A1 核对

把 9 个方向余弦按列排成 $R=\begin{bmatrix}\boldsymbol x'&\boldsymbol y'&\boldsymbol z'\end{bmatrix}$，每一列就是固连系对应轴在参考系中的表示（故又称方向余弦阵）。两条性质：正交性 $R^{\mathrm T}R=I_3$（等价 $R^{-1}=R^{\mathrm T}$）、行列式 $\det R=+1$（右手系；$\det=-1$ 是含镜像的左手系，不属于 $SO(3)$）。$SO(3)=\{R\in\mathbb R^{3\times3}:R^{\mathrm T}R=I_3,\ \det R=1\}$。（定义 2.2.1、定义 2.2.2）

A2 核对

$R$ 表面 9 个元素；三列模长为 1 给 3 个约束、三列两两垂直再给 3 个约束 ⇒ 一共 6 个约束压掉 6 个自由度，独立参数只剩 3 个。这本账是 ZYZ / RPY 欧拉角（3 参数）、角和轴（4 参数 − 1 约束 = 3）、单位四元数（4 − 1 = 3）以及操作空间取最简表示的共同出发点。（9 个量、6 个约束、3 个独立参数）

A3 核对

① 姿态描述（两坐标系之间的相对指向，列 = 动系轴在参考系中的方向余弦）；② 坐标变换（同一点在两系原点重合时坐标之间的关系，$\boldsymbol p=R\boldsymbol p'$）；③ 旋转算子（同一坐标系内把向量转到新方向的算子）。例：报工具相对法兰的朝向 / 把相机系坐标搬到基座系 / 把刀尖向量绕刀轴转 $30°$。注意 例 2.1 与 例 2.2 形式完全相同而语义不同——读公式先问「同一点还是同一个系」。（定理 2.2.B）

A4 核对

ZYZ：绕参考系 $z$ 转 $\varphi$ → 绕新 $y'$ 转 $\vartheta$ → 绕新 $z''$ 转 $\psi$；三步都绕当前轴 ⇒ 依次右乘 $R_z(\varphi)R_{y'}(\vartheta)R_{z''}(\psi)$，机器人学惯用。RPY（ZYX）：绕固定 $z$ 转 $\varphi$（偏航）→ 绕固定 $y$ 转 $\vartheta$（俯仰）→ 绕固定 $x$ 转 $\psi$（滚转）；全绕固定轴 ⇒ 依次左乘 $R_z(\varphi)R_y(\vartheta)R_x(\psi)$，航空航海惯用。两者互为左 / 右乘对偶。（2.4.2、2.4.5）

A5 核对

任一旋转由旋转轴的单位向量 $\boldsymbol r$ 与旋转角 $\vartheta$（绕 $\boldsymbol r$ 逆时针为正）共同表示，记 $R(\vartheta,\boldsymbol r)$；共 4 个参数，超出最简的 3 个，故为非最简表示，但 $\boldsymbol r$ 受 $r_x^2+r_y^2+r_z^2=1$ 约束，扣掉后独立参数仍为 3。表示不唯一：$R(-\vartheta,-\boldsymbol r)=R(\vartheta,\boldsymbol r)$——「绕 $-\boldsymbol r$ 转 $-\vartheta$」与「绕 $\boldsymbol r$ 转 $\vartheta$」是同一旋转，两组参数都留在表示里、无人裁决。（定义 2.5.1、定理 2.5.A）

A6 核对

$\tilde{\boldsymbol p}=\begin{bmatrix}\boldsymbol p\\1\end{bmatrix}$；$A_1^0=\begin{bmatrix}R_1^0&\boldsymbol o_1^0\\ \boldsymbol 0^{\mathrm T}&1\end{bmatrix}$，属于特殊欧几里得群 $SE(3)=\mathbb R^3\times SO(3)$。分块职责：左上 $3\times3$ 管指向、右上 $3\times1$ 管位置、底行占位（当两系原点重合时退化为纯旋转）。$A$ 不再保持正交性：一般地 $A^{-1}\neq A^{\mathrm T}$。（定义 2.7.1）

