范围声明与使用方法
本教程依据颜庆津《数值分析》（第 4 版，北京航空航天大学出版社，2012）整理扩充而成，目前包含课堂主线、补充篇与课堂精编三部分：
- 第一章 绪论（对应原书第 1 章「绪论」，原书第 1–13 页）：研究对象、误差知识与算法知识、向量范数与矩阵范数；
- 第 2–7 章 课堂主线（按庞刚老师七章顺序，与原书第 2–7 章同号）：线性方程组、特征值、非线性方程、插值、数值积分、常微分方程；第 2–5 章目前由讲座页承载；
- 补充篇 · 数值线性代数工具箱（原第二章后移，对标原书 1.3 节并大幅扩充）：内积与正交性、四个基本子空间与投影、正交化与 QR 分解、条件数与扰动分析、特征值与对称谱理论、奇异值分解与低秩逼近；课堂未系统讲；
- 课堂精编（2026 秋学期实录）：北航《数值分析 I》（主讲庞刚）的逐讲归纳，由课程录播的语音转写与板书整理、订正而成，随课程推进持续更新，并与正文小节互相索引——见课堂精编导览。
原书叙述凝练、例题与习题经典，但部分证明标注「从略」或「留给读者」；又成书于 2012 年，未覆盖现代数值计算赖以运转的浮点标准、向后误差分析框架与 SVD 等方法；例题也以手算为主，缺少可复现的实验。为此，本教程在不改动原书结论的前提下做三类工作：
| 做法 | 说明 |
|---|---|
| 不丢内容 | 原书第一章 1.1–1.3 三节的每一条定义、定理、例题与讨论全部收录；原书定理 1.1–1.5、例 1–6、习题 1–15 都能与原书逐条对照——原书编号写在盒子标题的括注与题面方括号里，正文用全书统一的节级编号（对照表见 1.3 节开头的「编号对照」注）。原书未编号的定义，本教程按所属小节补编号（如「定义 1.2.3」）。 |
| 补全与补注 | 原书省略的证明全部补出：定理 1.3.1 中 1-范数与 ∞-范数的范数性、定理 1.3.3 范数等价定理、Frobenius 范数的全部性质；另补 Cauchy–Schwarz、Neumann 级数、p-范数极限与 Sterbenz 引理。原书例 1–6 的全部数值也逐条复核过，结论见勘误与补注。 |
| 扩充知识、例题与习题 | 第一章新增三块现代内容：机器数与 IEEE 754 浮点（1.2.5）、向前 / 向后误差与条件数（1.2.6）、范数与 SVD 的联系（1.3.6）；补充篇整篇为新增，把原书 1.3 节的范数语言升级为完整的正交 / 投影 / 谱工具箱。第一章与补充篇共 7 组可复现数值实验；习题集各 20 题、全部附解答或提示，编程题另给验收标准。 |
新增内容只使用已讲过的概念和 Python（numpy / math / decimal 标准库），不引入后续章节的方法；凡属后续章节才严格展开的结论（矩阵条件数的完整理论、谱半径与迭代法收敛、SVD 的算法实现、PCA），一律用虚线的「课程预告」框标出。
编号约定：正文一律用节级编号，即「节号 + 组内序号」（定理 1.3.6、定义 1.2.1、例 2.6.1、算法 2.3.1）。原书编号（定理 1.1–1.5、例 1–6、习题 1–15）只写在盒子标题的括注与题面方括号里，正文提到时带「原书」二字；两套编号的对照表放在 1.3 节开头的「编号对照」注中。补全的证明在 ::: proof 块内；补注条目统一编号（N1、N2、…）。原书页码以 2012 年第 4 版为准。
怎么用这份教程
- 先做诊断：入学诊断自测 用 12 道题判断你该从哪一节开始——省时间，不必从头读到尾。
- 对照原书：第一章的全部定理、例题、习题都保留原书编号，可逐条对照；小节标题也沿用原书 1.1 / 1.2 / 1.3 的划分。补充篇是扩充篇，没有原书编号可对，按补充篇内部编号阅读即可。
- 先读直觉，再抠证明：每个定义、定理前都配一个蓝色「直觉」框，先用白话讲清它在说什么、为什么需要它；证明收在定理后的
::: proof块内，第一遍可以整段跳过，二刷再逐行补。 - 动手实验：1.2.7、1.3.6 与 2.7 的实验代码都可以直接复制运行；本教程中展示的输出都是真实运行结果，你复现时数字应当逐位一致（计时类除外）。
- 自检：每节末尾有小结，列出常见错误与误解；每章末尾有习题集（A 概念 / B 证明 / C 计算编程 / D 开放建模，全部附解答或提示）以及把学习目标对应到小节的自检表。
- 跟课堂：正在修读 2026 秋《数值分析 I》的同学，可把课堂精编当作每周复习的对照材料——每讲开头都标了对应的正文小节；老师板书的例题与正文的例题在编号上可以互相印证。课堂精编按讲课顺序组织，正文按概念链组织，两者交叉读效果最好：先读正文小节建立框架，再读对应讲次看老师怎么讲、强调什么。