1.3 移动机器人：轮系与机动性

本节围绕三个问题展开：移动机器人靠什么移动？三类常规车轮怎样组合成五种底盘布局？为什么轮式机器人的「自由度」可能比位形变量少？ 之所以要先从车轮讲起，是因为移动机器人大多承担服务性工作，需要广泛而自主的移动能力；本节梳理的轮系与布局分类，正是第 11 章（移动机器人建模与控制）的物理预备。

1.3.1 两类移动与三类车轮

移动机器人由一个或多个配置了运动系统（locomotion system）的刚体构成，按移动方式分为两大类：

轮式移动机器人：刚体（基座 / 底盘）+ 轮系，其他刚体（拖车）可经转动关节连接——占实际应用的绝大多数；
步行移动机器人：多个刚体经移动 / 转动关节连接，部分形成下肢，末端（足）周期性接触地面实现移动；结构设计常源于生物体研究（仿生机器人学），从双足仿人到六足昆虫型。

范围脚注（原书注 ①）

原书不展开其他运动系统：蛇形移动（受蛇步态启发，适于不平坦与起伏地形，无需特殊装置）及飞行、航行等非地面方式。本课程沿用这一约定：下文只考虑轮式小车。

轮式机器人的基本机械要素是车轮。常规车轮分三类（原书图 1.12）：

定义 1.3.1 · 定轮、导向轮与自位轮

定轮（fixed wheel）：只有一个旋转轴——穿过车轮中心且垂直于轮面的轴；车轮牢固固定在底盘上，指向相对底盘不变。 导向轮（steerable wheel）：有两个旋转轴——第一个与定轮的轴相同，第二个垂直且穿过车轮中心，使车轮可相对底盘调整方向（转向 + 滚动）。 自位轮（caster wheel）：也有两个旋转轴，但垂直轴不穿过车轮中心、与中心有固定偏移量；车轮可自由转动并快速与底盘运动方向对齐——用于提供静态平衡支撑点而不影响基座运动性能（典型：购物车与轮椅的前轮）。

一句话区分

定轮只能沿轮面直走；导向轮靠电机转向（方向可控）；自位轮被动跟随（方向自适应）。三个字概括：走、转、飘。

1.3.2 五种底盘布局

把这三种轮以不同方式组合，就得到五种常用布局（原书图 1.13–1.18）：

布局	轮配置	驱动	机动性要点
差动式（differential drive）	两个同轴定轮 + 若干小自位轮	两定轮独立控制角速度	两轮等速反向 → 原地旋转；自位轮仅保平衡（从动）。原书注：两轮速度一般不同，牵引力矩须经差速器均分
同步驱动（synchro-drive）	三个导向轮	两电机经同步链 / 传送带机械耦合：一控滚转（牵引）、一控转向	运动中底座指向保持不变（得到与差动式相似的机动性，原书）；常加第三电机旋转上部转台，用于相机等定向
三轮式（tricycle）	后轴两定轮（一电机驱动牵引）+ 前部一导向轮（舵机）	牵引与转向分离	转弯半径受导向轮限制；也可后轮从动、前轮转向兼牵引
汽车式（car-like）	后轴两定轮 + 前轴两导向轮	一电机牵引 + 一电机转向	沿曲线运动时两前轮方向必须不一致（内侧轮转角更大），由阿克曼转向几何（Ackermann steering）保证不滑动
三主动自位轮式	三个按约 $120^\circ$ 对称布置的自位轮（caster，原书图 1.17）	三个轮的牵引速度独立驱动（转向仍被动自适应）	全向（omnidirectional）：在理想无滑动模型下，能即时向任意平面方向平移并原地调整自身方向

这里有一个易混点须辨析：定义 1.3.1 中的自位轮转向永远是被动自适应的，但牵引（滚动）既可以不装电机（被动），也可以独立驱动（主动）。按牵引方式，自位轮可分为两类（见图 1.4）：

图 1.4　五种底盘布局俯视示意（绿实线 = 驱动 / 允许的运动，灰虚线 = 禁止的瞬时运动，带柄圆 = 自位轮）。注意第 5 种与第 1 种的本质差异：差动式的自位轮纯被动（只保平衡），全向式的三个自位轮牵引独立驱动——同为「自位轮」，角色完全不同。

被动自位轮（购物车前轮、差动式布局的支撑轮）：不提供任何驱动，只保平衡；
主动牵引自位轮（powered caster，原书图 1.17 的全向方案）：牵引速度独立驱动 + 偏移轴使方向被动对齐——三个即可全向。原书原文：three caster wheels … The traction velocities of the three wheels are independently driven … this vehicle is omnidirectional。

实现全向的另一条路线是特殊轮型：麦克纳姆轮（Mecanum）（又称瑞典轮，原书图 1.18）——本质是定轮，外缘安装从动滚筒，滚筒轴相对轮面倾斜 $45^\circ$ ，侧向分量经滚筒「泄放」；四轮成对装在两条平行轴上，小车同样能实现全向运动。

