A1 核对

末端执行器速度取六维堆叠 $\boldsymbol v_e=\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol p}_e\\ \boldsymbol\omega_e\end{bmatrix}$（3 平动 + 3 转动），微分运动学方程为

$$\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol p}_e\\ \boldsymbol\omega_e\end{bmatrix}=J(\boldsymbol q)\dot{\boldsymbol q}=\begin{bmatrix}J_P\\ J_O\end{bmatrix}\dot{\boldsymbol q},\qquad J\in\mathbb R^{6\times n}.$$

$J$ 称几何雅可比矩阵，是位形 $\boldsymbol q$ 的函数；$J_P$ 对应线速度、$J_O$ 对应角速度，各 $3\times n$。$\boldsymbol\omega_e$ 的三个分量是末端角速度在基坐标系三根轴上的投影——这句话是几何 / 分析雅可比分歧的根源。（定义 3.1.1）

A2 核对

使雅可比矩阵 $J(\boldsymbol q)$ 不满秩的位形 $\boldsymbol q$ 称为运动学奇点；方阵情形的判据为 $\det J(\boldsymbol q)=0$。开课引子（老师原话思路）：「雅可比矩阵其中有两列线性相关，那么它就退化了、就奇异了。对机器人来说，两列线性相关就说明这两个关节轴平行了。」按出现位置分类：边界奇点（臂完全伸出 / 缩回，抵达工作空间边界，「不表示真正的缺陷」，避开边界即可）与内部奇点（出现在可达工作空间内部，产生条件是两个或以上运动轴线共线，「比较严重」，轨迹规划时一定要避开）。（定义 3.3.1）

A3 核对

当机械手自由度个数 $n$ 大于描述给定任务所必需的变量个数 $r$ 时，称该机械手对给定任务冗余。操作空间维度 $m<n$ 时一定冗余；任务维度恒有 $r\le m\le6$。冗余是任务相关的概念：同一台机械手对某任务冗余、对另一任务可能非冗余（例 3.4.A 的三连杆平面臂即此）。两个子空间：值域空间 $\mathcal R(J)$ 回答「哪些末端速度能做到」（不在其中的速度不可能用关节速度线性表出，方程无解）；零空间 $\mathcal N(J)$ 回答「哪些关节速度不惊动末端」——冗余时 $\mathcal N(J)$ 必非空，存在 $n\times(n-r)$ 的列满秩矩阵 $N$ 使 $JN=0$。（定义 3.4.1）

A4 核对

取 $\boldsymbol P=NN^{\mathrm T}$（秩 $n-r$）。若 $\dot{\boldsymbol q}^*$ 是 $v_e=J\dot{\boldsymbol q}$ 的一个特解、$\dot{\boldsymbol q}_0$ 是任意向量，则 $\dot{\boldsymbol q}^*+\boldsymbol P\dot{\boldsymbol q}_0$ 仍是方程的解。证明只有一步：验证 $J\boldsymbol P\dot{\boldsymbol q}_0=JNN^{\mathrm T}\dot{\boldsymbol q}_0=(JN)N^{\mathrm T}\dot{\boldsymbol q}_0=0$——故 $\boldsymbol P\dot{\boldsymbol q}_0$ 落在 $\mathcal N(J)$ 里，对末端速度的贡献恒为零。用途：让机械手在执行任务的同时重新配置自身（提升灵巧性、避障、回避奇异、远离关节极限）。（定理 3.4.B）

A5 核对

$$\dot{\boldsymbol q}=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}\boldsymbol v_e=J^\dagger\boldsymbol v_e,\qquad J^\dagger\triangleq J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}\ (r\times n).$$

它就是右广义逆 / 伪逆。验证 $JJ^\dagger\boldsymbol v_e=(JJ^{\mathrm T})(JJ^{\mathrm T})^{-1}\boldsymbol v_e=\boldsymbol v_e$——确实满足约束；而单权情形下的解又使关节速度范数局部最小，因此称为最小范数解。三种处境的药：方阵满秩 → $J^{-1}$（配数值积分）；长方冗余 → $J^\dagger$（+ 零空间项）；退化奇异 → $J^*$（阻尼）。口诀：方阵求逆、矮胖求伪逆、退化加阻尼。（定义 3.5.1）

