8.1 为什么科学适合深度学习

科学是深度学习最反常识的一块应用。前七讲的数据由人制造：图像被标注、文本被书写、轨迹由策略产生。科学数据的生产者是自然——它不受你的标注预算支配，也不按你的采样计划出现。这既带来别处没有的困难，也带来别处没有的机会。

困难是贵与少：一个蛋白质有成千上万个原子，构象空间大到无法枚举；一个气候状态向量可以包含上亿个格点；做一次湿实验、跑一轮高精度量子化学、架一次风洞，代价都是时间与金钱的数量级问题。你能做的实验次数，远少于你想探索的候选数。

机会是结构与规律都是在的：数据库里堆着海量的序列、结构、卫星观测，它们的结构本身就是信息；而物理规律（对称性、守恒律、控制方程）是一份不需要跟你要实验预算的「老师」。于是科学问题的形态特别适合「学习一个从高维输入到目标量的映射」，并且它的标签可以不靠人工标注造出来。

这一节不急着上模型。它只回答三个问题：科学数据到底有哪些特点决定了它的方法？「把实验试错变成可微分推断」这句话确切指什么？科学机器学习的任务可以分成哪几类、各自的失败模式是什么？把这三点讲清楚，后面五节才有共同语言。

科学数据与人造数据的三个差别

8.1.1 三个特点：结构化先验、可验证答案、海量弱标注

定义 8.1.1 · 科学数据的三个特点

把科学任务写成「映射学习」 $f_\theta:\boldsymbol x\mapsto y$ 之后，它与人造数据集（图像分类、文本生成）的差别集中在三点：

特点	含义	直接后果
结构化先验	存在一批与数据无关、与你观测与否无关的约束：空间对称性（旋转 / 平移 / 置换）、守恒律（能量、动量、质量、电荷）、控制方程（PDE）、局部性（相互作用随距离衰减）	这些约束可以直接写进网络结构或损失，等价于免费的归纳偏置；不写就要靠数据从零学起
可验证答案	每个样本背后有一个客观的、可被独立测量或高精度计算复核的真值（结构、能量、未来状态）	标签的正确性不依赖标注者，因此可以用廉价但高保真的近似（DFT、仿真）自动生成标签；也意味着模型的错误会被现实抓住
海量弱标注	样本数量巨大（序列、构型、格点观测、仿真轨迹），但「带答案」的样本极少，且获得一个新答案的边际成本极高	主要矛盾是标签稀缺而非数据稀缺；方法上应优先自监督、物理约束与主动学习，而不是「先攒数据再训练」

把三点合起来读：科学给深度学习的是「便宜的约束」与「昂贵的答案」——所以聪明的做法是尽可能地用约束换答案，用结构换样本。

为什么「缺标签」才是核心矛盾

监督学习缺的从来不是数据，是标签。科学里绝大多数样本的「答案」都要花实验或高精度计算才能得到，这就把问题变成一个预算分配问题：在固定的实验 / 算力预算下，怎样让模型进步最多？

科学对此有三条回应，恰好对应用掉上面三个特点：

用结构当标签：一段氨基酸序列旁边没有写着「它的结构是什么」，但序列内部带着共进化约束（8.2 会讲）；一个分子构型旁边没有写着「它的能量是多少」，但物理能算（8.3 会讲）。数据自带结构，标签可以从结构里造。
用方程当标签：PDE 的残差不需要任何观测就能在任意点上计算，于是「让网络满足方程」本身就是一个可优化的目标（8.4 会讲）。
用实验当稀缺资源：把模型当成筛选器，用它把候选空间从百万级压到几十个，再把实验预算花在这几十个上——这是主动学习（active learning）在科学里的基本位置（8.3 会讲）。

所以科学 AI 的第一条工程判断是：先问「这份任务里，什么约束是免费的」，再问「要花多少实验才能得到一个标签」。 两个问题的答案决定了你该做自监督预训练、物理约束训练，还是主动学习闭环。

8.1.2 结构化先验之一：对称性与守恒律

定义 8.1.2 · 对称变换、不变性与守恒量

设 $G$ 是一组作用在系统上的变换（如三维旋转群 $\mathrm{SO}(3)$ 、平移群、原子置换群、晶格平移群）， $g\in G$ 把系统状态 $\boldsymbol x$ 映到 $g\boldsymbol x$ 。

