第 4 章习题（教材 1–11）

题面数据以颜庆津《数值分析》（第 4 版）第 4 章习题（p.92–93）为准；本表给题面摘要、答案/提示与正文落点。证明题给证明骨架，计算题给方法/数值；具体数值按教材方程复算。

题	主题	题面摘要	答案 / 提示
1	对分法	$x^3-3x+1=0$ 最大正根； $x+\sin x=1$ ；误差 $10^{-3}$	✅ 先隔离根，再二分；步数约 $\log_2((b-a)/10^{-3})-1$ 。
2	简单迭代	三个方程，相对差 $10^{-6}$	✅ 改写成 $x=\varphi(x)$ ，验证 $\|\varphi'(s)\|\lt1$ ；否则换形式。
3	收敛性/阶	证明迭代收敛并判断阶	✅ 自映射 + 压缩；算 $\varphi'(s)$ ， $\ne0$ 线性， $=0$ 且 $\varphi''\ne0$ 二阶。
4	三阶迭代	$x_{k+1}=\frac{x_k(x_k^2+3a)}{3x_k^2+a}$	✅ $\varphi(\sqrt a)=\sqrt a$ ， $\varphi'=\varphi''=0$ ， $\varphi'''\ne0$ ，三阶。
5	Steffensen	指定方程	✅ 按 Aitken 外推公式；平方收敛，2–4 步到高精度。
6	Newton 法	指定方程，相对差 $10^{-5}$	✅ 验证定理 4.7 四条件，迭代 $x-f/f'$ 。
7	Newton 三阶条件	$f$ 满足什么条件？	✅ $f''(s)=0$ （且 $f'(s)\ne0$ ）时 Newton 三阶。
8	重根修正	$m$ 重根，修正 Newton	✅ $m$ 已知用 $x-mf/f'$ 恢复二阶；未知用 $ff'/((f')^2-ff'')$ 。
9	割线/单点割线	指定方程	✅ 割线两初值，阶 1.618；单点割线固定一个初值，线性。
10	方程组简单迭代	教材方程组	✅ 写成 $x=G(x)$ ，验证 $\rho(G')\lt1$ 或压缩。
11	方程组 Newton	教材方程组	✅ 每步解 $F'(x)\Delta x=-F(x)$ ；局部平方收敛。

覆盖核对

本页覆盖教材习题 1–11（题面摘要 + 答案/提示），与 4.1、4.1.5–4.1.8、4.2 互补。覆盖矩阵见第 4 章覆盖矩阵。