A6 核对

$$\dot{\boldsymbol q}=J^{*}\boldsymbol v_e,\qquad J^{*}=W^{-1}J^{\mathrm T}\big(JW^{-1}J^{\mathrm T}+K^{-1}\big)^{-1}.$$

$W=I$、$K=k^2I$ 加权时即经典的阻尼形式 $J^{*}=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T}+k^2I)^{-1}$。$K$ 的取法：奇点邻域内取足够大——$K^{-1}$ 项占主导，把 $\det J\to0$ 引起的发散压住，奇异就变得可以容忍；远离奇点则取小、甚至趋于 $0$——此时公式退回 $J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}$，而远离奇点处 $JJ^{\mathrm T}$ 可逆。思路：不再要求微分运动方程严格成立，而是容许 $\boldsymbol v_e$ 带一个小的误差 $\delta$（$\boldsymbol v_e-J\dot{\boldsymbol q}=\delta$），用增广变量法化为同型问题。（定义 3.5.2）

A7 核对

几何雅可比（$J$）：逐列给出每个关节速度对末端线速度与角速度的贡献，角速度部分 $\boldsymbol\omega_e$ 是末端角速度在基坐标系三根轴上的分量。分析雅可比 $J_A$：把正运动学对关节变量直接微分，姿态部分改用欧拉角 $\boldsymbol\varphi_e=[\varphi\ \vartheta\ \psi]^{\mathrm T}$（ZYZ）的时间导数 $\dot{\boldsymbol\varphi}_e$——绕欧拉角所定义转轴的旋转速度。关系：$J_A=T_A^{-1}(\boldsymbol\varphi_e)J$，$T_A=\begin{bmatrix}I_3&0\\0&T(\boldsymbol\varphi_e)\end{bmatrix}$，其中 $T$ 的三列就是三根瞬时转轴在基系中的方向（$z$、转 $\varphi$ 后的 $y'$、再转 $\vartheta$ 后的 $z''$），未必正交。（定义 3.6.1、定理 3.6.A）

B1 核对

行对应操作空间的速度分量，列对应关节。所以 $J$ 的每一列可以单独理解（其余关节锁死、只驱动第 $i$ 个关节时末端的贡献），秩最多等于列数（自由度个数）。推论：只有 3 个自由度的拟人臂在 6 维操作空间里至多张出 3 维子空间，因此丢掉相关的行不损失信息——保留下来的三行（$v_x,v_y,v_z$）恰好构成「臂部」的有效映射。这一「按任务取行」的思想在 3.4 的冗余分析里就是正式工具（$r$ 就是取的行数）。（3.2.2、3.3.1）

B2 核对

① 运动退化：处于奇点时无法让末端朝任意方向运动——两关节轴平行（两列线性相关）时，垂直于该平面的方向的速度分量「造不出来」；② 解不唯一：逆解可能存在无穷多组（拟人臂的腕点落在肩轴线上时，无论肩关节角怎么转该点都不动）；③ 邻域放大（三类中最危险）：奇点邻域内，操作空间里很小的速度可能要求关节空间给出极高的速度。定量说法：$J^{-1}=\operatorname{adj}J/\det J$，$\det J\to0$ 时逆矩阵元素整体趋于无穷。（3.3.1）

B3 核对

对「臂（关节 $1\dots n-3$）+ 球形腕（$n-2\dots n$）」构型，把参考点从末端挪到腕心 $\boldsymbol p_w$，雅可比分块为下三角：

$$\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol p}_w\\ \boldsymbol\omega_e\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}J_{11}&0\\ J_{21}&J_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol q}_a\\ \dot{\boldsymbol q}_w\end{bmatrix},\qquad \det J=\det J_{11}\cdot\det J_{22}.$$

