错。 主要矛盾是标签稀缺而非数据稀缺：样本（序列、构型、格点观测、仿真轨迹）本来就极多，但「带答案」的样本极少、边际成本极高（一次湿实验、一轮高精度量子化学）。方法上的优先项是自监督、物理标签与主动学习（方法 8.1.1 三张配方），不是「先攒数据再训练」。把「数据多」与「标签多」当一个量，是本讲最常见的起点错误。

错。 能量是标量，整体旋转 / 平移下必须严格不变；朝向依赖是建模方式缺陷而非数值噪声——模型被迫用容量记住朝向与输出的对应，而这个对应是纯几何的、本该免费。三维旋转群下每个构象有连续无穷多个等价朝向，数据永远穷举不完，代价是样本效率与分布外泛化双降。规则：向量输出（力、坐标、偶极矩）等变，标量输出（能量、距离、二面角）不变。

错。 自动标签继承生成器误差：DFT 泛函误差、仿真近似、离散误差都写进训练数据，构成精度上限的一部分；此外还有覆盖率、能量与力的加权、截断半径与长程项、混用不同泛函造成的互相矛盾的标签。所以「免费标签」把误差从标注者转移到物理模型上，验证必须来自独立来源（实验、观测、更高精度计算），不能自证。

错。 互信息分不开「直接相互作用」与「经第三位点传递的相关」：构造 $X_k=X_i$、$X_j=X_k$ 的确定性链，三者完全相关，$\mathrm{MI}(i,j)=1$ bit $\gt0$，而 $i,j$ 没有直接相互作用。去伪三路线：① 全局模型（逆伊辛 / 伪似然，即直接耦合分析类做法）分离耦合与边际；② 用已知结构监督打分函数；③ 端到端方法不显式输出接触图，让注意力直接消费共进化信息。两两位点对共 $O(N^2)$ 个，假阳性会随规模堆积。

错，这是最危险的一类误判。 势函数常精确但静默地错：单步误差极小却带系统性偏置，长时累积成非物理结果（能量 / 温度缓慢漂移、结构滑出训练范围），而轨迹表面正常。使用前至少四项检查：① 能量—力一致性（有限差分 + 力常数矩阵对称性，不需要 DFT）；② NVE 下总能量漂移率与阈值比较；③ 结构分布是否仍在训练范围内（配位数、键长分布）；④ 关键统计量（径向分布函数、扩散系数）与高精度参照一致。

前半对、后半错。 优势在「信息融合的便利」（反问题、稀疏数据、复杂域、高维），但「不需要解数据」不等于「不需要输入」：方程、边界条件、采样策略、权重、优化预算都要人给；正向高精度求解上常不敌成熟求解器——机制是损失项梯度尺度差若干数量级（优化卡在某一项）、NTK 视角下各项特征值衰减速度不同（网络优先降一项）、谱偏差使激波 / 尖锐层难学。用它就把残差水平与边条件满足度当验收指标报告，而不是只看损失曲线。

错，三步都不成立。 ① 训练喂真值、推理喂自身输出 → 暴露偏差，输入分布随步数偏离训练分布；② 误差按 $e_{k+1}\approx J_{\mathcal F}e_k+\delta_k$ 放大，放大率由动力学决定；③ 若训练只做单步平均误差最小化，最优策略就是输出条件均值——而条件均值必然平滑、极值偏小（统计事实，不是 bug）。关键诊断：同初始场跑 teacher forcing 与 free running 对照，差距随步数扩大即证实暴露偏差；同时单列方差、极值分位数与功率谱。

不完整。 随机切分下的「难例子」仍属同分布；真正的分布外检验要改变切分维度——新材料体系 / 化学族、未来时段（按年份切分）、未参与训练的地理区域。而且外推有三条互相独立的判据：① 分布外、② 尺度（更大体系 / 更长时 / 更细网格）、③ 干预（主动改一个变量后预测后果）；缺一条都不足以支撑「掌握了机制」。干预判据最强也最难，因为需要真正的实验或受控仿真，而不是「另一批观测」。

(1) ① 不变（标量，旋转正交、平移抵消）；② 等变（向量，整体旋转时 $F_i\mapsto RF_i$，平移不变）；③ 等变（$x_i\mapsto Rx_i+t$）；④ 不变（$\lVert(Rx_i+t)-(Rx_j+t)\rVert=\lVert R(x_i-x_j)\rVert=\lVert x_i-x_j\rVert$，正交变换保长度）；⑤ 等变（需以相对位置定义才在平移下不变）；⑥ 不变（只由四点相对几何决定）。