A7 核对

参数	含义	属性
$a_i$	杆件长度（公垂线长度，沿 $x_i$）	恒为常数
$d_i$	关节距离（$o_i'$ 沿 $z_{i-1}$ 的坐标）	移动关节时为变量
$\alpha_i$	杆件扭角（$z_{i-1}$ 与 $z_i$ 的夹角，绕 $x_i$ 逆时针为正）	恒为常数
$\vartheta_i$	关节转角（$x_{i-1}$ 与 $x_i$ 的夹角，绕 $z_{i-1}$ 逆时针为正）	转动关节时为变量

3 常 1 变：$a_i,\alpha_i$ 永远常数；$d_i$ 与 $\vartheta_i$ 中恰有一个是关节变量 $q_i$，由关节类型决定。相邻坐标系本来需要 6 个量，DH 建系规则把它压到 4 个。注意约定不止一种：本编与原书用标准（经典）DH（$z_{i-1}$ 沿关节 $i$ 的轴），Craig《机器人学导论》用改进 DH（$z_i$ 沿关节 $i$ 的轴、次序「先转 $\alpha$ 后转 $\vartheta$」）——两套各自自洽、混用必错；读文献遇 DH 表对不上时，先查约定再怀疑自己（勘误 E2.4）。（定义 2.8.3）

A8 核对

① 非线性（三角函数的复合，闭合形式解未必存在）；② 多重解（同一末端位姿可对应多组关节变量；无穷位限的 6 自由度机械手可多达 16 组解）；③ 无穷多解（运动学冗余）；④ 可能无解（位姿超出可达 / 灵活工作空间）。存在性判据：位姿落在灵活工作空间内，解就必然存在。解法版图：正运动学不管什么臂都能算，逆运动学没有通用解析法，只能针对特殊构型。解不出来先查三件事：① 是否扣了 $d_6$（$\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e$）；② 是否落在工作空间内（容许性条件 $|c_2|\le1$、$|c_3|\le1$、$p_{wx}^2+p_{wy}^2\ge d_2^2$ 是否满足）；③ 是否处在奇点（$s_5=0$ 时腕 4、6 轴共线、解不唯一甚至无穷多）。（定理 2.12.A）

A9 核对

6 自由度结构具有闭合形式逆解的充分条件（满足其一）：① 三个连续转动关节的轴交于一点（球形腕）；② 三个连续转动关节的轴平行。解耦点：腕心 $\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e$——沿接近向量从末端原点回退 $d_6$（工具长度）即得。$d_6$ 的角色：它是腕心到末端原点的「外移长度」，不扣掉它就分不清解出的是腕心的角还是工具端的角。（定理 2.12.B、解耦五步）

B1 核对

绕当前轴（每次绕上一个旋转产生的新坐标系）⇒ 按发生顺序依次右乘：$R_n^0=R_1^0R_2^1\cdots R_n^{n-1}$；绕固定轴 ⇒ 依次左乘（前乘），先转的落在右边。两条规则的时序互为镜像：当前轴「先 $z$ 后 $y'$」与固定轴「先 $y$ 后 $z$」给出同一个终态，且乘积写出来完全相同。所以「固定轴按序 $(\vartheta_1,\vartheta_2)$」=「当前轴按序 $(\vartheta_2,\vartheta_1)$」。（原理 2.3.A、原理 2.3.B、例 2.3.C）

B2 核对

绕谁转，谁那一行 / 列就是 $[0\ 0\ 1]$ 型的「钉住」结构，其余 $2\times2$ 是平面内的 $c,s$ 旋转块（符号按右手准则）。三条常用关系：$R_k(-\vartheta)=R_k^{\mathrm T}(\vartheta)$。$R_y$ 的 $\sin$ 项符号与 $R_x,R_z$ 相反（$R_y(\beta)$ 的 $(1,3)$ 元为 $+s_\beta$、$(3,1)$ 元为 $-s_\beta$）——这是默写最常翻车的一处，2.2 的默写点专门提示过。

B3 核对

三个轴共有 27 种排列，其中只有 12 种可行：若序列中出现「连续绕同一轴」（如 $XXX$、或 $ZXX$ 里的相邻同轴段），两次同轴旋转可以合并成一次，三个角实际只贡献两个独立转动方向，任意的终态姿态就「转不出来」了。奇点：ZYZ 在 $s_\vartheta=0$（$\vartheta=0,\pi$，进动轴与自转轴重合）时只能确定 $\varphi\pm\psi$ 的和或差；RPY 在 $c_\vartheta=0$（俯仰 $\pm90°$）时只能确定 $\varphi$ 与 $\psi$ 的和或差。（2.4.1、定理 2.4.B）