三个条件：腕奇点 $\det J_{22}=(z_{n-2}\times z_{n-1})\cdot z_n\propto s_5$ ⇒ $s_5=0$（$\vartheta_5=0,\pi$，腕 4、6 轴共线，属内部奇点）；肘奇点 $s_3=0$（$\vartheta_3=0$ 伸直 / $\pi$ 折回，属边界奇点）；肩奇点 $a_2c_2+a_3c_{23}=0$（腕中心落在 $z_0$ 轴上，$J$ 第一列 $z_0\times\boldsymbol p_w=\boldsymbol 0$ 整列为零、逆解无穷多解）。适用边界：下三角矩阵只保行列式，用于奇点分析——不能拿去做逆解或速度控制（不保「末端」语义）。（定理 3.3.A）

B4 核对

$J$ 的形状	工具	适用理由
方阵满秩（$r=n$）	$J^{-1}$ + 数值积分 $\boldsymbol q(t_{k+1})\approx\boldsymbol q(t_k)+J^{-1}\boldsymbol v_e\Delta t$	「不受方程结构是否可解的影响，没有解析解也能解」
长方矮胖（$r<n$，冗余）	$J^\dagger=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}$ + 零空间项 $\boldsymbol P\dot{\boldsymbol q}_0$	一次给出最小范数解；第二项管内部姿态
退化（奇异）	$J^{*}=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T}+k^2I)^{-1}$（DLS）	容许小误差换回可解性，把 $\det J\to0$ 的发散压住

一个共同前提：$JW^{-1}J^{\mathrm T}$ 可逆 ⇔ $J$ 行满秩（无奇异）；到奇点情形老配方失效，必须换 DLS——而 DLS 的 $JW^{-1}J^{\mathrm T}+K^{-1}$ 因 $K^{-1}$ 项在奇异时仍可逆，这正是它治奇点的机制。（3.5.0–3.5.2）

B5 核对

$$\boldsymbol\omega_e=T(\boldsymbol\varphi)\dot{\boldsymbol\varphi}_e,\qquad T(\boldsymbol\varphi)=\begin{bmatrix}0&-s_\varphi&s_\vartheta c_\varphi\\ 0&c_\varphi&s_\vartheta s_\varphi\\ 1&0&c_\vartheta\end{bmatrix}\ (\text{ZYZ}),\qquad J_A=T_A^{-1}J .$$

诀窍：把 $T$ 读作「三根瞬时转轴在基系中的方向排成的矩阵」——一个向量（角速度）、两组「坐标」：在正交基里读数得几何雅可比的后三行，在非正交基（$z,y',z''$）里读数得 $\dot{\boldsymbol\varphi}$。口诀：位置部分同、姿态部分异；几何看得见（$\boldsymbol\omega$ 有分量）、分析可积分（$\dot{\boldsymbol\varphi}$ 可积分）。必然相同的部分：前三行（线速度）——$\dot{\boldsymbol p}_e$ 对 $\boldsymbol q$ 直接求偏导的结果与逐列构造的结果一致。一致的特例：平面臂（欧拉角轴与固定轴重合，不存在换基问题）。（定理 3.6.A、3.6.3）

B6 核对

逆雅可比方案：$\dot{\boldsymbol q}=J_A^{-1}(\boldsymbol q)\big(\dot{\boldsymbol x}_d+K\boldsymbol e\big)$，代入得 $\dot{\boldsymbol e}=\dot{\boldsymbol x}_d-J_A\dot{\boldsymbol q}=-K\boldsymbol e$ ⇒ 误差动态被化成一阶线性系统，$K$ 正定即指数收敛（完全线性化，代价是每次要求逆、计算贵）。 雅可比转置方案：$\dot{\boldsymbol q}=J^{\mathrm T}K\boldsymbol e$，省去求逆（「$J^{-1}$ 很花时间；用 $J^{\mathrm T}$ 直接调换一下元素位置就可以了」），但误差动态是非线性的——多出含 $J$ 随位形变化的项，稳定性只能借助 Lyapunov 函数分析，收敛只是局部的。二阶算法：$\ddot{\boldsymbol e}+K_D\dot{\boldsymbol e}+K_P\boldsymbol e=0$，把加速度也纳入，误差方程里出现 $\dot J(\boldsymbol q)$ 项。（3.7.1–3.7.3）