(2) 令 $y_i=Rx_i+t$（每个原子同一变换），由不变性 $E(Y)=E(X)$；把左边看作 $X$ 的函数对 $x_i$ 求梯度，链式法则给 $\nabla_{x_i}E(Y)=R^{\mathsf T}\nabla_{y_i}E(Y)$，于是 $$F_i(Y)=-\nabla_{y_i}E(Y)=-(R^{\mathsf T})^{-1}\nabla_{x_i}E(Y)=-R\,\nabla_{x_i}E(X)=R\,F_i(X),$$ 用到了 $R$ 正交（$(R^{\mathsf T})^{-1}=R$）——这就是等变。平移：$E(X+t)=E(X)\Rightarrow\nabla_{x_i}E(X+t)=\nabla_{x_i}E(X)$，故力平移不变。

(3) ① 不变性（能量是标量，天然不变）；② 等变性（力作为梯度自动满足 (2)）；③ 保守性（同一个标量场的梯度 ⇒ 混合偏导可交换 ⇒ 力常数矩阵对称、闭合路径做功为零，例 8.3.1）——三条都不需要数据去学，是「把先验写进结构」的教科书形态。(4) 独立力头一般不是任何标量函数的梯度：沿路径的能量变化与力的积分对不上、绕闭合回路积分不为零（等于系统存在「能量环」），在分子动力学里表现为轨迹缓慢升温 / 降温、长时失效。检测不需要 DFT：有限差分一致性检验 + 力常数矩阵对称性检查（例 8.3.1 第 ③ 步）。

(1) $\mathcal L_{\text{global}}=\sum_j\lVert x_j-x_j^\star\rVert^2$ 依赖整块结构放在哪个坐标系里：同一条链整体旋转 / 平移后物理性质不变而损失值全变，模型于是去猜训练数据的坐标系，把容量浪费在与物理无关的自由度上。

(2) 全局叠合消除了整体位姿，但局部错误会被平均。构造（建立直觉用，非正文数字）：100 个残基中 10 个因域内错误偏 3 Å、其余 90 个偏 0.2 Å，则 $$\mathrm{RMSD}\approx\sqrt{\frac{10\times3^2+90\times0.2^2}{100}}=\sqrt{0.936}\approx0.97\ \text{Å},$$ 量级上是局部误差乘出错比例的平方根（$3\sqrt{0.1}\approx0.95$ Å）——少数错得离谱的残基被开平方稀释，损失几乎没单独惩罚它们。

(3) FAPE 给每个残基定义由骨架原子确定的刚体框架 $T_i$（预测）与 $T_i^\star$（真值），把点集变换到各自框架里再比较：$\mathcal L_{\text{FAPE}}=\frac1{N_{\text{frames}}}\sum_i\sum_j\lVert T_i^{-1}(x_j)-T_i^{\star-1}(x_j^\star)\rVert$（按论文做法可带截断与逐帧对齐）。每个残基邻域的几何都被单独检查一遍，局部错误无法被全局平均；而框架来自预测结构自身（不是逐残基独立最优对齐），全局一致性仍被约束。

(4) 三种损失对照：[原始坐标 MSE] 对整体位姿敏感、对局部几何弱 → 模型学坐标系统；[全局叠合 RMSD] 位姿不敏感、局部仍弱（被平均）→ 局部错误被掩盖；[FAPE] 位姿不敏感、局部强 → 两者同时受约束。分工一句话：等变结构模块解决「整体位姿怎么表示」，FAPE 解决「几何差怎么度量」。

(1) 每个原子的能量只依赖截断半径 $r_c$ 内的邻居（平均 $k$ 个）。一轮消息传递对每原子聚合 $k$ 个邻居 → $O(Nk)$；$L$ 轮后 $O(LNk)$，其中 $L,k$ 与 $N$ 无关，故随原子数近似线性增长（对照：DFT 解自洽场，通常随电子数高阶增长，且每个构型都要重新迭代）。

(2) ① 可迁移：局部环境的「评价标准」不变，同一组参数对 $N=10$ 与 $N=10^{5}$ 都成立（比固定规模的代理模型值钱）；② 平移不变自动成立：$\mathcal N_i$ 只由相对位置构成，整体挪动不改变任何局部环境。

(3) 单点差 $10^{3}\sim10^{6}$ 倍（DFT 单点 $10^{1}\sim10^{3}$ s 对势函数前向 $10^{-4}\sim10^{-2}$ s）；整段模拟更直观：$10^{6}$ 步 MD 用 DFT 约 $10^{7}$ 秒（≈116 天），用势函数约 $10^{3}$ 秒（≈17 分钟）（例 8.3.2）。

(4) ① 长程相互作用被截断忽略（静电、色散、电荷转移）→ 对离子晶体、带电体系、大分子聚集误差大；检查：对带电 / 极性体系单独验证，必要时显式加长程项。② 截断半径与近邻集合的选择决定精度与连续性，且数据集中在平衡构型附近时解离 / 断键极限不可信；检查：用含反应路径的数据训练并对势垒专门验证，在目标体系上用 DFT 抽查点核对。总纲：局部性把代价降到线性，也把能力上限锁在训练覆盖的化学空间里（方法 8.3.2）。