B4 核对

① 不唯一：$\arccos$ 只在 $[0,\pi]$ 取值，无法覆盖 $(-\pi,\pi]$ 内的完整角度；② 精度不均匀：$(\arccos x)'=-1/\sqrt{1-x^2}$ 在 $x\to\pm1$（即 $\vartheta\to0$ 或 $\pi$）处无界，微小输入误差被无限放大；而 $(\arctan x)'=1/(1+x^2)\in(0,1]$ 处处有界且不超过 1。改用双变量 $\varphi=\operatorname{Atan2}(y,x)$，用 $x,y$ 各自的符号判定象限，在 $(-\pi,\pi]$ 内唯一确定角度。（原理 2.4.A）

B5 核对

$\tilde{\boldsymbol p}^0=A_1^0A_2^1\cdots A_n^{n-1}\tilde{\boldsymbol p}^n$——一串坐标系对应一串矩阵连乘，这正是 DH 正运动学 $T_n^0=A_1^0\cdots A_n^{n-1}$ 的地基。写 $A$ 的逆按分块公式：旋转块取转置、平移块先反向再左乘转置。非正交的根源：正交性只在旋转块内成立，右上角的平移块使整个 $4\times4$ 矩阵不再满足 $A^{\mathrm T}A=I$。（原理 2.7.A、2.7.3）

B6 核对

接口一致：斯坦福机械手 = 球形臂 ⊕ 球形腕，而两者的坐标系 3 一致，故 $T_6^0=T_3^0T_6^3$ 可以直接连乘（当 $d_6=0$ 时位置向量与单一球形臂相同）。接口不一致：带球形腕的拟人臂——拟人臂的系 3 与球腕的系 3 不一致（$x_3$ 相差 $\pi/2$、原点相差 $a_3$），不能直接连乘。出路两条：插入常值变换把接口对齐，或者整体重建系（原书走的是后一条，参数表第 3、4 行随之改变）。（2.9.6、2.9.7）

B7 核对

三步：① 线性化 $\Delta\boldsymbol x=\Phi\Delta\boldsymbol\xi$（$\Phi$ 为 $m\times4n$ 的运动学标定矩阵，即参数空间到操作空间的雅可比）；② 超定量测 + 最小二乘 $\Delta\boldsymbol\xi=(\Phi^{*\mathrm T}\Phi^*)^{-1}\Phi^{*\mathrm T}\Delta\boldsymbol x^*$，量测条件 $tm\ge4n$（且建议 $tm\gg4n$ 以免 $\Phi^{*\mathrm T}\Phi^*$ 病态）；③ 修正 + 迭代 $\boldsymbol\xi'=\boldsymbol\xi+\Delta\boldsymbol\xi$。为什么迭代：$\boldsymbol x_e=k(\boldsymbol\xi)$ 是非线性的，一步线性化只在小偏差假定下成立；每轮都要用新参数同时刷新三样——参数、线性化矩阵 $\Phi$、以及新的偏差 $\Delta\boldsymbol x$。（标定三步法）

B8 核对

可达工作空间（至少能从一个方向到达的点的集合）⊇ 灵活工作空间（能从任意方向到达的点的集合）。可达工作空间是 $\boldsymbol p_e(\boldsymbol q)$ 在关节限位盒子下的像，作为连续函数的像有界、闭合、连通，边界由平面 / 球形 / 环形 / 圆柱形曲面元素拼成；厂商手册的俯视 + 侧视图画的就是它（不含末端执行器）。冗余：本质冗余 $m<n$（关节空间维数超过任务位形空间维数）；功能冗余 即便 $m=n$，特定任务只用 $r<m$ 个操作分量时也冗余——冗余总是相对任务而言。（定义 2.10.2、定义 2.10.3）

C1 核对

$$R_x(\gamma)=\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&c_\gamma&-s_\gamma\\ 0&s_\gamma&c_\gamma\end{bmatrix},\quad R_y(\beta)=\begin{bmatrix}c_\beta&0&s_\beta\\ 0&1&0\\ -s_\beta&0&c_\beta\end{bmatrix},\quad R_z(\alpha)=\begin{bmatrix}c_\alpha&-s_\alpha&0\\ s_\alpha&c_\alpha&0\\ 0&0&1\end{bmatrix};$$ $$R_k(-\vartheta)=R_k^{\mathrm T}(\vartheta),\qquad k=x,y,z .$$ 约定逆时针方向为正。默写完先自查两件事：被绕的那一行 / 列是否「钉住」；$R_y$ 的符号是否与另两个相反。

