全章总结

这一页只做一件事：把第一章压缩成能带走的东西。逐节的关键结论与典型陷阱见第一章导览的三节一览表；必记公式见公式与结论卡；易混概念见易混对照卡。

一条主线

科学计算把实际问题翻译成数值问题（1.1），每一步翻译都产生误差；误差用绝对误差、相对误差、有效数字度量，按四则运算规则传播（1.2 前半）。算法设计的任务是控制传播（稳定性）、压低代价（复杂性），这要求先懂浮点数怎么表示、怎么运算（1.2 后半）。而陈述这一切的语言是范数：为向量与矩阵的「大小」立公理、给出计算公式，证明诸范数彼此等价、矩阵范数与向量范数相容，并通过定理 1.3.6 与 Neumann 级数直接换来第一个定理级回报（1.3）。

一句话版：翻译产生误差（1.1），误差可度量、会传播、能控制（1.2），而控制与度量的每一句话都需要一把尺子——范数（1.3）。

三句话带走

只看这三句、再配合公式与结论卡与易混对照卡，就是本章考前的最后一遍。

1. 先问病态，再问算法：条件数是问题的属性（换算法无用），稳定性是算法的属性（换问题提法无用）——两者必须分开诊断。
2. 有效数字是最诚实的货币：一次相近数相减、一个小除数、一次大小悬殊的求和，都可能让「打印出来的 17 位」只剩 1~2 位是真话。
3. $\lVert A\rVert\lt1$ 是一张万能保票：它同时保证 $I\pm A$ 可逆、逆的范数不超过 $(1-\lVert A\rVert)^{-1}$、Neumann 级数收敛、迭代误差几何衰减——第 2 章的迭代法全靠它起步。