(1) $\mathcal L=\mathcal L_{\text{data}}+\lambda_r\frac1N\sum_k\lVert\mathcal N[u_\theta](x_k,t_k)\rVert^2+\lambda_b\mathcal L_{\text{bc}}$。残差里的 $\partial_tu_\theta,\partial_xu_\theta,\partial_x^2u_\theta$ 全部由对输入 $x,t$ 的自动微分给出（二阶导就是对输入求两次导，可用嵌套 grad，不需要差商）。

(2) $u^{(1)}$：$u_t=-\alpha e^{-\alpha t}\sin x$、$u_{xx}=-e^{-\alpha t}\sin x$ ⇒ $r=0$（$k=1$ 的正确衰减率 $\alpha k^2=\alpha$ 恰好匹配）。$u^{(2)}$：$u_t=-\alpha e^{-\alpha t}\sin2x$、$u_{xx}=-4e^{-\alpha t}\sin2x$ ⇒ $$r=-\alpha e^{-\alpha t}\sin2x+4\alpha e^{-\alpha t}\sin2x=3\alpha e^{-\alpha t}\sin2x\ne0 .$$ 一般规律：$u=\sin(kx)f(t)\Rightarrow f'=-\alpha k^2f$，即 $u=e^{-\alpha k^2t}\sin(kx)$ 对任意 $k$ 都是精确解（高频衰减更快）；修正 $u^{(2)}$ 只需改成 $e^{-4\alpha t}\sin2x$。

(3) 残差只在采样点上算：覆盖不足、权重失衡、或解在点间剧烈变化时，损失可以很低而解很错。必须同时报告：① PDE 残差的相对量级；② 边界与初条件满足度；③ 与低精度参照解或守恒量的对照（守恒违反率单列，方法 8.4.4）。

(4) 数据项、残差项、边条件项的梯度尺度可差若干数量级 → 优化卡在某一项（公开分析建议按梯度统计做自适应权重）；NTK 视角下各项特征值衰减速度不同 → 网络优先降衰减慢的那一项。处置：① 自适应权重 / 梯度归一化，让各项尺度可比；② 改采样与结构（提高高频表达能力、把硬约束写进结构），正向高精度需求直接改用成熟求解器或神经算子。

(1)(2) $e_k=g^ke_0$，令 $g^k=2$ 得 $k^\star=\ln2/\ln g$（$g\gt1$）。$g=1.05$：$0.6931/0.04879\approx14.2$ 步 → $85$ h $\approx3.5$ 天。$g=1.02$：$0.6931/0.01980\approx35.0$ 步 → 210 h $=8.75$ 天（口径见勘误第四节）。$g=0.98\lt1$ 时误差单调衰减、不存在翻倍时刻，半衰期 $\ln0.5/\ln0.98\approx34$ 步 ≈8.5 天。含义：放大率从 1.05 降到 1.02，翻倍时间从 3.5 天拉到 8.75 天，等于同误差容限下多获得若干天可用预报（$g$ 是玩具放大率，真实误差增长随变量、尺度、天气形势变化，需核实）。

(3) $e_{k+1}=ge_k+\delta$ 解得 $$e_k=g^ke_0+\delta\frac{1-g^k}{1-g}\ (g\ne1),\qquad e_\infty=\frac{\delta}{1-g}\ (g\lt1).$$ $g\lt1$：误差不再增长但停在非零水平 $\delta/(1-g)$，$g\to1^-$ 时稳态越大（$g=0.98$ 时是 $50\delta$，$g=0.9$ 时是 $10\delta$）；$g\gt1$ 时 $\delta$ 项同样被逐步放大。

(4) ① 若「误差不增长」，先确认它不是过度平滑：把预报都推成气候平均，误差当然不增长，但预报毫无价值——要同看方差比、极值分位数与功率谱。② 放大率由动力学决定（$J_{\mathcal F}$ 的特征值），混沌系统上任何模型都有可预报性上限；因此两者分开报告才知道哪里还有改进空间（8.5.5 的思考框）。

(1) 截断误差（泰勒展开）：$\frac{h^2}{6}f'''(\xi)\sim\frac{Mh^2}{6}$；舍入误差（两个函数值各带约 $\varepsilon\lvert f\rvert$ 绝对误差，相减不抵消，再除以 $2h$ 放大）：$\sim\frac{\varepsilon}{h}$（取 $\lvert f\rvert\sim1$）。故 $$E(h)\approx\frac{Mh^2}{6}+\frac{\varepsilon}{h}.$$