C2 核对

ZYZ 正解：$R=R_z(\varphi)R_{y'}(\vartheta)R_{z''}(\psi)$（第三列 = $[c_\varphi s_\vartheta,\ s_\varphi s_\vartheta,\ c_\vartheta]^{\mathrm T}$）。ZYZ 逆解（第一支，设 $s_\vartheta\ne0$）： $$\varphi=\operatorname{Atan2}(r_{23},r_{13}),\quad \vartheta=\operatorname{Atan2}\!\big(\sqrt{r_{13}^2+r_{23}^2},\,r_{33}\big),\quad \psi=\operatorname{Atan2}(r_{32},-r_{31});$$ 第二支三个宗量整体变号（在 $(-\pi,0)$ 中选 $\vartheta$）。 RPY 正解：$R=R_z(\varphi)R_y(\vartheta)R_x(\psi)$。RPY 逆解（$\vartheta\in(-\pi/2,\pi/2)$）：$\varphi=\operatorname{Atan2}(r_{21},r_{11})$、$\vartheta=\operatorname{Atan2}(-r_{31},\sqrt{r_{11}^2+r_{21}^2})$、$\psi=\operatorname{Atan2}(r_{32},r_{33})$。 反解策略口诀：挑只含单个角度的元素——先 $\varphi$ 后 $\vartheta$ 再 $\psi$（ZYZ 用第三列定 $\varphi,\vartheta$、第三行定 $\psi$）。（2.4.4、2.4.5）

C3 核对

紧凑形式：$R(\vartheta,\boldsymbol r)=c_\vartheta I+(1-c_\vartheta)\boldsymbol r\boldsymbol r^{\mathrm T}+s_\vartheta S(\boldsymbol r)$。幂次三循环：$S^2=\boldsymbol r\boldsymbol r^{\mathrm T}-I$、$S^3=-S$。指数映射：$\exp(\vartheta S)=I+\sin\vartheta\,S+(1-\cos\vartheta)S^2$，即 $R(\vartheta,\boldsymbol r)=\exp(\vartheta S(\boldsymbol r))$。逆解：取迹求角 $\cos\vartheta=\dfrac{r_{11}+r_{22}+r_{33}-1}{2}$；取反对称部分求轴 $\boldsymbol r=\dfrac{1}{2\sin\vartheta}\begin{bmatrix}r_{32}-r_{23}\\ r_{13}-r_{31}\\ r_{21}-r_{12}\end{bmatrix}$（$s_\vartheta\neq0$）。失效点：$\vartheta=0$ 轴完全任意；$\vartheta=\pi$ 反对称部分为零，须由对称部分 $r_i^2=(r_{ii}+1)/2$ 恢复。（定义 2.5.1、定理 2.5.D–定理 2.5.E）

C4 核对

换算与约束：$\eta=\cos\frac\vartheta2$、$\boldsymbol\epsilon=\sin\frac\vartheta2\boldsymbol r$、$\eta^2+\epsilon_x^2+\epsilon_y^2+\epsilon_z^2=1$。正解：$R=(2\eta^2-1)I+2\boldsymbol\epsilon\boldsymbol\epsilon^{\mathrm T}+2\eta S(\boldsymbol\epsilon)$。逆解（取 $\eta\ge0$）：$\eta=\frac12\sqrt{r_{11}+r_{22}+r_{33}+1}$，$\epsilon_i=\frac12\operatorname{sgn}(r_{kj}-r_{jk})\sqrt{r_{ii}-r_{jj}-r_{kk}+1}$（$i,j,k$ 互异）。逆：$Q^{-1}=\{\eta,-\boldsymbol\epsilon\}$（单位四元数的共轭就是逆）。乘：$Q_1\otimes Q_2=\{\eta_1\eta_2-\boldsymbol\epsilon_1^{\mathrm T}\boldsymbol\epsilon_2,\ \eta_1\boldsymbol\epsilon_2+\eta_2\boldsymbol\epsilon_1+\boldsymbol\epsilon_1\times\boldsymbol\epsilon_2\}$——含叉积项 ⇒ 不可交换。（定义 2.6.1、式 2.33–2.37）