B7 核对

两条机制：① $\det J\to0$ 时 $J^{-1}=\operatorname{adj}J/\det J$ 的元素整体趋于无穷——反解出来的关节速度也趋近无穷大；② 奇点邻域同样危险——$\det J\neq0$ 但很小时，逆矩阵元素已经巨大，「离奇点多远」要按 $\det J$ 的大小判断，不是按是否等于零。两类工程手段（课堂视频）：变速度（在奇点附近自动降速）与自动规避（不严格遵循设定轨迹，在奇点附近容忍较大的轨迹跟踪误差）；算法层面还可用 DLS 换回可解性。根本原因：奇点是结构的几何属性（轴共线 / 腕点落轴），换算法、换精度都躲不掉，只有规划绕开或结构上避免。（3.3.1）

B8 核对

先定义标量函数 $g(\boldsymbol q)$，再取 $\dot{\boldsymbol q}_0=k_0\left(\dfrac{\partial g(\boldsymbol q)}{\partial\boldsymbol q}\right)^{\mathrm T}$（沿梯度方向）。三种取法即三个 $g$：① 可操作度（最大化）$g=w(\boldsymbol q)=\sqrt{\det(JJ^{\mathrm T})}$——$w$ 在奇点位形处为零，方阵情形直接算 $\det J$、长方阵则算 $\det(JJ^{\mathrm T})$ 再开方，「离零越远离奇点越远」，最大化 $w$ 就是远离奇异；② 与关节极限的距离（最大化，让各关节角靠近行程中点）；③ 与障碍物的距离（最大化，取机械臂上所有点与障碍物距离的最小值）。这套做法成立的根据：「为什么能优化？因为冗余——不是一个解，有很多个解，可以把目标转化成优化问题」。（3.5.1）

C1 核对

推导：由 $RR^{\mathrm T}=I$ 两边求导 ⇒ $\dot RR^{\mathrm T}+R\dot R^{\mathrm T}=0$；记 $S\triangleq\dot RR^{\mathrm T}$ 则 $S+S^{\mathrm T}=0$（反对称）；两边右乘 $R$ 得 $\dot R=S\,R$。识别 $S$：对常模向量取 $\boldsymbol p(t)=R(t)\boldsymbol p'$，一方面 $\dot{\boldsymbol p}=S R\boldsymbol p'$，另一方面力学给 $\dot{\boldsymbol p}=\boldsymbol\omega\times\boldsymbol p=\boldsymbol\omega\times R\boldsymbol p'$；两式对任意 $\boldsymbol p'$ 成立 ⇒ $S=S(\boldsymbol\omega)$。共轭恒等式：$R\,S(\boldsymbol\omega)\,R^{\mathrm T}=S(R\boldsymbol\omega)$——「先叉乘再旋转 = 先旋转再叉乘」（3.1.2 的角速度递推立刻用到它）。两个摘帽结果：$\boldsymbol\omega=(\dot RR^{\mathrm T})^\vee$（基系读数）、$\boldsymbol\omega'=R^{\mathrm T}\boldsymbol\omega=(R^{\mathrm T}\dot R)^\vee$（刚体系读数）。（定理 3.1.A、定理 3.1.B）

C2 核对

$$J=\begin{bmatrix}J_1&\cdots&J_n\end{bmatrix},\qquad J_i=\begin{bmatrix}J_{P_i}\\ J_{O_i}\end{bmatrix},\qquad \begin{cases}\text{关节 } i \text{ 转动：}& J_{P_i}=z_{i-1}\times(\boldsymbol p_e-\boldsymbol p_{i-1}),\quad J_{O_i}=z_{i-1}\\[1mm] \text{关节 } i \text{ 移动：}& J_{P_i}=z_{i-1},\quad J_{O_i}=\boldsymbol 0\end{cases}$$

