第三章 · 微分运动学和静力学

本编依据 Siciliano 等《机器人学：建模、规划与控制》第 3 章整理扩充，覆盖 §3.1–§3.8 全部八节，并与第 3 周录播全程对齐（2026-09-21，2:29:00）。正文与课件逐节对应：老师的讲解、课堂强调（「以上是重点中的重点」@1:23:39）、视频演示与易错点，都已写入正文并标注时间点，幻灯片截图则随文嵌入。

本编信息（录播）

全章路线图（板书 02:49，本页照片级还原）

$$\text{运动学}\begin{cases}\text{位姿}\begin{cases}\text{正}&\underline{x}_e=k(\underline{q}),\quad \underline{q}\in\mathbb{R}^{n},\ \underline{x}_e\in\mathbb{R}^{m}\[1mm]\text{逆}&\underline{q}=k^{-1}(\underline{x}_e)\quad\text{①闭合解 ②数值解}\end{cases}\[4mm]\text{微分}\begin{cases}\text{正}&\underline{v}_e=J,\dot{\underline{q}}\ \ \text{或}\ \ \dot{\underline{x}}_e=J_A,\dot{\underline{q}}\[1mm]\text{逆}&\dot{\underline{q}}=J^{-1}\underline{v}_e\ \text{或}\ \dot{\underline{q}}=J_A^{-1}\dot{\underline{x}}_e\quad\text{①奇异 ②冗余}\end{cases}\end{cases}\qquad\text{静力}\quad \tau=J^{\mathrm T}F_e$$

老师在 00:19:21 说：「其实我们可以不讲 PPT，大家就记住这些内容就可以了。」——换句话说，这张图就是全章的目录：位姿运动学的正逆问题（第二章）线性化后，就是微分运动学的正逆问题（本章前半）；两个拦路虎（奇异、冗余）催生奇点分析与伪逆；最后静力学用 $J^{\mathrm T}$ 把两端接起来（本章末节）。

八节一览

八节各有分工：下表先列出每节回答的核心问题与建议优先级，随后再逐条说明理由。

优先级说明：按老师的考试权重排序，引号内为原话

• 核心 · 必考（3.1）：重点在逐列构造——「肯定是要考的……两个、三个自由度的要仔细看怎么来的」（1:05:52）；绿框公式要能默写。
• 核心 · 必考（3.8）：「主要是记住这个公式就可以」（0:25:53）——老师所指的公式就是 $\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}F_e$（导论原话见上文路线图）。
• 精读 · 动手（3.2、3.3）：3.2 把绿框公式在三种典型结构上试跑三遍，与 3.1 一起构成必考内容；3.3 的 $\det J=\det J_{11}\det J_{22}$ 则是本章最有用的结构性结论。
• 精读（3.5）：「三味药」（$J^{-1}$ / $J^\dagger$ / $J^*$）如何选型，是本章的工程落点；拉格朗日的推导值得亲手做一遍。
• 浏览 · 了解（3.4、3.6）：概念要清楚——零空间项「不惊动末端」、$J_A$ 与 $J$ 只差换基——细节则可以从简。
• 浏览 · 不考（3.7）：老师明确「考试后面也不会考」（0:10:02），故只快讲带过；不过「逆方案 vs 转置方案」的对比仍值得知道。

第一遍的验收标准：能默写绿框逐列公式、能对任意两三个自由度的结构现场组装 $J$、能写出 $\boldsymbol\tau=J^{\mathrm T}F_e$——这三条就是本章的考试底线。

各节的关键结论与典型陷阱，都汇总在全章总结中，可随时回查。

一条主线

求导把非线性的位姿运动学线性化：雅可比的列是单关节的贡献，两种「不方阵」（奇点 / 冗余）催生解耦行列式与伪逆零空间，同一个 $J$ 转置后把末端力映射回关节力矩——微分运动学与静力学至此闭环。（完整版见全章总结）