(2) 令 $\frac{dE}{dh}=\frac{Mh}{3}-\frac{\varepsilon}{h^2}=0\Rightarrow h^3=\frac{3\varepsilon}{M}$， $$h^\star=\Bigl(\frac{3\varepsilon}{M}\Bigr)^{1/3}\approx(3\times2.2\times10^{-16})^{1/3}\approx8.7\times10^{-6}\ (\text{量级 }\varepsilon^{1/3}\approx10^{-5}).$$ 由 $h^{\star3}=3\varepsilon/M$ 得截断项 $=\frac{Mh^{\star2}}{6}=\frac{\varepsilon}{2h^\star}$，恰为舍入项的一半，故 $E(h^\star)=\frac32\frac{\varepsilon}{h^\star}\approx3.8\times10^{-11}$（量级 $\varepsilon^{2/3}\approx10^{-10}$）。

(3) 双精度下中心差分可达精度在 $10^{-10}\sim10^{-11}$（已是最好的情况）：相对误差 $<10^{-6}$ 是可达且合理的验收门槛；$<10^{-12}$ 不可达（数值差分本身都到不了）；若差到 $10^{-3}$ 以上，说明梯度链路有问题（不可微点、参数未参与计算图、实现错误），必须排查。注意强不连续处（接触、相变、激波）校验也会失败——此时应光滑化或退回无梯度方法。

(4) 它不需要真值、成本极低，却能在花掉大量算力之前暴露梯度链路错误，是可微分仿真里唯一的「梯度可信度体检」（方法 8.4.3）。

import numpy as np; rng = np.random.default_rng(0)
def force(X):                     # 权重只能由"不变标量"构成，向量只能是"坐标差"
    d = np.linalg.norm(X[:, None] - X[None, :], axis=-1)      # 距离：旋转/平移不变
    w = np.tanh(3.0 - d) / (1.0 + d); np.fill_diagonal(w, 0.0)
    return np.einsum('ij,ijd->id', w, X[:, None] - X[None, :])  # 差分：旋转下等变
def energy(X):
    d = np.linalg.norm(X[:, None] - X[None, :], axis=-1)
    return 0.5 * np.exp(-d).sum()                              # 只依赖距离 ⇒ 不变
X = rng.normal(size=(6, 2)); th = rng.uniform(0, 2 * np.pi)
R = np.array([[np.cos(th), -np.sin(th)], [np.sin(th), np.cos(th)]]); t = rng.normal(size=2)
XR = (R @ X.T).T + t
print("等变误差:", np.abs(force(XR) - (R @ force(X).T).T).max(), "不变误差:", abs(energy(XR) - energy(X)))
p = rng.permutation(6)
print("置换误差:", np.abs(force(X)[p] - force(X[p])).max(), abs(energy(X[p]) - energy(X)))
W = rng.normal(size=(2, 2))                                        # 对照组：无对称性
print("对照失败量级:", np.abs(W @ XR.T - (R @ (W @ X.T))).max())   # >> 1e-5

关键：等变性来自「不变标量 × 等变向量」的组合——这正是等变判断的直觉框 说的「把先验写进结构」。

import numpy as np
def E_and_F(X):                                  # LJ 势与解析力（截断 3.0）
    F = np.zeros_like(X); e = 0.0
    for i in range(len(X)):
        for j in range(i + 1, len(X)):
            r = X[i] - X[j]; d = np.linalg.norm(r)
            if d > 3.0: continue                 # 截断：长程项被显式丢掉（见 B3 的代价）
            inv6 = d ** -6; e += 4 * (inv6 ** 2 - inv6)
            fij = 24 * (2 * inv6 ** 2 - inv6) / d ** 2 * r
            F[i] += fij; F[j] -= fij
    return e, F
X = np.array([[0., 0., 0.], [1.1, 0., 0.], [0., 1.2, 0.], [0., 0., 1.3], [0.9, 0.9, 0.8]])  # 对距 1.10–1.77
h, amp = 1e-5, 0.02
F_an = E_and_F(X)[1]; F_fd = np.zeros_like(X)
for c in range(3 * len(X)):                      # 对 15 个坐标逐个中心差分
    i, a = divmod(c, 3); D = np.zeros_like(X); D[i, a] = h
    F_fd[i, a] = -(E_and_F(X + D)[0] - E_and_F(X - D)[0]) / (2 * h)
print("力自洽相对误差: %.2e" % (np.abs(F_fd - F_an).max() / np.abs(F_an).max()))   # ~7e-9
def loop_work(Ffun, steps=200, rule="mid"):      # 真闭合矩形回路，绕原子 0 的 (x,y) 面
    Y = X.copy(); w = 0.0
    for dV in ([amp, 0, 0], [0, amp, 0], [-amp, 0, 0], [0, -amp, 0]):   # 顺序不能乱
        step = np.zeros_like(X); step[0] = np.asarray(dV, float) / steps
        for _ in range(steps):
            Yp = Y + 0.5 * step if rule == "mid" else Y                  # 中点 vs 左端点
            w += float((Ffun(Yp) * step).sum()); Y = Y + step
    return abs(w)
Fmax = np.abs(F_an).max(); norm = Fmax * 4 * amp
G = lambda Y: E_and_F(Y)[1] + 0.5 * np.cross(Y, np.ones(3))   # 自造旋涡：非保守项
w_cons = loop_work(lambda Y: E_and_F(Y)[1]) / norm; w_swirl = loop_work(G) / norm
print("保守场归一化做功 %.2e（理论 0）  旋涡 %.2e（理论 %.2e）"
      % (w_cons, w_swirl, 0.5 * 2 * amp * amp / norm))                    # ~1e-10 vs ~1.4e-3
print("左端点法则下的假做功 %.2e" % (loop_work(lambda Y: E_and_F(Y)[1], rule="left") / norm))
def hess(eps=1e-5):                              # 力常数矩阵（Hessian）
    A = np.zeros((3 * len(X), 3 * len(X)))
    for c in range(3 * len(X)):
        i, a = divmod(c, 3); D = np.zeros_like(X); D[i, a] = eps
        A[:, c] = ((E_and_F(X + D)[1] - E_and_F(X - D)[1]) / (2 * eps)).reshape(-1)
    return A
A = hess(); print("力常数对称性偏差 %.2e" % (np.abs(A - A.T).max() / np.abs(A).max()))  # ~8e-11