物理解读（写这条公式时脑子里要有的画面）：其余关节全部锁死、只以单位速度驱动第 $i$ 个关节，末端产生的速度就是第 $i$ 列。所需量的出处全部在正运动学：$z_{i-1}=R_{i-1}$（即 $T_{i-1}^0$ 左上 $3\times3$ 块）的第三列；$p_{i-1}$ = $T_{i-1}^0$ 第四列前三行；$\boldsymbol p_e$ = $T_n^0$ 第四列前三行。坐标变换：$J^u=\begin{bmatrix}R^u&0\\0&R^u\end{bmatrix}J$。（定理 3.1.C）

C3 核对

平面两连杆：

$$\bar J=\begin{bmatrix}-a_1s_1-a_2s_{12}&-a_2s_{12}\\ a_1c_1+a_2c_{12}&a_2c_{12}\end{bmatrix},\qquad \det\bar J=a_1a_2\sin\vartheta_2 .$$

三连杆平面臂（$3\times3$ 有效块）：前三行的形式逐列递推，第三行为 $[1\ 1\ 1]$。拟人臂（$3\times3$，力矩有效块）：

$$\bar J=\begin{bmatrix}-s_1(a_2c_2+a_3c_{23})&-c_1(a_2s_2+a_3s_{23})&-c_1a_3s_{23}\\ c_1(a_2c_2+a_3c_{23})&-s_1(a_2s_2+a_3s_{23})&-s_1a_3s_{23}\\ 0&a_2c_2+a_3c_{23}&a_3c_{23}\end{bmatrix},\qquad \det\bar J=-a_2a_3\,s_3\,(a_2c_2+a_3c_{23}).$$

两个因子各自为零，正对应拟人臂的两类奇点：$s_3=0$（肘伸直 / 折回，边界奇点）与 $a_2c_2+a_3c_{23}=0$（腕点落到 $z_0$ 轴上，肩奇点）。第三行是余弦组合——这一处的正余弦在转写中一度被读错，本编按课件绿框、教材式 (3.37)–(3.38) 与数值差分三源核对后采用余弦。（勘误 E3.1）

C4 核对

$$F_e=\begin{bmatrix}\boldsymbol f_e\\ \boldsymbol\mu_e\end{bmatrix}\in\mathbb R^6,\qquad \boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}(\boldsymbol q)\,F_e .$$

虚功推导：设关节虚位移 $\mathrm d\boldsymbol q$，末端虚位移 $\mathrm d\boldsymbol x_e=J\,\mathrm d\boldsymbol q$。关节端做功 $\mathrm dW_\tau=\boldsymbol\tau^{\mathrm T}\mathrm d\boldsymbol q$，末端处外力做功 $-\boldsymbol F_e^{\mathrm T}J\,\mathrm d\boldsymbol q$；静态平衡时系统总虚功为零 ⇒ $\boldsymbol\tau^{\mathrm T}=-\boldsymbol F_e^{\mathrm T}J$，取转置即得。为什么是转置：能量必须守恒——$\dot{\boldsymbol q}^{\mathrm T}\boldsymbol\tau=\boldsymbol v_e^{\mathrm T}F_e=(J\dot{\boldsymbol q})^{\mathrm T}F_e=\dot{\boldsymbol q}^{\mathrm T}J^{\mathrm T}F_e$，对任意 $\dot{\boldsymbol q}$ 成立。这就是「速度与力的变换互为转置（对偶）」；$J$ 是长方阵时也照样成立（无需方阵、无需满秩）。（定义 3.8.1）

