对应教材 4.1.5–4.1.8、定理 4.6–4.9、例 3–5、习题 6–9；对应老师第 8 讲、第 9 讲 §三–§四。
主线：Newton 用切线，割线用两点；前者二阶但要导数，后者 1.618 阶但只需函数值。
把 f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 x k x_k x k f ( x ) ≈ f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) , f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k), f ( x ) ≈ f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) , x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) . x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}. x k + 1 = x k − f ′ ( x k ) f ( x k ) . x k + 1 x_{k+1} x k + 1 ( x k , f ( x k ) ) (x_k,f(x_k)) ( x k , f ( x k )) x x x
定理 4.6（局部平方收敛） ：设 f f f s s s f ( s ) = 0 f(s)=0 f ( s ) = 0 f ′ ( s ) ≠ 0 f'(s)\ne0 f ′ ( s ) = 0 δ > 0 \delta\gt0 δ > 0 x 0 ∈ ( s − δ , s + δ ) x_0\in(s-\delta,s+\delta) x 0 ∈ ( s − δ , s + δ ) s s s
证明要点 ：令 φ ( x ) = x − f ( x ) / f ′ ( x ) \varphi(x)=x-f(x)/f'(x) φ ( x ) = x − f ( x ) / f ′ ( x ) φ ( s ) = s \varphi(s)=s φ ( s ) = s φ ′ ( x ) = f ( x ) f ′ ′ ( x ) [ f ′ ( x ) ] 2 , φ ′ ( s ) = 0. \varphi'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2},\qquad \varphi'(s)=0. φ ′ ( x ) = [ f ′ ( x ) ] 2 f ( x ) f ′′ ( x ) , φ ′ ( s ) = 0. m = 2 m=2 m = 2 ■ \blacksquare ■
定理 4.7（全局收敛，教材称“大范围收敛性定理”） ：设
f ∈ C 2 [ a , b ] f\in C^2[a,b] f ∈ C 2 [ a , b ] f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)\lt0 f ( a ) f ( b ) < 0 f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) [ a , b ] [a,b] [ a , b ] x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x 0 ∈ [ a , b ] f ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f(x_0)f''(x_0)\gt0 f ( x 0 ) f ′′ ( x 0 ) > 0
则 Newton 迭代收敛到 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] s s s
证明要点 ：由条件 (2)(3)，f f f f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] x 0 x_0 x 0 第 9 讲 。■ \blacksquare ■
例 3（教材 4.1.5） ：f ( x ) = x 3 − x − 1 = 0 f(x)=x^3-x-1=0 f ( x ) = x 3 − x − 1 = 0 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x 0 = 1.5 x 1 = 1.34783 , x 2 = 1.32520 , x 3 = 1.32472. x_1=1.34783,\quad x_2=1.32520,\quad x_3=1.32472. x 1 = 1.34783 , x 2 = 1.32520 , x 3 = 1.32472. 1 0 − 5 10^{-5} 1 0 − 5 1 0 − 4 10^{-4} 1 0 − 4
若 s s s f f f m m m f ( x ) = ( x − s ) m g ( x ) f(x)=(x-s)^m g(x) f ( x ) = ( x − s ) m g ( x ) g ( s ) ≠ 0 g(s)\ne0 g ( s ) = 0 f ′ ( s ) = 0 f'(s)=0 f ′ ( s ) = 0 m m m x k + 1 = x k − m f ( x k ) f ′ ( x k ) , x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, x k + 1 = x k − m f ′ ( x k ) f ( x k ) , m m m x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) [ f ′ ( x k ) ] 2 − f ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2-f(x_k)f''(x_k)} x k + 1 = x k − [ f ′ ( x k ) ] 2 − f ( x k ) f ′′ ( x k ) f ( x k ) f ′ ( x k )
用差商代替导数：
f ′ ( x k ) ≈ f ( x k ) − f ( x k − 1 ) x k − x k − 1 , f'(x_k)\approx\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}, f ′ ( x k ) ≈ x k − x k − 1 f ( x k ) − f ( x k − 1 ) , x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) f ( x k ) − f ( x k − 1 ) . x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}. x k + 1 = x k − f ( x k ) − f ( x k − 1 ) f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) . x 0 , x 1 x_0,x_1 x 0 , x 1 f f f f ′ f' f ′
定理 4.8 ：设 f f f s s s f ′ ( s ) ≠ 0 f'(s)\ne0 f ′ ( s ) = 0 s s s p = 1 + 5 2 ≈ 1.618. p=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1.618. p = 2 1 + 5 ≈ 1.618.
例 4（教材 4.1.7） ：仍取 x 3 − x − 1 = 0 x^3-x-1=0 x 3 − x − 1 = 0 x 0 = 1 , x 1 = 2 x_0=1,x_1=2 x 0 = 1 , x 1 = 2
k k k x k x_k x k ∣ f ( x k ) ∣ |f(x_k)| ∣ f ( x k ) ∣
0 2.0000000000 5.00 5.00 5.00 1 1.1666666667 5.79 × 1 0 − 1 5.79\times10^{-1} 5.79 × 1 0 − 1 2 1.2531120332 2.85 × 1 0 − 1 2.85\times10^{-1} 2.85 × 1 0 − 1 3 1.3372064458 5.39 × 1 0 − 2 5.39\times10^{-2} 5.39 × 1 0 − 2 4 1.3238500964 3.70 × 1 0 − 3 3.70\times10^{-3} 3.70 × 1 0 − 3 5 1.3247079365 4.27 × 1 0 − 5 4.27\times10^{-5} 4.27 × 1 0 − 5 6 1.3247179654 3.46 × 1 0 − 8 3.46\times10^{-8} 3.46 × 1 0 − 8 7 1.3247179572 3.23 × 1 0 − 13 3.23\times10^{-13} 3.23 × 1 0 − 13
约 6 次到 1 0 − 7 10^{-7} 1 0 − 7
若把 x k − 1 x_{k-1} x k − 1 x 0 x_0 x 0 x k x_k x k x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x 0 ) f ( x k ) − f ( x 0 ) . x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_0)}{f(x_k)-f(x_0)}. x k + 1 = x k − f ( x k ) − f ( x 0 ) f ( x k ) ( x k − x 0 ) .