不变性（invariance）：输出是标量（如能量、自由能），变换后不变， $f(g\boldsymbol x)=f(\boldsymbol x),\qquad \forall g\in G .$
等变性（equivariance）：输出是向量 / 张量（如受力、偶极矩、坐标），变换后跟着一起变， $f(g\boldsymbol x)=g\,f(\boldsymbol x),\qquad \forall g\in G .$

（这里为简洁把群元素 $g$ 与它在状态空间上的线性作用写成同一个符号；对旋转 $R$ 与平移 $\boldsymbol t$ 就是 $g\boldsymbol x=R\boldsymbol x+\boldsymbol t$ ，本节后半与 8.2 都用这个具体形式。）

守恒量是另一条线的表述：若某个标量 $I(\boldsymbol x,\dot{\boldsymbol x})$ 沿系统的真实演化不变（ $\frac{d}{dt}I=0$ ），称它是系统的一个守恒量（能量、动量、角动量、电荷、粒子数……）。

把对称性读成「同一份数据的不同写法」

一个模型如果不知道「转 90 度的分子还是同一个分子」，它就必须从数据里把这件事重新学一遍：看见一个构象、再看它转过的版本、再转 45 度……无数等价样本被当成不同样本去记。

把对称性写进结构，等于预先告诉它这些样本是一回事。收益是双重的：参数被约束住（本来要学的自由度直接消掉），样本效率更高（不必靠数据穷举所有朝向）。这和我们用卷积把「平移不变」写进图像网络的道理相同——归纳偏置与任务的对称性匹配，是深度学习最可靠的红利。

但要留意一个区别：不变与等变不是同一件事。标量输出（能量）应当不变；向量输出（力、坐标）应当等变。选错的话，网络会被要求用容量去「学回」一个本来就成立的关系，代价就是样本效率与泛化能力（8.2 会给出判断方法）。

定理 8.1.1 · 连续对称与守恒量的对应（Noether 定理）

设系统的动力学由拉格朗日量 $L(q_1,\dots,q_n,\dot q_1,\dots,\dot q_n,t)$ 描述，运动满足欧拉–拉格朗日方程 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i},\qquad i=1,\dots,n .$ 则每一个连续对称性对应一个守恒量：

$L$ 不显含某个坐标 $q_i$ （沿该方向平移对称） $\Longrightarrow$ 共轭动量 $p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}$ 守恒；
$L$ 不显含时间 $t$ （时间平移对称） $\Longrightarrow$ 能量 $E=\sum_i \dot q_i\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L$ 守恒。

（Noether, 1918；这里给出两个最常用特例的陈述与证明骨架，完整定理含连续群的一般形式。）

证明（两个特例都是「把 EL 方程两边乘一乘」）

特例 1（循环坐标）。 若 $\partial L/\partial q_i=0$ ，EL 方程右侧为零，于是 $\frac{d}{dt}\bigl(\partial L/\partial \dot q_i\bigr)=0$ ，即 $p_i=\partial L/\partial \dot q_i$ 沿轨迹为常数。取自由粒子 $L=\frac12 m\dot q^2$ ： $\partial L/\partial q=0$ 故 $p=m\dot q$ 守恒——这正是「空间均匀（平移对称）意味着动量守恒」。

特例 2（能量）。 对 $E=\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L$ 求时间导数： $\frac{dE}{dt}=\sum_i\Bigl(\ddot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\dot q_i\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i-\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial t} =\sum_i\dot q_i\Bigl(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial t}.$ 第一项按 EL 方程恒为零，故 $\frac{dE}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}$ 。若 $L$ 不显含 $t$ ，右端为零， $E$ 守恒——「时间均匀意味着能量守恒」。 $\blacksquare$

∎

守恒律对深度学习意味着什么

定理 8.1.1 的实用价值不在物理课，而在给模型装约束。两条最直接的用法：

守恒量可以做成损失项或结构约束：例如对长时间分子动力学，要求模型预测的总能量沿轨迹不漂移；对流体，要求离散的质量通量守恒。测量「模型违反守恒多少」是不需要真值就能做的检查（8.4 会把它列为三类评测之一）。
守恒量可以做成监督信号：若你知道某个量必须守恒，就可以在没有标签的轨迹上用「守恒误差」当损失——这就是「物理免费造标签」的最朴素形态。

