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全章总结

十二节一览

节关键结论典型陷阱
2.1 刚体的姿态位姿 = 位置（式 2.1）+ 姿态；姿态靠 9 个方向余弦（原理 2.1.A）；o′\boldsymbol o' 是有界向量以位置代位姿
2.2 旋转矩阵RR 按列成阵（定义 2.2.1）；RTR=IR^TR=I、R−1=RTR^{-1}=R^T、det⁡R=+1\det R=+1（定义 2.2.2）；9 量 6 约束 3 独立（9 个量、6 个约束、3 个独立参数）；基本旋转式 2.6–2.9；三重身份（定理 2.2.B）上下标读反；det⁡R=−1\det R=-1 当旋转
2.3 旋转矩阵的合成绕当前轴右乘（原理 2.3.A）、绕固定轴左乘（原理 2.3.B）；逆关系式 2.16；不可交换（例 2.3）把 ϕ\boldsymbol\phi 当向量；背反乘法顺序
2.4 欧拉角27 组合仅 12 可行；ZYZ 右乘（式 2.18）与两支逆解（式 2.19–2.20）；RPY 左乘（式 2.21）与两支逆解（式 2.22–2.23）；奇点 sϑ=0s_\vartheta=0 / cϑ=0c_\vartheta=0（定理 2.4.B）；Atan2 准则（原理 2.4.A）用 arccos 反解；忘第二支解；RPY 角名配错轴
2.6 单位四元数（教材补充）半角打包 Q={η,ϵ}Q={\eta,\boldsymbol\epsilon}（定义 2.6.1）；正解式 2.33 / 逆解式 2.34–2.35；修掉不唯一与逆解奇点（原理 2.6.A）忘记归一化；把 η→−η\eta\to-\eta 当漏解
2.5 角和轴五步左乘合成（式 2.24）→ Rodrigues 矩阵（式 2.25；完整推导 证明，紧凑形式 cI+(1−c)rrT+sS(r)cI+(1-c)\boldsymbol r\boldsymbol r^{\mathrm T}+sS(\boldsymbol r)）；R(ϑ,r)=exp⁡(ϑS(r))R(\vartheta,\boldsymbol r)=\exp(\vartheta S(\boldsymbol r))、逆解 =log⁡=\log（李代数 so(3)so(3)，定理 2.5.D、定理 2.5.E）；R(−ϑ,−r)=R(ϑ,r)R(-\vartheta,-\boldsymbol r)=R(\vartheta,\boldsymbol r)（定理 2.5.A）；迹求角、反对称求轴；ϑ=0,π\vartheta=0,\pi 失效（定理 2.5.B）写成右乘；忘归一化校验
2.7 齐次变换p~\tilde{\boldsymbol p}、A∈SE(3)A\in SE(3)（定义 2.7.1）；逆的分块公式、A−1≠ATA^{-1}\neq A^T；连乘（原理 2.7.A）是 DH 的地基对 AA 求转置当逆；右上块上下标读反
2.8 正运动学与 DH编号约定（定义 2.8.1）；TebT_e^b（定义 2.8.2）；几何法天花板（例 2.4）；DH 四规则 + 不唯一五情形（不唯一的五种情形） + 能零则零（总原则：让参数尽量为零）；四参数 3 常 1 变（定义 2.8.3）；Aii−1A_i^{i-1}（Aii−1A_i^{i-1}：从建系几何直接读出两步分解）；十步流程ziz_i 配错关节；αi\alpha_i 翻符号；变量放错列
2.9 典型结构运动学平面臂（全零表）、球形臂（d3d_3 不进旋转块）、拟人臂、球形腕（旋转块 = ZYZ！）、斯坦福（接口一致连乘）、带腕拟人臂（重建系）、DLR（7 轴冗余）、平行四边形臂（观察 2.9.2.A，补充，闭链化归开链）、类人机械手（补充，双树）α\alpha 正负凭感觉；接口不齐强行连乘
2.10 两空间xe=k(q)\boldsymbol x_e=k(\boldsymbol q)（定义 2.10.1）；方向解析式一般写不出（解析式一般写不出；显式之例 例 2.5）；可达 ⊇ 灵活工作空间（定义 2.10.2）；精度 vs 重复精度（精度 vs 重复定位精度）；本质 / 功能冗余（定义 2.10.3）原点工作空间当姿态工作空间；6 轴「永远刚好」
2.11 运动学标定Δx=ΦΔξ\Delta\boldsymbol x=\Phi\Delta\boldsymbol\xi；tm≥4ntm\ge4n（宜远大于）；最小二乘 + 迭代（标定三步法）；厂家 / 用户两级标定（谁做标定、何时做）一轮线性化当最终解；量测位姿太集中
2.12 逆运动学四难点（定理 2.12.A）；解耦条件与 pw=pe−d6ae\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e（定理 2.12.B、解耦五步）；平面臂双解法；球形臂半角代换；拟人臂 4 解（定理 2.12.C）；球形腕 = ZYZ 反解忘扣 d6d_6；丢解支；工作空间外硬算

一条主线

运动学的全部内容围着「表示」与「传递」转：旋转矩阵是最诚实的表示（9 量、无奇点、会连乘），欧拉角与角和轴是经济的表示（3 / 4 参数、有代价），齐次变换是可传递的表示（位置 + 指向、连乘即合成）；DH 法把传递标准化为「4n 参数 + n 次连乘」，于是正运动学成为流水线，逆运动学成为「只在解耦构型下有闭式解」的谜题——这个不对称，正是第 3 章微分运动学出场的引言。

三句话带走

  1. 右乘当前轴、左乘固定轴——一切序列合成、ZYZ 与 RPY 的对偶、DH 的 AiA_i 连乘，全是这一条规则的换装登场。
  2. DH 参数表是正运动学的全部：3 常 1 变 × n 行，建系时「能零则零」；表对则一切对，表错则全错——老师反复强调的基本功。
  3. 逆解前先看构型：球形腕（三轴交点）或三轴平行才有闭合解；解耦点 pw=pe−d6ae\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e 一算，6 元问题立刻瘦身成「三角题 + ZYZ 查表」。

依据 Siciliano 等《机器人学：建模、规划与控制》第 2 章整理 · 整合第 2 周课程录播 · 整理日期 2026-09-15

全 章 完