C5 核对

$$A_0^1=(A_1^0)^{-1}=\begin{bmatrix}R_1^{0\mathrm T}&-R_1^{0\mathrm T}\boldsymbol o_1^0\\ \boldsymbol 0^{\mathrm T}&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}R_0^1&-R_0^1\boldsymbol o_1^0\\ \boldsymbol 0^{\mathrm T}&1\end{bmatrix}.$$

读法：旋转块取转置，平移块先反向、再左乘转置。一句话验证：分块乘一次即得单位阵（左上用 $R^{\mathrm T}R=I$，右上两项恰好相消）。边界：方向向量（自由向量）的变换只用左上块 $R$——自由向量不吃平移。

C6 核对

$$A_i^{i-1}(q_i)=\begin{bmatrix} c_{\vartheta_i}&-s_{\vartheta_i}c_{\alpha_i}&s_{\vartheta_i}s_{\alpha_i}&a_ic_{\vartheta_i}\\ s_{\vartheta_i}&c_{\vartheta_i}c_{\alpha_i}&-c_{\vartheta_i}s_{\alpha_i}&a_is_{\vartheta_i}\\ 0&s_{\alpha_i}&c_{\alpha_i}&d_i\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}.$$

第 4 列 $=(a_ic_{\vartheta_i},\ a_is_{\vartheta_i},\ d_i,\ 1)^{\mathrm T}$——三个参数的「肉身」：$d_i$ 躺在转轴上原样保留，$a_i$ 的方向被 $\vartheta_i$ 旋转。旋转块 = 「绕 $z$ 转 $\vartheta\oplus$ 绕 $x$ 转 $\alpha$」的复合。两个退化自检：$a_i=\alpha_i=d_i=0$ 退化为 $\mathrm{Rot}_z(\vartheta_i)$；$\vartheta_i=\alpha_i=a_i=0$ 退化为 $\mathrm{Trans}_z(d_i)$。（$A_i^{i-1}$：从建系几何直接读出两步分解）

C7 核对

三连杆平面臂：$\boldsymbol p=[a_1c_1+a_2c_{12}+a_3c_{123},\ a_1s_1+a_2s_{12}+a_3s_{123},\ 0]^{\mathrm T}$，且 $z_3\parallel z_0$（三个关节只决定末端在平面内的位置）。拟人臂：$\boldsymbol p=[c_1(a_2c_2+a_3c_{23}),\ s_1(a_2c_2+a_3c_{23}),\ a_2s_2+a_3s_{23}]^{\mathrm T}$。球形腕：旋转块 $R_6^3$ 与 ZYZ 合成矩阵完全一致——$(\vartheta_4,\vartheta_5,\vartheta_6)$ 恰是相对系 3 的 ZYZ 角。这是全章最重要的一次结构观察：正运动学里看出来的东西，直接变成了 2.12.6 的「腕逆解 = ZYZ 反解」。（2.9.1、2.9.4、2.9.5）

C8 核对

$$\Delta\boldsymbol x=\Phi\,\Delta\boldsymbol\xi,\qquad \Delta\boldsymbol\xi=(\Phi^{*\mathrm T}\Phi^*)^{-1}\Phi^{*\mathrm T}\Delta\boldsymbol x^*,\qquad tm\ge4n\ (\text{宜}\ tm\gg4n).$$

$\Phi$ 是 $m\times4n$ 的运动学标定矩阵（参数空间到操作空间的雅可比）；$tm$ 是一组位姿量测给出的方程总数，$4n$ 是未知数个数；$(\Phi^{*\mathrm T}\Phi^*)^{-1}\Phi^{*\mathrm T}$ 即 $\Phi^*$ 的左广义逆。追一句读数：量测位姿过于集中 ⇒ $\Phi^{*\mathrm T}\Phi^*$ 接近奇异 ⇒ 必须铺满工作空间并留余量。（标定三步法）

D1 核对

错。 $z_{i-1}$ 表示在基坐标系下，只有 $z_0$ 才是 $[0,0,1]^{\mathrm T}$；表示在它自己的坐标系下才是 $[0,0,1]$，表示在基坐标系下要乘很复杂的旋转矩阵。正确做法：$z_{i-1}=R_{i-1}$（即 $T_{i-1}^0$ 左上 $3\times3$ 块）的第三列，随位形变化。连带提醒：$p_{i-1}$ 是 $T_{i-1}^0$ 第四列前三行、$p_e$ 是 $T_n^0$ 第四列前三行——所需量全部来自正运动学。（3.1.3）

