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全章总结

六节一览

节关键结论典型陷阱
4.1 路径和轨迹路径 ⊂ 轨迹 ⊂ 运动规划（定义 4.1.1–定义 4.1.3）；运动律两条硬约束（定理 4.1.A）；规划器接口（轨迹规划算法的输入输出接口）与可指定参量（定义 4.1.4）把路径当轨迹；以为能在操作空间直接控制
4.2.1 点对点运动最小能量 ⇒ 三次 (4.1)（定理 4.2.A）；五次 6 约束 (4.2)；梯形速度曲线 tct_c 方程 (4.5)(4.6)、加速度下界 (4.7)、巡航速度 (4.9)–(4.11)；+12.5% 能量约束数与阶次不匹配；tct_c 当 tf/2t_f/2；q¨c\ddot q_c 符号写反
4.2.2 通过系列点的运动高阶多项式五个缺点（为什么不用单个高阶多项式）；四条路线（四条修正路线）；样条 4N−24N-2 vs 4(N−1)4(N-1) + 虚拟点 ⇒ 4(N+1)4(N+1)（定理 4.2.G）⇒ 降维三对角 (4.28)（定理 4.2.H）；抛物线混合 (4.29)(4.30) 与经由点样条漏「加速度连续」；虚拟点赋位置值；经由点当路径点
4.3.1 路径基元参数化 p=f(σ)p=f(\sigma) 与弧长 p=f(s)p=f(s)（定义 4.3.1）；Frenet 标架 (4.33)（定理 4.3.A）；直线 (4.34)–(4.36)；圆弧三要素与 c=d+(δTr)rc=d+(\delta^{\mathrm T}r)r (4.37)–(4.41)（定义 4.3.3）σ\sigma 当弧长；忘退化条件；RR 的列写反
4.3.2 位置pe=f(s)p_e=f(s) + s(t)s(t) 解耦（定义 4.3.4）；p˙e=s˙ t\dot p_e=\dot s,t；圆弧 p¨e=s˙2ρn+s¨ t\ddot p_e=\frac{\dot s^2}{\rho}n+\ddot s,t (4.42)–(4.45)；多段 (4.46) 与时间超前 (4.50)（定理 4.3.D）s˙\dot s 当向量；漏向心项；以为多段能自动平滑
4.3.3 指向旋转矩阵不能逐元素插值（定理 4.3.E）；欧拉角法 (4.51)（定义 4.3.6）；角和轴法 (4.52)–(4.55)（定理 4.3.F）直接插值 RR；忘换回基系；r′r' 的系别搞混

一条主线

点对点用「最少约束 + 一个性能指标」锁死轨迹（三次），工业上换成峰值可控的梯形速度曲线；点多起来就把一整个高阶多项式拆成一串低阶多项式，再用「补什么条件」分化出四条路线（指定速度 / 计算速度 / 加速度连续 / 抛物线混合）；操作空间则先把几何路径解析化（参数、弧长、Frenet 标架），再用弧长时间律 s(t)s(t) 把关节空间的所有武器搬过去——最后姿态单独规划，用欧拉角或角和轴把它化成一维问题。

三句话带走

  1. 一切归结为「数约束、解系数」：4 个条件用三次、6 个条件用五次；点多了一段一段来，每段差 2 个条件就补 2 个——补法不同，就是四条路线。
  2. 工业的答案是梯形速度曲线：加速度分段常值 ⇒ 峰值可直接对照电机力矩与结构许用值；只需解一个二次方程；代价是能量比最优解高 12.5%。老师明说这是重点（0:48:11）。
  3. 操作空间的两个标量：位置落在 s(t)s(t)、姿态（角和轴）落在 θ(t)\theta(t)——两次降维把六维操作空间规划变回一维标量规划，于是关节空间的方法全部复用；代价是每个设定点都要过一次逆运动学，采样率因此受限。

考试边界（据老师课堂原话）

  • 必知概念：路径 / 轨迹 / 运动规划；关节空间与操作空间的取舍；「操作空间规划、关节空间控制」这条骨架。
  • 重点：三次 / 五次多项式的系数求解；梯形速度曲线（tct_c 方程、加速度下界、巡航速度约束、三角形极限）；样条为什么用虚拟点、为什么降到三对角系统。
  • 动手：圆弧的随体坐标系与圆心公式、Frenet 标架的三个单位向量。
  • 了解：姿态规划的欧拉角法与角和轴法（老师「不详细讲」但原理要清楚）。
  • 不考：开课补讲的第三章对偶性与传感器坐标系变换（0:08:33）。

依据 Siciliano 等《机器人学：建模、规划与控制》第 4 章整理 · 整合第 4 周课程录播（2026-09-28）与板书 · 整理日期 2026-10-01

全 章 完