提示：回路的顺序与法则都很关键——「+x、−x、+y、−y」是退化路径（面积为零，任何场都不做功），必须按「+x、+y、−x、−y」围成矩形；法则要用中点，否则离散化误差会淹没真实环路。若回路跨过截断面（对距越过 $3.0$），保守场也会算出非零做功——那是截断的代价，不是实现的错（方法 8.3.2 的「长程项」一行）。 两条检查都不需要 DFT 真值，是任何实验之前就该做的体检（例 8.3.1）。

import numpy as np
from collections import Counter
def H(v):
    n = len(v); return -sum(c / n * np.log2(c / n) for c in Counter(v).values())
def MI(a, b):
    n = len(a); return H(a) + H(b) - H(list(zip(a, b)))     # 熵形式，等价于求和式
def CMI(a, b, c):                                          # 条件互信息：MI(a;b|c)
    tot = 0.0  # 按 a 的取值分层，用条件熵之差算
    for v, cnt in Counter(a).items():
        idx = [i for i in range(len(a)) if a[i] == v]
        w = cnt / len(a)
        tot += w * (H([b[i] for i in idx]) + H([c[i] for i in idx]) -
                    H([(b[i], c[i]) for i in idx]))
    return tot
M = np.array([[0, 0, 0], [0, 0, 0], [1, 1, 1], [1, 1, 0]])   # 例 8.2.1
print([round(MI(M[:, i], M[:, j]), 3) for i, j in ((0, 1), (1, 2), (0, 2))])  # 1.0, .311, .311
s = np.array([0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0])  # 链式：2 由 1 决定、3 由 2 决定
print("链式 MI(1,3) =", round(MI(s, s), 3), " 条件化后 =", round(CMI(s, s, s), 3))

读法：$\mathrm{MI}$ 排序会把「1–3」也当成候选接触；只有条件化（或拟合全局模型、或端到端输出坐标）才能把直接与传递分开（定理 8.2.1）。

import torch, torch.nn as nn
class SpectralConv2d(nn.Module):
    """频域线性变换 + 高频截断：k_max 是设计选择（低频主导的先验），不是近似缺陷。"""
    def __init__(self, cin, cout, k1, k2):
        super().__init__()
        s = 1.0 / (cin * cout)  # 缩放：与参考实现一致的初始化尺度
        self.w1 = nn.Parameter(s * torch.rand(cin, cout, k1, k2, 2))   # 低频块
        self.w2 = nn.Parameter(s * torch.rand(cin, cout, k1, k2, 2))   # 负频率块
        self.k1, self.k2 = k1, k2
    def forward(self, x):                                  # x: (B,cin,H,W)
        B, C, H, W = x.shape
        xf = torch.fft.rfft2(x)
        out = torch.zeros(B, self.w1.shape[1], H, W // 2 + 1, dtype=torch.cfloat)
        w1 = torch.view_as_complex(self.w1.contiguous()); w2 = torch.view_as_complex(self.w2.contiguous())
        out[:, :, :self.k1, :self.k2] = torch.einsum("bixy,ioxy->boxy", xf[:, :, :self.k1, :self.k2], w1)
        out[:, :, -self.k1:, :self.k2] = torch.einsum("bixy,ioxy->boxy", xf[:, :, -self.k1:, :self.k2], w2)
        return torch.fft.irfft2(out, s=(H, W))             # 回到物理空间，形状与输入相同
layer = SpectralConv2d(32, 32, 12, 12)
n_spec = sum(p.numel() for p in layer.parameters())   # 两个频率块 × (cin,cout,k1,k2,2)
n_one = n_spec // 2                                   # 单个复数张量的口径 = 例 8.4.1 的 294912
n_conv = 32 * 32 * 9
print(n_spec, n_one, n_conv, 32 * n_conv)             # 589824, 294912, 9216, 294912
assert n_one == 294912 and n_conv == 9216 and 32 * n_conv == n_one and n_spec == 2 * n_one
for R in (64, 128):                                        # 同一模块、两种分辨率
    y = layer(torch.randn(2, 32, R, R))
    assert y.shape == (2, 32, R, R)
    assert sum(p.numel() for p in layer.parameters()) == n_spec  # 参数量与分辨率无关

