补充篇 · 全篇总结

本页属“补充篇 · 数值线性代数工具箱”，不是课堂第 2 章；课堂第 2 章见线性方程组的解法。

这一页只做一件事：把第二章压缩成能带走的东西。逐节的关键结论与典型陷阱见第二章导览的八节一览表；必记公式见公式与结论卡；易混概念见易混对照卡；章节定位（选型表）见 2.8。

一条主线

范数（1.3）只回答「多大」；内积（2.1）回答「垂直」；正交结构（2.2）给出子空间的正交分解与投影；为稳定地计算投影，必须造标准正交基（2.3 QR 分解）；条件数（2.4）回答「能信几位」；谱半径与特征值（2.5）回答「迭代多快收敛、对扰动多敏感」；奇异值（2.6）统一了范数、条件数、四个子空间、低秩结构与伪逆——SVD 是本章的终点，也是现代数值线性代数的中心。

三句话带走

只看这三句、再配合公式与结论卡与易混对照卡，就是本章考前的最后一遍。

1. $A=U\Sigma V^{\mathrm T}$：旋转 → 拉伸 → 旋转。 矩阵的全部几何都在这个分解里；$\lVert A\rVert_2=\sigma_1$、$\mathrm{cond}_2(A)=\sigma_1/\sigma_r$、$\operatorname{rank}A=#{\sigma_i\gt0}$、最佳秩 $k$ 逼近 $=A_k$。遇到线性代数问题，先问「这个矩阵的 SVD 长什么样」。
2. 正交变换是安全的，非正交变换要付条件数的代价。 Householder、Givens、正交对角化都「不放大误差」（2.1.6）；正态方程（形成 $A^{\mathrm T}A$）要付 $\mathrm{cond}^2$ 的代价。这一条是「选算法」的第一原则。
3. $\mathrm{cond}$ 管精度、$\rho$ / $\lVert A\rVert$ 管收敛，但精度与收敛是两回事。 病态是问题的属性（换算法无效），不稳定是算法的属性（换问题无效）；而 $\rho\lt1$ 只保证渐近收敛、非正规矩阵可以「瞬态增长」——稳妥的收缩判据是 $\lVert A\rVert\lt1$。

第一章与补充篇合起来的主线

第一章：翻译产生误差（1.1）→ 误差可度量、会传播（1.2）→ 度量与控制的语言是范数（1.3）。 第二章：范数的几何实现是内积（2.1）→ 内积给出正交、正交给出投影与最小二乘（2.2）→ 稳定地计算投影需要 QR（2.3）→ 「有多敏感」由条件数与谱回答（2.4、2.5）→ 「有多低维」由奇异值回答（2.6）。