C5 核对

$$\begin{bmatrix}\dot{\boldsymbol p}_1^0\\ \boldsymbol\omega_1^0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R_1^0&-R_1^0S(\tilde{\boldsymbol p})\\ 0&R_1^0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol v_1\\ \boldsymbol\omega_1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix}\boldsymbol f_1^0\\ \boldsymbol\mu_1^0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R_1^0&0\\ R_1^0S(\tilde{\boldsymbol p})&R_1^0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol f_1\\ \boldsymbol\mu_1\end{bmatrix}.$$

力的变换矩阵恰是速度变换矩阵的转置。对偶的具体体现：平移耦合项 $S(\tilde{\boldsymbol p})$ 在速度块里带负号、在力块里不带负号并移位。与 $J^u$ 的分工：$J^u$ 只改旋转块；这里还含平移的耦合。使用纪律：传感器、工件、工具各自的坐标系都不一样，要先把力 / 速度统一到同一个坐标系，再谈平衡。（3.8.2）

C6 核对

$$\det J_{22}=(z_{n-2}\times z_{n-1})\cdot z_n\propto s_5\qquad\Longrightarrow\qquad s_5=0\iff\vartheta_5=0\ \text{或}\ \pi .$$

几何含义：$\vartheta_5=0$ 时腕关节 4 与 6 的轴共线——转 $\vartheta_4$ 与转 $\vartheta_6$ 效果相同，绕垂直于该轴方向的角速度自由度丢失（典型的内部奇点）。配套的臂侧判据：$\det J_{11}=\det J_P=-a_2a_3s_3(a_2c_2+a_3c_{23})$（与 $\vartheta_1$ 无关）。（3.3.3）

C7 核对

两项各是什么：第一项 $J^\dagger\boldsymbol v_e$ 是满足任务的最小范数特解（「干活用的」）；第二项 $(I-J^\dagger J)\dot{\boldsymbol q}_0$ 是齐次解——$P=I-J^\dagger J$ 是零空间投影矩阵，$JP\dot{\boldsymbol q}_0=(J-J)\dot{\boldsymbol q}_0=0$，故不惊动末端，内部运动正是由它描述（与 定理 3.4.B 的 $P=NN^{\mathrm T}$ 同一角色、两种写法）。DLS 增益：横轴为奇异值 $\sigma$，伪逆的增益 $1/\sigma$ 在奇点处发散；DLS 的增益 $\dfrac{\sigma}{\sigma^2+k^2}$ 处处有界，峰值只有 $1/(2k)$。（3.5.1、3.5.2）

C8 核对

$$\underbrace{\boldsymbol v_e=J(\boldsymbol q)\dot{\boldsymbol q}}_{\text{微分运动学}=J}\ \longleftrightarrow\ \underbrace{\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}(\boldsymbol q)F_e}_{\text{静力学}=J^{\mathrm T}}\qquad\text{（同一个 }J\text{，一个正用、一个转置用）}.$$

与第 2 章的接口：$J$ 的每一列所需的 $z_{i-1},p_{i-1}$ 全部来自第 2 章正运动学的 $T$ 矩阵连乘——「只要正运动学得到（对每个关节的），几何雅可比矩阵就都得到了」。与第 4 章的接口：$\dot{\boldsymbol q}$ 的两种用法——逆方案 / 转置方案分别对应后面对轨迹跟踪（要求线性化）与对力控制（$J^{\mathrm T}$ 传力）的需求。与第 7、8 章的接口：$\tau=J^{\mathrm T}F_e$ 是静力平衡式，一旦含惯性、科氏力就必须回到动力学方程。（3.1.3、3.8）

D1 核对

错。 $z_{i-1}$ 表示在基坐标系下，只有 $z_0$ 才是 $[0,0,1]^{\mathrm T}$；表示在它自己的坐标系下才是 $[0,0,1]$，表示在基坐标系下要乘很复杂的旋转矩阵。正确做法：$z_{i-1}=R_{i-1}$（$T_{i-1}^0$ 左上 $3\times3$ 块）的第三列，随位形变化。（3.1.3）