为什么不够：参数量不变只说明「参数没和网格点绑定」；真正的主张是在函数范数意义下近似同一算子，必须在训练分辨率之外的网格上测相对 $L^2$（方法 8.4.4 第一项），并对含高频 / 间断的解单列（此时 $k_{\max}$ 截断是结构性失效）。

import numpy as np
def rollout(g, e0=1.0, delta=0.0, steps=20000):
    e = np.empty(steps + 1); e[0] = e0
    for k in range(steps):   # 标量版 e_{k+1} ≈ J e_k + δ_k
        e[k + 1] = g * e[k] + delta
    return e
def doubling(g, e0=1.0):                   # 首次达到 2*e0 的步数；衰减时返回 None
    e = rollout(g, e0); i = np.argmax(e >= 2 * e0); return int(i) if e[i] >= 2 * e0 else None
def halving(g, e0=1.0):                    # 首次降到 e0/2 的步数（g<1 时才有意义）
    e = rollout(g, e0); i = np.argmax(e <= e0 / 2); return int(i) if e[i] <= e0 / 2 else None
for g in (1.05, 1.02, 0.98):
    ana = np.log(2) / np.log(g) if g > 1 else None
    print(g, doubling(g), None if ana is None else round(ana, 2),
          None if ana is None else round(ana * 6 / 24, 2), "天")
assert abs(doubling(1.05) - np.log(2) / np.log(1.05)) <= 1.0     # 15 步 vs 解析 14.2 ≈ 3.5 天
assert abs(doubling(1.02) - np.log(2) / np.log(1.02)) <= 1.0     # 36 步 vs 解析 35.0 = 8.75 天
assert doubling(0.98) is None                                    # 衰减：永不翻倍
assert abs(halving(0.98) - np.log(0.5) / np.log(0.98)) <= 1.0    # ≈35 步 vs 34.1 步 ≈ 8.5 天
e = rollout(0.98, delta=1.0, steps=20000)
assert abs(e[-1] - 50.0) / 50.0 < 1e-6          # 稳态 = δ/(1-g) = 50δ

读法：解析式给趋势，离散迭代只能取整——两者最多差一步，这本身就是「翻倍步数是描述性量而非精确常数」的提醒；数值翻倍时间关于 $g$ 的曲线在 $g\to1^+$ 处急剧增长，这是「模型改进延长预报时效」的机制，也提醒同一模型在稳定系统上好、在混沌系统上差，是任务性质而非模型好坏。

import torch, numpy as np
def residual(u, x, t, alpha=0.1):                 # r = u_t - alpha*u_xx，全部对输入求导
    x = x.clone().requires_grad_(True); t = t.clone().requires_grad_(True); out = u(x, t)
    u_t = torch.autograd.grad(out.sum(), t, create_graph=True)[0]
    u_x = torch.autograd.grad(out.sum(), x, create_graph=True)[0]
    u_xx = torch.autograd.grad(u_x.sum(), x)[0]   # 二阶导：对输入再求一次
    return u_t - alpha * u_xx
xs = torch.linspace(0, 1, 64, dtype=torch.float64); ts = torch.linspace(0, 0.5, 64, dtype=torch.float64)
r1 = residual(lambda x, t: torch.exp(-2 * 0.1 * t) * torch.sin(2 ** 0.5 * x), xs, ts)
r2 = residual(lambda x, t: torch.exp(-0.1 * t) * torch.sin(2 * x), xs, ts)
ref = 3 * 0.1 * torch.exp(-0.1 * ts) * torch.sin(2 * xs)
assert r1.abs().max().item() < 1e-10                          # 精确解残差为零（≈5e-17）
assert ((r2 - ref).abs().max() / ref.abs().max()).item() < 1e-6  # 残差 = 3αe^{-αt}sin2x
f = lambda v: torch.sin(v) + v ** 2                            # 梯度校验扫描
th0 = torch.tensor(0.7, dtype=torch.float64); th = th0.clone().requires_grad_(True)   # 同一张量：输入即求导目标
g_true = torch.autograd.grad(f(th), th)[0]
hs = torch.logspace(-10, -2, 100, dtype=torch.float64)
errs = np.array([abs(((f(th0 + h) - f(th0 - h)) / (2 * h) - g_true).item()) for h in hs])
i = int(errs.argmin())
print("最优步长 %.2e（毛估 h*≈9e-6）  最低误差 %.2e  相对误差 %.2e"
      % (hs.numpy()[i], errs[i], errs[i] / abs(g_true.item())))