D2 核对

错。 $\det R=-1$ 是左手系（含镜像翻转），不属于 $SO(3)$，用它算出来的是「照镜子」的假姿态。理由：正交性只给出 $(\det R)^2=1$；而右手系的固连坐标系总可以连续转回与参考系重合，$\det$ 是元素的连续函数、途中不可能从 $+1$ 跳到 $-1$，故右手系必为 $\det R=+1$。（2.2.1）

D3 核对

错。 正交性只在旋转块内成立（原书式 2.46 明确 $A^{-1}\neq A^{\mathrm T}$）。正确做法：按分块公式装配——旋转块取转置、平移块 $-R^{\mathrm T}\boldsymbol o$。顺手的误读：把 $\boldsymbol o_1^0$ 读成「系 0 原点在系 1 中的坐标」（上下标读反）——记住口令「右上块 = 动系原点用固定系的话说」。（2.7.3）

D4 核对

错。 角度集合只是打包记号——旋转不满足交换律（$R_1R_2\neq R_2R_1$），所以它没有向量加法：$\boldsymbol\phi_1+\boldsymbol\phi_2$ 不对应任何有意义的姿态合成，也不能线性插值（4.3.3 的旋转矩阵插值问题同源）。正确的合成方式：把每个角写成矩阵（或四元数）再相乘。（2.3 常见错误 1）

D5 核对

省事但不准。 两个问题：不唯一（值域只有 $[0,\pi]$）、精度均匀性最差（导数 $1/\sqrt{1-x^2}$ 在 $x\to\pm1$ 处无界）。正确做法：凡反解一律 Atan2(y,x)（第一参数是分子），它用两参数的符号定象限、在 $(-\pi,\pi]$ 内唯一。量级感：数值实验里 $|\sin\vartheta|\le10^{-2}$ 的组别，偏差会被放大 $10^5$ 倍——这不是「多算几位」能解决的。（原理 2.4.A）

D6 核对

错，它们表示同一旋转。 双重覆盖来自 $\vartheta\sim\vartheta+2\pi$：转角多加满一整圈时 $\eta\to-\eta$、$\boldsymbol\epsilon\to-\boldsymbol\epsilon$，于是同一个物理旋转对应两个四元数。逆解用 $\eta\ge0$ 约定（$\vartheta\in[-\pi,\pi]$）为每个 $R$ 选定唯一一个 $Q$——「锁定符号」是人为却合法的约定。这与角和轴的表示不唯一（定理 2.5.A）不是一回事：那里的两组参数都留在表示里、无人裁决。（2.6）

D7 核对

错。 奇点解耦（把参考点从末端挪到腕心）得到的下三角矩阵 $\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol p}_w\\ \boldsymbol\omega_e\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}J_{11}&0\\ J_{21}&J_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol q}_a\\ \dot{\boldsymbol q}_w\end{bmatrix}$ 只保行列式、用于奇点分析：它不再是「关节速度→末端速度」的映射（参考点已经不是末端了）。合法性的来源：运动学奇点是机械结构固有的特性，与坐标系建在哪里无关，所以可以为了简化计算而重选参考系；但做完判断就必须换回末端参考再谈速度传递。（定理 3.3.A 的适用边界）

D8 核对

先查三件事再怀疑算法。 ① 是否扣了 $d_6$：$\boldsymbol p_w=\boldsymbol p_e-d_6\boldsymbol a_e$——手腕偏置没扣，解出来的就是错的关节角；② 是否落在可达 / 灵活工作空间内：超出则方程无解（判据：$|c_2|\le1$、$|c_3|\le1$、$p_{wx}^2+p_{wy}^2\ge d_2^2$ 一类容许性条件不满足）；③ 是否处在奇点：$s_5=0$ 时腕第 4、6 轴共线、转 $\vartheta_4$ 与 $\vartheta_6$ 效果相同，解不唯一甚至无穷多。正确做法：先用容许性条件筛掉工作空间外的点，再按「肘上 / 肘下 × 肩左 / 肩右」整理多支解，最后做回代验证。（2.12.1、2.12.4）