收敛速度	$\rho(A)\le\lVert A\rVert$ 是估计式而非等式：非正规矩阵上两者可以差几个数量级（2.5.1 的注、例 2.5.6）
正态方程	以为 normal equations 与概率的「正态分布」有关	本教程统一译作正态方程	这里的 normal 是「法向 / 垂直」的意思： $A^{\mathrm T}(A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{0}$ 正是「余项与列空间垂直」的代数写法（定理 2.2.6）。中译另有「正规方程」「法方程」两种说法
正规矩阵 vs 正交矩阵	把 normal matrix 与 orthogonal matrix 混为一谈	正规（normal）： $A^{\mathrm T}A=AA^{\mathrm T}$ ；正交（orthogonal）： $Q^{\mathrm T}Q=I$	正交矩阵是正规矩阵的特例；「非正规矩阵」指特征向量组不正交的那些矩阵，是重特征值开方敏感的主角
病态 vs 不稳定	「这个算法病态」	病态（ill-conditioned）属于问题；不稳定（unstable）属于算法	同一病态矩阵换 Cholesky / QR / SVD，误差量级相同（2.4.6、2.8.2 陷阱 4）
秩 vs 数值秩	用「秩」描述带噪矩阵	秩是精确概念；数值秩 $=#{i:\sigma_i\gt t\sigma_1}$ ，阈值 $t$ 按噪声水平选取	阈值选错会让秩判定差好几倍（2.6.4 思考、实验三 (d)）

本表的边界

这里只处理「叫什么、怎么用」；概念之间成对的辨析在易混对照卡，术语的中英对照与定义位置全表在术语索引。

三、时效与工具补注

原书成书于 2012 年。本章讲的线性代数结论没有变，变的是「怎么算」：当年需要手算或借 MATLAB 的分解，如今同一批 LAPACK 例程由 NumPy / SciPy 直接暴露。逐条对照如下。

教材年代的写法	现在的一行代码	补注
形成 $A^{\mathrm T}A$ 再解正态方程	`np.linalg.lstsq(A, b)`	当年正态方程是默认做法；现在默认走 SVD / QR，条件数不再被平方（2.3.6）
手写 Gram–Schmidt 正交化	`np.linalg.qr(A)`	现在默认是 Householder（LAPACK `geqrf`）；经典 Gram–Schmidt 只留作教学反例（2.3.3、实验一）
查表 / 手估条件数	`np.linalg.cond(A, 2)`	2-范数版走 SVD；而 `cond(A, 1)` / `cond(A, inf)` 按「范数 × 逆的范数」实现，会显式求逆（2.4.5、工具箱第四节）
手工消元判秩	`np.linalg.matrix_rank(A)`	默认阈值 $\sigma_1\max(m,n)\mathrm{eps}$ 只适合「精确矩阵、数值降秩」；带噪数据要自己给 `tol`（2.6.7）
手推幂法 / 反幂法	`scipy.sparse.linalg.eigsh`（对称）/ `eigs`（非对称，Arnoldi）	大规模稀疏用 Lanczos / Arnoldi；小矩阵直接 `eigh` / `eig`（2.5.3）
把求逆当通用工具	`np.linalg.solve`	显式求逆解方程既慢约 2.5 倍，又损精度（复算见工具箱第五节）

两条与日期挂钩的提醒

① 库的默认阈值随版本变（lstsq / pinv 的 rcond、matrix_rank 的 tol 都在其列）；本页与工具箱的数值在本机 numpy 2.4.6 / scipy 1.18.0 上核对过，动手前查当前版本文档。② 本章不写「某库某版本更快」这类结论——性能随 BLAS 实现与硬件变化，需要时以本机实测为准。

四、本教程更正记录

编号	类型	位置	情况与处理
E2.1	缺页补齐	第二章章末	本章此前没有勘误页（第一章有、第二章缺，章末止于习题与自检表）。现已补齐本页，并在目录（SUMMARY）的第二章章末段登记，位置与第一章的勘误页对应。
E2.2	数字更正	2.7「实验三」结论 2	原文写「 $\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6\approx10.15$ 四个几乎相等」。复算（用该节代码， $N=120$ 合成图像）得 $\sigma_3=23.7692$ ；近似相等的其实是 $\sigma_4$ – $\sigma_7$ （ $10.1484,\ 10.1484,\ 10.1484,\ 10.1422$ ）。2.6.6 写的「 $\sigma_4$ – $\sigma_7$ 」是对的，以 2.6.6 为准。已修正正文：`sec27.md` 该处已改为「 $\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6,\sigma_7\approx10.15$ 四个几乎相等（ $\sigma_3=23.77$ 不在此列）」，与 2.6.6 口径统一。
E2.3	表述澄清	2.6.6 与 2.7 结论 2	同一处奇异值群，两页分别写作「 $\sigma_4$ – $\sigma_7\approx10.1$ 三个近似相等」与「四个几乎相等」。精确说法是：这四个值中前三个逐位相等（ $10.1484$ ）、第四个为 $10.1422$ ——即「三个相等 / 四个接近」，两种说法各对一半，两段都不必改字，但引用时按此理解（`sec27.md` 已补注 $\sigma_3$ 不在此群）。
E2.4	环境差异	2.3.3 实测表与 2.7.1 实验一表	同一个 $n=12$ 的 Vandermonde 矩阵，两表分别记 $\mathrm{cond}=4.34\times10^{9}$ 、CGS $=2.46$ 与 $4.35\times10^{9}$ 、 $2.47$ 。两表来自不同运行环境（BLAS 与 NumPy 版本不同）；本机 numpy 2.4.6 复算得 $4.34\times10^{9}$ 、 $2.46$ 。量级与结论一致，比较跨平台数字只看量级——正文已声明「逐位因平台的 BLAS 实现而异」。
E2.5	环境差异	例 2.4.2 的 Hilbert 表	$n=12$ 行记 $\mathrm{cond}=1.719\times10^{16}$ 、最大误差 $2.2\times10^{-1}$ ；本机复算得 $1.659\times10^{16}$ 、 $5.2\times10^{-1}$ 。既有结论（ $\mathrm{cond}\cdot u\gt1$ 、双精度结果没有意义）两处完全一致，差异来自 BLAS。

其余输出的复算结论： 实验一至实验三的输出表（正交性退化、Hilbert 条件数与正态方程 / QR 分水岭、Eckart–Young 与低秩压缩）、例 2.4.1–2.4.5、例 2.5.2–2.5.6、例 2.6.1–2.6.6 的关键数值均已逐条复算，除上面登记的 E2.2–E2.5 之外与正文吻合（逐位或同量级，视平台而定）。

依据颜庆津《数值分析》（第 4 版）1.3 节扩充编写 · 术语用法与术语索引、易混对照卡互补 · 复算环境 numpy 2.4.6 / scipy 1.18.0 · 整理日期 2026-10-20。

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补充篇 · 勘误与补注（对应原书）

一、对照教材的补注

二、术语与常见译误

三、时效与工具补注

四、本教程更正记录