读法：误差曲线呈 U 形——左侧被舍入支配（$O(1/h)$ 上翘）、右侧被截断支配（$O(h^2)$）；实测最优与例 8.4.4 的毛估（$h^\star\approx8.7\times10^{-6}$、$E\approx3.8\times10^{-11}$）同量级（本例函数极光滑、$\lvert f\rvert\approx1$，最低相对误差会落到 $10^{-12}$ 附近——可达精度是函数相关的）。工程结论不变：对整个梯度向量定容差时，相对误差 $<10^{-6}$ 是稳健门槛，$10^{-12}$ 不能当门槛（换一个 $\lvert f\rvert$ 更大、分量尺度更杂的函数就到不了）。这一步的关键不是抠数字，而是确认「梯度链路没有错」。

归类：主任务是反演 / 设计（给定期望性质求成分），外墙用一个正向代理模型打分。流水线：条件生成或成分枚举 / 进化搜索产出候选 → 代理模型打分 + 约束过滤（含铅量、化学可行性）→ 少量高分候选做 DFT 复核 → 3–5 个做合成表征 → 标签回填重训（方法 8.3.3、方法 8.3.4）。 理由：反演多解、欠定（许多成分能给出同一带隙），不适合只做单点回归；打分器必须带不确定性，否则会系统性偏向模型过度自信的区域；实验预算只有 5 个样品，必须用主动学习把预算花在信息量最大的点上。 可验证判据：① 量纲与物理合理性（带隙为正、不随成分突变）；② 分布外切分：按元素族 / 结构原型整族留出，另设「按发表年份」的时间切分；③ 尺度外推：在训练区间之外的成分比例上，误差随外推距离温和上升（刚超出就数量级跳变 ⇒ 无外推结构）；④ 干预：对 3–5 个候选做合成与表征，比较预测与实测的排序一致性（Spearman），而不只看绝对误差。 失败判据：OOD 下排序能力崩溃（如 Spearman $<0.3$）⇒ 只能当候选生成器；高价候选的 DFT 复核带隙偏离区间中心超过 ±0.3 eV 且方向随机 ⇒ 代理误差不可用；5 个样品全部无法合成 ⇒ 可合成性约束没真正进入流程。 验证计划：先做「按族留出」的离线评估 → 小规模 DFT 复核 10–20 个候选（记录泛函、收敛标准、数据库版本）→ 提交 1–2 个低风险候选试点合成 → 把本轮失败样本写进报告（失败样本比成功样本更能暴露判据问题）。 评分要点：归类正确 2 分 + 方案含不确定性 3 分 + 判据可验证（含 OOD 与干预）3 分 + 失败判据与验证计划各 1 分。

适用域声明（交付物的一部分）：化学空间（元素组合 / 氧化态 / 配位环境）、构型范围（平衡构型附近、无断键与高能缺陷）、温压区间（训练在 300 K 附近，1200 K 属外推）、性质（能量与力；不保证过渡态势垒）、训练来源（单一泛函、数据库版本与日期）、已知盲区（长程静电 / 色散、自旋与电子态）。 检查清单（逐条过 方法 8.3.2）：① 能量—力一致性（有限差分 + 力常数对称性）——免 DFT；② NVE 下总能量漂移率与阈值比较——免 DFT；③ 结构分布是否滑出训练范围（配位数、键长分布、局部环境距离度量）——免 DFT；④ 化学空间覆盖：在目标体系（含氧空位、1200 K 采样构型）选 10–20 个代表点做 DFT 抽查；⑤ 解离 / 断键极限与势垒：用含反应路径的数据或 DFT 核算；⑥ 长程项与带电 / 极性体系单独验证；⑦ 明确声明温压区间（1200 K 属外推）。 失败判据：漂移率超阈值 ⇒ 判不可用；力—能量一致性相对误差 $>10^{-6}$ 量级 ⇒ 先修链路再谈物理；DFT 抽查误差超出可接受带 ⇒ 必须补数据重训；势垒偏差方向不可解释（如系统性高估所有势垒）⇒ 不得用于扩散速率外推。 验证计划：① 先跑 300 K 对照（训练分布内）确认复现训练精度；② 逐温度上推 600 → 900 → 1200 K，记录漂移率与结构分布指标；③ 在 1200 K 上用短时 DFT-MD 或 NEB 核对势垒与扩散系数；④ 对截断半径与训练集大小做敏感性分析；⑤ 报告写明「哪些结论在适用域内、哪些是外推」。 评分要点：适用域声明完整 3 分 + 清单含两条免 DFT 检查 3 分 + 失败判据可执行 2 分 + 验证计划含逐温度上推与 DFT 核对 2 分。