要注意守恒律的边界：它只在给定动力学与理想条件下成立。数值离散会破坏守恒（离散格式是否保能量是一门专门技术），模型近似也会破坏守恒，而现实中还存在耗散、开边界、外力——守恒律的违反不一定是 bug，要看系统是否真的孤立。这条判断在 8.5 的气候讨论里会再出现一次。

8.1.3 可验证答案：把「免费标签」造出来

三类自监督 / 自动标签的做法（科学里的常见配方）

「弱标注」的应对方式可以归纳成三张配方，它们分别用掉了三个特点里的一个：

做法	标签从哪来	典型形式	对应特点	代表方向
结构自监督	数据自身的结构（遮挡、上下文）	掩码预测：随机遮住一部分输入，让网络预测它	海量弱标注	蛋白语言模型（ESM 系列，见 8.2）
物理标签	高精度计算或物理模型（DFT、仿真）	用廉价的高保真计算给海量构型打标签，训练快速代理	可验证答案	机器学习势函数（MACE / NequIP，见 8.3）
方程残差	控制方程本身	在任意采样点上算残差并最小化，无需观测	结构化先验	PINN（见 8.4）

三条配方可以叠加：先用自监督在大规模无标签数据上预训练，再用物理标签微调，最后用方程残差做约束微调——这正是当前科学模型训练的常见骨架（工程惯例，具体配比随任务而变）。

为什么科学可以「不要人工标注」，而别处不行

答案分两层，值得分开看：

第一层：标签可以自动化。 图像数据的标签要靠人看；蛋白质结构的标签可以由实验解析（贵但可自动化到数据库），分子能量的标签可以由 DFT 计算（贵但可自动化到集群），PDE 解可以数值求解。只要标签能从「计算或测量」里来，就不需要人——这是科学独有的便利。

第二层：约束可以当正则。 即使完全没有标签，对称性、守恒律、方程残差也提供了「这个预测是否物理上合法」的判据。这层约束在别处不存在（没有哪条自然律规定「一句话必须符合语法且不得重复」），因此科学模型的无监督信号质量远高于通用领域。

但请记住这层的代价：自动标签继承自动生成器的误差。用 DFT 训的势函数，其精度上限被 DFT 的泛函误差限制；用仿真训的代理模型，其误差上限被仿真模型本身的近似限制。所以「免费标签」不是「无代价标签」，它把误差从标注者转移到了物理模型上——这也是为什么模型评估必须与独立来源（实验、更高精度计算）对照（8.3、8.6）。

从实验试错到可微分推断

8.1.4 三类任务：预测、反演、发现

定义 8.1.3 · 科学机器学习的三类任务

把科学问题写成「映射学习」后，落进来的任务分三类（比旧版的两类多出第三类，它正是近年来增长最快的一块）：

任务	形式化	输入 → 输出	数据需求	典型方法
预测（前向问题）	学 $f_\theta:\boldsymbol x\mapsto y$	结构 / 条件 → 性质、未来状态	需要（标签可由物理或仿真生成）	监督回归、代理模型、势函数、预报模型
反演（设计问题）	求 $\boldsymbol x^\star$ 使 $y(\boldsymbol x^\star)=y^\star$ ；或采样 $\boldsymbol x\sim p_\theta(\boldsymbol x\mid y^\star)$	目标性质 → 结构	常不需要成对标签，需要生成模型或可微目标	条件生成、贝叶斯优化、可微优化
发现（结构与规律）	从数据中找出新的量或关系：新守恒量、新的有效方程、新的候选结构	观测 → 表达式 / 判据 / 候选清单	需要可验证的评分器（拟合误差、量纲、守恒、形式证明）	符号回归、程序搜索、主动学习探索

三类任务像「求值」「求反函数」与「找规律」：前向问题通常有明确的物理定义，适合监督回归；反演问题往往多解、欠定（许多分子能给出同一种性质），因此更需要生成模型与优化，而不是单点回归；发现类任务的产出是可验证的陈述，因此它天然与「验证器」绑定（8.6 会展开）。