D2 核对

错，方向写反差一个负号。 转动关节列是 $J_{P_i}=z_{i-1}\times(\boldsymbol p_e-\boldsymbol p_{i-1})$——矢径必须从关节轴上的点 $p_{i-1}$ 指向末端 $p_e$。物理图像：锁死其余关节、只驱动第 $i$ 个，则 $i\sim n$ 段连成一个刚体绕轴 $z_{i-1}$ 定轴转动，末端速度方向垂直于矢径、由右手准则定符号。顺手的自由自查：$J$ 的每一列要么形如 $\begin{bmatrix}z_{i-1}\times(\cdot)\\ z_{i-1}\end{bmatrix}$（转动）、要么形如 $\begin{bmatrix}z_{i-1}\\ \boldsymbol 0\end{bmatrix}$（移动），形状不对就说明组装错了；数值上可用中心差分 $\dot{\boldsymbol p}_e\approx(\boldsymbol p_e(\boldsymbol q+\delta\boldsymbol q)-\boldsymbol p_e(\boldsymbol q-\delta\boldsymbol q))/2\delta$ 抽查任一列。（3.1.3）

D3 核对

错。 奇点是结构的几何属性——由「两列线性相关 ⇔ 两个关节轴平行 / 共线」或「腕点落在第一关节轴上」这类几何事实决定，换算法、换精度都躲不掉；只有规划绕开（变速度 / 自动规避）或结构上避免。还要注意「邻域」二字：$\det J\neq0$ 但很小时 $J^{-1}$ 元素已经巨大，边界奇点附近的关节速度放大同样要规划规避。（3.3 常见错误 1、3）

D4 核对

错。 把参考点从末端挪到腕心后得到的下三角矩阵只保行列式，用于奇点分析；它不再是「关节速度 → 末端执行器速度」的映射，所以不能用来表示末端的位姿与速度、也不能拿去做逆解或速度控制。合法性来源：运动学奇点是机械结构固有特性、与坐标系建在哪里无关，故可为简化计算而重选参考系；但做完判断必须换回末端参考再谈速度传递。（定理 3.3.A 的适用边界）

D5 核对

错，三者对应三种处境。 $J^{-1}$ 只对方阵满秩有意义（$r\times n$ 的长方阵根本没有逆——「不存在逆，就要用广义逆，这是线代 / 矩阵论的基础」）；$J^\dagger=J^{\mathrm T}(JJ^{\mathrm T})^{-1}$ 要求 $J$ 行满秩（无奇异）；$J^{*}$（DLS）才是奇点邻域的工具。最容易犯的一条：对冗余臂硬求 $J^{-1}$，或忘了 $JW^{-1}J^{\mathrm T}$ 可逆的前提是 $J$ 行满秩——一到奇点情形老配方就失效。（3.5 常见错误 1、2）

D6 核对

错。 力变换是 $J^{\mathrm T}$（对偶），不是求逆：$\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}F_e$，来自虚功原理 / 功率守恒，$J$ 是长方阵时同样成立。连带的两条纪律：① $F_e$ 与 $J$ 必须在同一坐标系下——传感器测得的力要先用 3.8.2 的转置对偶关系变换到基系；② 它只是静力平衡式——一旦含惯性、科氏力，就必须回到动力学方程。（3.8 常见错误 1、2、3）

D7 核对

错。 转置方案 $\dot{\boldsymbol q}=J^{\mathrm T}K\boldsymbol e$ 的误差动态是非线性的（多出含 $J$ 随位形变化的项），$K$ 取大不一定更好；稳定性只能借助 Lyapunov 函数分析，收敛只是局部的。只有逆方案 $\dot{\boldsymbol q}=J_A^{-1}(\dot{\boldsymbol x}_d+K\boldsymbol e)$ 才把误差动态化成 $\dot{\boldsymbol e}=-K\boldsymbol e$ 那样的一阶线性系统（代价是每次求逆更贵）。怎么记：逆方案能完全线性化，转置方案省计算但只局部收敛。（3.7.2）