方案：从风险最小、收益可测的加速 / 混合起步——用网络替换模式中昂贵的环节（参数化 / 辐射类算子）或做偏差订正，保留动力核心的守恒骨架；「整体替代」只在拿到充分分布外与极端事件证据后才考虑（方法 8.5.3）。下尺度按条件生成处理（低分辨率场 + 地形等静态特征 → 高分辨率场），并显式加入收支一致性约束（质量 / 能量 / 水汽），而非只用像素级损失（下尺度的直觉框）。 评测口径（硬要求）：① 同初始场（同一分析场）、同时效、同变量与层次、同评分定义下与业务模式对照；② RMSE 与 ACC 并列——RMSE 对幅度敏感、ACC 尺度不变，例 8.5.3 里形态完美的预报 RMSE 几乎差一倍；③ 极端事件单列（事件定义：阈值 / 区域 / 时段；给样本数与置信区间）；④ 时间外推切分（不同年份训练 / 测试），不用随机切分。 失败判据：方差比随步数迅速收缩、功率谱在小尺度系统性偏低 ⇒ 过度平滑（暴露偏差或损失口径，例 8.5.2）；极端阈值超阈值频率显著偏低 ⇒ 不可用于灾害场景；细化后收支不一致 ⇒ 下游水文 / 能源模型会拿到自相矛盾的输入。 验证计划：单次强降水个例 → 逐时效误差与方差 / 极值曲线 → 极端事件专项（按类型分组）→ 未参与训练的地形 / 气候区泛化 → 与业务模式同口径对照并注明模式版本。 两方证据（并列）：支持数据驱动一方主张——推理极快、可大量生成集合成员、不依赖业务模式代码栈，且中短期若干指标已可与业务模式对照（口径以原文与官方评测为准）；谨慎一方主张——纯数据模型失去守恒保证与可解释性，极端事件与外推风险高，初始场质量仍由资料同化决定，「为什么」无法解释。分歧其实是口径：按「替代求解器」评估则边界明显，按「物理约束接口 / 加速器」评估则价值独特——写结论前先声明用哪个口径。 评分要点：三类关系选择有理由 3 分 + 评测口径完整 3 分 + 失败判据 2 分 + 两方证据并列并点出口径差异 2 分。

验证器强度选择（方法 8.6.2 阶梯：可执行复算 > 形式化检查 > 拟合 + 物理检查 > 主观评审）：(b) 属可执行复算级（给代码与输入任何人都能重跑），但要追问「评分器是否覆盖真实需求」（最坏情况、内存与稳定性、边界输入、并发）与「是否只是已知算法的重发现」（与文献含理论下界对照）；(c) 属形式化检查级（机器逐行核对），剩下的判断只在「这个定理是否重要」；(a) 最软，要过量纲、极限、独立数据、干预四道检查（例 8.6.2），因此验证预算应压倒性地向它倾斜。 预算分配：硬验证器（b、c）只要算力与阅读成本；软验证器（a）必须预留独立数据采集与干预实验的费用，并按五步流水线逐级加码——第 ① 步（量纲 / 极限）不过关就不必花实验预算。 失败判据：① (a) 量纲不一致，或在浓度 / 温度趋零的已知极限上不退化正确 ⇒ 判为拟合式；② (a) 在独立批次数据上项的结构变化或系数变化超置信区间 ⇒ 判为不稳定；③ (b) 评分器未覆盖的维度上崩溃（最坏情况慢一个数量级）⇒ 判为「在错误目标上很强」；④ (c) 只证明「命题在该形式系统内可证」而无法说明与真实问题的对应 ⇒ 不得当科学结论。 两类伪发现：① 判据产物——「新」依赖比对口径与阈值（数据库版本、相似度阈值一变结论就变；大规模搜索产物常是已知原型的畸变或超胞变体）；② 目标错设——验证器只验证它被设计来验证的东西，评分器写错目标时系统会高效地优化出错误目标下的强解（与第 7 讲的奖励错设同构）。 两方主张的可检验推论（思考 8.6.2）：若「高效插值」一方正确，推论是把评分器换成人类无法事先定义的评价标准时，这类系统就会失效；若「新的理解载体」一方正确，推论是模型表征应能预测人类尚未写出公式的现象，且预测能被实验证实。两条推论都可用同一套实验框架检验，因此不必先站队即可推进研究；在证据出现前，按验证器强度决定信任级别、按决策表决定输出用途。 评分要点：三档验证器映射正确 3 分 + 预算分配有理由 2 分 + 失败判据与两类伪发现 3 分 + 两方主张写成可检验推论 2 分。