三类任务的失败模式完全不同

把它们混在一起是选题阶段最常见的错误。三类任务各自最容易死在什么地方：

预测任务死在分布外：训练分布内精度再高，也不能保证在新元素、新构型、更长时间上成立（8.6 的外推三判据就是给这类任务准备的体检表）。
反演任务死在约束上：生成模型可能给出化学上无效、合不出来、或一合成就分解的结构——样本「像真的」与「能用」是两件事（8.3）。
发现任务死在验证上：搜出来的表达式可能只是拟合技巧（量纲错、在数据外立刻崩），候选清单可能只是数据库比对口径的产物（8.3 的新颖性争议）。

因此在动手之前先写下三件事：这是哪一类任务、它的失败模式是哪一条、我用什么证据区分「成功」与「碰巧」。

例 8.1.1 · 把四个问题各归一类并给出方法

把下列四个问题归入定义 8.1.3 的三类，并各指出一种合适的做法与一条必须做的验证：

给定一个有机分子的二维连接表，预测它的 HOMO–LUMO 能隙。
给定「带隙 ≈ 1.4 eV 且含铅量尽量低」的目标，给出一批候选钙钛矿成分。
给定一段行星运动的观测轨迹，问系统里是否存在一个守恒量、它是什么。
给定今天的大气状态场，预测 5 天后的 500 hPa 位势高度。

解

① 预测（前向）。 输入是结构、输出是标量性质，物理上定义明确。方法：监督回归（图网络或等变网络，见 8.3）。必须做的验证：分布外测试——把训练集里没有的元素组合或环系单独留出，比较内插与外推误差；同时用更高精度方法（如 CCSD(T)）抽查若干样本，确认训练标签（若来自 DFT）的泛函误差不是主要瓶颈。

② 反演（逆设计）。 目标是给定期望性质求结构，且带多目标约束（含铅量）。方法：条件生成（按目标性质采样）+ 代理模型打分 + 约束过滤，或直接对连续成分变量做可微优化。必须做的验证：可合成性与稳定性——候选是否价键合法、是否有已知合成路径、是否在有限温度下动力学稳定（8.3 的三关）。

③ 发现。 目标是找出数据里的结构（守恒量的存在与形式），而不是预测一个给定量。方法：符号回归 / 稀疏回归（在候选函数库里搜稀疏表达，如 SINDy 式做法），用「拟合优度 + 复杂度 + 量纲合法」做评分。必须做的验证：独立数据与不变量检验——把表达式放到另一段轨迹上验证不变性，并检查量纲与已知极限情形（例如轨道半径 → 0 时的退化行为）。

④ 预测（前向），但属于「自回归多步」子类。 输入是场、输出也是场，且要迭代 $T$ 次。方法：数据驱动预报模型（8.5）。必须做的验证：多步与尾部——按业务口径与数值模式在同一初始场上对照 RMSE / ACC，并单独检查极端事件（台风、极端降水）的表现，而不是只看平均误差。 $\blacksquare$

∎

8.1.5 可微分推断：把「好 / 坏」换成「往哪走」

科学流程的三级台阶（从黑箱试错到可微仿真）

科学流程里最贵的环节是实验试错：造一批候选、测一批、再根据结果猜下一批。这套流程本质是没有梯度的黑箱搜索——你只拿到「好 / 坏」，拿不到「往哪个方向改会更好」。深度学习把它逐级改造：

台阶	你拿到什么	优化方式	每次迭代的成本	典型代表
① 黑箱试错	只有评价结果	网格 / 随机 / 贝叶斯优化（无梯度）	一次实验或一次高精度计算	传统湿实验筛选
② 代理模型	一个可微的近似评分函数 $\hat y_\theta(\boldsymbol x)$	对 $\boldsymbol x$ 做梯度上升（因为 $\hat y_\theta$ 可微）	一次网络前向	虚拟筛选、势函数、预报模型
③ 可微仿真	仿真器本身的梯度 $\partial \boldsymbol y/\partial\boldsymbol\theta$	端到端反向传播，梯度穿过物理过程	若干次仿真步 + 反向	可微分分子动力学、可微流体、可微渲染

三级的区别不在精度，而在「梯度从哪来」：① 没有梯度；② 梯度来自一个学出来的近似模型（因此梯度只在模型可信的区域可信）；③ 梯度来自物理过程本身（因此要面对离散与不可微，见 8.4）。

实务上的组合顺序通常是「③ 或 ② 生成候选 → ① 验证少量样本 → 数据回填 → 重训」：梯度负责搜索方向，实验负责最终判决（8.3 的主动学习闭环就是这条顺序）。