定理 4.9 ：在 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)\lt0 f ( a ) f ( b ) < 0 f ′ f' f ′
例 5（教材 4.1.8） ：仍取 x 3 − x − 1 = 0 x^3-x-1=0 x 3 − x − 1 = 0 x 0 = 1 x_0=1 x 0 = 1 x = 2 x=2 x = 2
k k k x k x_k x k ∣ f ( x k ) ∣ |f(x_k)| ∣ f ( x k ) ∣
0 2.0000000000 5.00 5.00 5.00 1 1.1666666667 5.79 × 1 0 − 1 5.79\times10^{-1} 5.79 × 1 0 − 1 2 1.3956043956 3.23 × 1 0 − 1 3.23\times10^{-1} 3.23 × 1 0 − 1 3 1.2991042404 1.07 × 1 0 − 1 1.07\times10^{-1} 1.07 × 1 0 − 1 4 1.3348091646 4.34 × 1 0 − 2 4.34\times10^{-2} 4.34 × 1 0 − 2 5 1.3208702339 1.64 × 1 0 − 2 1.64\times10^{-2} 1.64 × 1 0 − 2 6 1.3262037791 6.35 × 1 0 − 3 6.35\times10^{-3} 6.35 × 1 0 − 3 7 1.3241469816 2.43 × 1 0 − 3 2.43\times10^{-3} 2.43 × 1 0 − 3 8 1.3249377847 9.38 × 1 0 − 4 9.38\times10^{-4} 9.38 × 1 0 − 4 9 1.3246333840 3.61 × 1 0 − 4 3.61\times10^{-4} 3.61 × 1 0 − 4 10 1.3247505038 1.39 × 1 0 − 4 1.39\times10^{-4} 1.39 × 1 0 − 4 11 1.3247054336 5.34 × 1 0 − 5 5.34\times10^{-5} 5.34 × 1 0 − 5
线性收敛，11 次才到 1 0 − 4 10^{-4} 1 0 − 4
方法 每步信息 收敛阶 初值 适用
对分法 f f f 1（公比 1/2） 区间 只求实根，最稳 简单迭代 φ \varphi φ 1 或 m m m 一个 需选对 φ \varphi φ Newton f , f ′ f,f' f , f ′ 2 一个，靠近根 光滑、导数好算 割线法 f f f 1.618 两个 导数难算 单点割线 f f f 1 一个 + 固定点 简单但慢
4.6 · Newton 法（教材习题 6）
用 Newton 法求指定方程的根，要求 ∣ x k − x k − 1 ∣ / ∣ x k ∣ ≤ 1 0 − 5 |x_k-x_{k-1}|/|x_k|\le10^{-5} ∣ x k − x k − 1 ∣/∣ x k ∣ ≤ 1 0 − 5
参考答案
先验证 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)\lt0 f ( a ) f ( b ) < 0 f ′ ≠ 0 f'\ne0 f ′ = 0 f ′ ′ f'' f ′′ f ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f(x_0)f''(x_0)\gt0 f ( x 0 ) f ′′ ( x 0 ) > 0 x k + 1 = x k − f / f ′ x_{k+1}=x_k-f/f' x k + 1 = x k − f / f ′
4.7 · 三阶收敛条件（教材习题 7）
f f f
参考答案
Newton 的 φ ′ ( s ) = 0 \varphi'(s)=0 φ ′ ( s ) = 0 φ ′ ′ ( s ) = 0 \varphi''(s)=0 φ ′′ ( s ) = 0 f ′ ′ ( s ) = 0 f''(s)=0 f ′′ ( s ) = 0 f ( s ) = 0 , f ′ ( s ) ≠ 0 f(s)=0,f'(s)\ne0 f ( s ) = 0 , f ′ ( s ) = 0
4.8 · 重根（教材习题 8）
设 s s s f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 m m m f ( 4 ) f^{(4)} f ( 4 ) f ′ ( s ) ≠ 0 f'(s)\ne0 f ′ ( s ) = 0
参考答案
普通 Newton 在重根处线性收敛；用 x k + 1 = x k − m f / f ′ x_{k+1}=x_k-m f/f' x k + 1 = x k − m f / f ′ m m m f f ′ / ( ( f ′ ) 2 − f f ′ ′ ) f f'/((f')^2-ff'') f f ′ / (( f ′ ) 2 − f f ′′ ) ( x − s ) m − 1 (x-s)^{m-1} ( x − s ) m − 1
4.9 · 割线与单点割线（教材习题 9）
分别用割线法和单点割线法求指定方程的根。
参考答案
割线法用两个初值，迭代 x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) / ( f ( x k ) − f ( x k − 1 ) ) x_{k+1}=x_k-f(x_k)(x_k-x_{k-1})/(f(x_k)-f(x_{k-1})) x k + 1 = x k − f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) / ( f ( x k ) − f ( x k − 1 ))
覆盖核对
本节覆盖教材 4.1.5–4.1.8、定理 4.6–4.9、例 3–5、习题 6–9；老师第 8 讲、第 9 讲 §三–§四。下一节：4.2 非线性方程组 。