「可微」到底买到了什么

把三件东西分清楚，才不会把「可微」当成万能钥匙：

方向（direction）：梯度给出「往哪个方向改参数会让目标变好」的局部信息。这是黑箱搜索拿不到的东西——黑箱只能告诉你当前点的好坏，方向要靠额外采样去猜。
敏感度（sensitivity）： $\partial y/\partial x$ 本身就是科学上有意义的量（如「改这个键长对结合能的影响有多大」），可以直接用于解释与设计。
端到端的可组合性：当每一环都可微时，你可以把「生成 → 仿真 → 评分」串成一张计算图，用一次反向传播拿到贯穿全链路的梯度，而不是在每个接口处断开。

代价也必须说清楚：可微模型给出的梯度只在模型可信区内有意义。用一个在训练分布内精调的代理模型去指导远离分布的优化，梯度会把优化器直接推向「模型最自信但物理上荒谬」的区域——这是「代理模型被利用」的典型形态（在第 7 讲的语境里，它就是奖励被过度优化的一种）。所以工程上有两条硬规矩：优化时对 $\boldsymbol x$ 加约束（保持在其可信域内），以及对最终候选永远用独立手段验证。

例 8.1.2 · 有限差分与反向传播：代价差在哪

设模型有 $d=10^6$ 个参数（量级相当于一个小型科学网络，例如 8.3 节里的等变势函数），要估计梯度 $\nabla_\theta \mathcal L$ 。比较两种做法的评估次数与总成本，并说明这条差距为什么是「科学也能用梯度」的前提。

解

① 有限差分（黑箱梯度的标准做法）。 对每个参数做中心差分 $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \theta_i}\approx\frac{\mathcal L(\theta_i+h)-\mathcal L(\theta_i-h)}{2h},$ 每个参数需要 2 次前向评估（无反向传播），合计 $2d=2\times10^{6}$ 次前向。

② 反向传播。 一次前向 + 一次反向。反向的成本通常按「前向的 $2\sim3$ 倍」估算（每层一次矩阵乘的转置形式，量级取决于具体结构），于是总成本约 $3\sim4$ 倍单次前向。

③ 比值。 若忽略常数并假设一次前向评估的时间为 $t$ ，则有限差分约 $2\times10^{6}t$ ，反向传播约 $4t$ ，比值约 $5\times10^{5}$ ：五十万倍。

④ 这条差距意味着什么。 它意味着「能不能做梯度优化」在科学里不是工程偏好，而是可行性问题：一次 DFT 或一次高保真仿真的成本本来就高，如果估梯度还要再乘 $10^6$ ，梯度优化在科学规模上根本不成立。反向传播把梯度成本压到与前向同阶，才让「用梯度搜索分子 / 材料 / 设计参数」从幻想变成日常。但要记住前提：反向传播要求整条链路（网络、可微的仿真步）都能表达成可微计算图；一旦链路里出现不可微的离散分支，就退回到「近似梯度」，需要额外校验（8.4 会给出校验方法）。 $\blacksquare$

∎

与通用大模型路线的差别

8.1.6 数据稀缺、必须物理上立得住

科学模型与通用大模型（语言 / 视觉基础模型）的差别不在「用了多少参数」，而在数据条件与验收方式：

维度	通用大模型路线	科学模型路线
数据	规模极大、可自动采集、覆盖广	样本数可能很大但标签极稀；高保真标签单价极高
先验	主要靠架构与规模，物理先验基本没有	对称性、守恒、方程、局部性可显式写进结构或损失
成功判据	分布内指标、人类偏好、下游泛化	外推 + 守恒 + 独立复现；分布内指标只是必要条件
错误代价	体验、事实错误、可用性下降	可能进入后续实验设计、工程决策与科学结论（错误会被放大与传递）
可解释需求	偏好温和（能调试即可）	高：需要知道模型依赖什么量、在哪个区间可信
典型规模瓶颈	算力与数据	数据与验证（标签与实验速度）

这张表解释了为什么科学界长期对「大模型直接预测科学问题」保持谨慎：在分布内赢得多，并不代表在科学上有用。

科学为什么不能只靠「堆数据 + 堆参数」

缩放律（scaling law）的经验是：在数据分布覆盖充分的前提下，参数与数据一起扩张通常带来可预测的误差下降。科学场景往往同时破掉两个前提：

覆盖不充分：你想问的问题（新元素组合、更极端的温度、更长的预报时效）恰恰是数据里最稀少的部分。此时扩张规模只能改善插值，改善不了你真正关心的那一块。
验证昂贵：通用领域可以用更大的测试集来确认进步；科学里确认一个「新发现」的成本可能是几个月实验。误差指标的改善无法自动转化为科学结论的可信度。

于是科学模型的两条现实路线是：把已知约束写进模型（用先验替代缺失的覆盖），以及把模型放在工作流的筛选位置（用实验做最后判决）。这两条路线分别对应本讲的 8.2–8.4 与 8.6。

一个必须避免的误读：这不是说「规模对科学无用」。结构预测（8.2）与预报模型（8.5）恰恰都受益于大规模训练——它们的共同特点是训练分布与使用分布接近，且有明确的评测口径。判断标准始终是同一句话：这个任务的测试分布，和它要被用的分布，是不是同一个？

本节五个常见误解

「科学 AI 就是拿大模型去预测科学问题」：错。科学任务的关键差别在先验可写进结构（对称性、守恒、方程）与验证必须独立。把科学问题当普通回归来做，通常能拿到好看的测试分数，却在最需要的地方（外推、新体系）失效。
「数据够多就不需要归纳偏置」：条件不成立。对称性带来的等价样本数是连续无穷多的（任意旋转角），数据永远穷举不完；把对称性写成结构约束是唯一能把这件事真正解决的办法，其余都是逼近。
「可微 = 一定优化得更好」：可微只保证有方向，不保证方向对。梯度来自近似模型时，它只在模型可信区内可信；来自仿真器时，可能遇到不可微点（8.4）。「能反传」不等于「梯度可信」。
「免费标签没有代价」：自动标签继承自动生成器的误差——DFT 的泛函误差、仿真模型的近似、数值格式的离散误差都会传进训练数据。因此需要独立来源的验证，而不是用同一套生成器做「自证」。
「三类任务只是说法不同，做法通用」：不通用。预测任务死在分布外、反演任务死在约束、发现任务死在验证；三者的数据需求、评测方式与预算分配都不同。先确定任务类型，再选方法。

即时自测 · 8.1

Q1 写出科学数据三个特点各自的一条后果，并说明「免费标签」的最主要代价是什么。

Q2 判断下列输出应当不变还是等变，并给出理由：① 分子总能量；② 每个原子受到的力；③ 分子偶极矩向量；④ 两个原子之间的距离。

Q3 用例 8.1.2 的思路估算：若某科学模型的单次前向成本是 $t=0.5$ 秒、参数规模 $d=10^7$ ，用有限差分估一次梯度需要多长时间？这个数字说明什么？

参考要点

Q1 三个特点 → 三条后果：结构化先验 → 可以把约束写进结构与损失（免费归纳偏置，省样本省参数）；可验证答案 → 标签可由物理或高保真计算自动生成，正确性不依赖标注者；海量弱标注 → 主要矛盾是标签稀缺而非数据稀缺，方法上优先自监督、物理约束与主动学习。免费标签的主要代价是继承自动生成器的误差（DFT 泛函误差、仿真近似、离散误差），所以验证必须来自独立来源。

Q2 ① 不变：能量是标量，整体旋转 / 平移 / 原子编号重排都不改变它。② 等变：力是向量，整体旋转时它跟着旋转（ $F\mapsto RF$ ）。③ 等变：偶极矩是向量，整体旋转时跟着转（注意在整体平移下偶极矩本身也需要以坐标原点为参考，实际做法是用相对位置定义）。④ 不变：距离是标量， $R$ 正交、 $t$ 抵消，故 $\lVert (R x_i+t)-(R x_j+t)\rVert=\lVert x_i-x_j\rVert$ 。

Q3 有限差分需要 $2d=2\times10^{7}$ 次前向，每次 $0.5$ 秒，总计约 $10^{7}$ 秒。换算：一天 $86400$ 秒，故约 $116$ 天——估一次梯度的代价超过三个月。反向传播下，一次梯度约为 $3\sim4$ 次前向的代价（约 $2$ 秒），差距约 $5$ 个数量级。结论：在科学场景里，能否把梯度成本压到与前向同阶，直接决定「基于梯度的设计与优化」是否可行；这也是为什么「把仿真写成可微的」是一笔值得投入的工程账（8.4）。

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