例 1.3.A · 布局识别三连（新增）

(a) 家用扫地机器人：底部两主轮独立驱动 + 边缘小从动轮 → 差动式（可原地旋转掉头）；(b) 三轮 courier 机器人前方一个舵轮、后方两驱动轮 → 三轮式；(c) 汽车 → 汽车式 + 阿克曼转向。反向推断亦可：见到底盘能即时横移的，必为全向布局——要么是三个主动牵引自位轮（powered caster），要么是麦克纳姆轮系。

1.3.3 平衡与机动性：位形 ≠ 自由度

轮型与布局定了，接下来要问：这样的底盘究竟能往哪些方向走？这要先看平衡，再看机动性。

静平衡：在轮式设计中，力学平衡通常不是难题。

原理 1.3.B · 支撑三角形条件（新增整理）

三轮机器人的重心落在三个轮地接触点构成的支撑三角形（support triangle）以内时，机器人静态平衡；多于三轮则形成支撑多边形，平衡条件更易满足。推论：机器人在不平整地面上移动时，需要悬挂系统保证每个车轮与地面的接触。

机动性：移动机器人的工作空间（能到达的环境区域）可以是无限的——这是它与机械手（工作空间有界）的根本差异。但可达范围的大小，并不等于机动性的高低：

定义 1.3.2 · 即时机动性与约束（新增整理）

非全向移动机器人的局部机动性总是被缩减的。例如三轮机器人不能即时向平行于后轮轴的方向移动。但它仍可通过机动操纵（先转向再前进）在运动的最后得到该方向上的净位移。形式化表述：机器人的（即时运动）自由度数——容许瞬时运动的方向数——比位形变量的数目少。全向机器人（主动牵引自位轮 / 麦克纳姆轮）是例外：即时自由度与位形变量数相等。

下面把这个看似反直觉的结论写成式子。设平面底盘的位形为

$\boldsymbol q=\begin{bmatrix}x&y&\theta\end{bmatrix}^{T},$

其中 $(x,y)$ 是底盘参考点在世界坐标系的位置， $\theta$ 是车头朝向。对不允许横向打滑的定轮，横向单位向量为 $\boldsymbol n=(-\sin\theta,\cos\theta)$ ；速度 $(\dot x,\dot y)$ 在该方向的投影必须为零：

$\boldsymbol n^T\begin{bmatrix}\dot x\\dot y\end{bmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad -\sin\theta,\dot x+\cos\theta,\dot y=0. \tag{1.1}$

式 (1.1) 只限制瞬时速度，不能积分成只含 $x,y,\theta$ 的位置等式；这就是「非完整约束」的入口。它删掉了侧向的一条瞬时运动方向，却没有把某一个地点从可达集合中删掉：改变 $\theta$ 后，允许的前进方向也随之改变。

图 1.5　无侧滑约束禁止的是车体横向的瞬时速度，不是最终位置。图右的“转向—前进”序列说明为何非全向底盘依然可到达侧方位置。

「能到达」与「能即时到达」

想象开车入库：车位在车的正侧方，你此刻不能横着滑进去（非全向），但通过「前—后—打轮」的一串操作最终能停进去。轮式小车的世界没有「此路不通」，只有「此向需绕行」——这句话的数学化（非完整约束）正是第 11 章的主题。

1.3.4 移动机械手：两种身体的融合

最后，把前面两类身体合到一起：将机械手安装在移动小车上，机械结构融合为移动机械手（mobile manipulator）（原书图 1.19：拟人臂 + 差动小车），它结合了关节臂的灵活性与底座的无限移动性。代价是设计面临额外困难：静态与动态力学平衡问题、两套系统的驱动问题等——这是「结构融合 1 + 1 > 2 但难度也 > 2」的典型例子。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

不看正文与速查卡，先写出下面几条，再展开核对。写不出来就说明这一节还没「拿走」。

三类车轮各叫什么？「走 / 转 / 飘」分别对应哪一类？
差动底盘为什么能原地转，却不能即时横移？
「不能即时横移」与「不能横移」有什么不同？

核对

定轮（走）、导向轮（转）、自位轮（飘——垂直轴不过轮心，被动对齐）。

两轮同速反向即可原地转；但车轮只能沿轮面方向运动，无侧滑约束禁止垂直于轮面的速度分量，所以瞬时速度里没有横向分量。

式 (1.1) 是速度约束而非位置约束：非全向机器人仍可通过「前进—转向—再前进」的机动操纵到达任意位置，只是不能瞬时横移。

1.3 小结与常见错误

一条主线：两类移动（轮式 / 步行）→ 三类车轮（走 / 转 / 飘）→ 五种布局（差动、同步、三轮、汽车式、全向）→ 平衡看支撑多边形、机动性看无侧滑约束式 (1.1) → 移动机械手融合两种身体。
两个极端：差动式（结构最简、可原地旋转、不能横移）与全向式（可即时任意平移 + 旋转、结构 / 驱动最复杂）。
一个辨析：工作空间无限 ≠ 局部机动性无限（定义 1.3.2）——「能到达」与「能即时到达」是两个命题。

常见错误清单 · 自查五条

把自位轮当导向轮——自位轮被动对齐方向，无电机控制转向（定义 1.3.1 的偏移量是机构关键）；
把「自位轮」一概当成纯被动支撑轮——转向确实被动，但牵引可以独立驱动：三个主动牵引自位轮正是原书图 1.17 的全向方案；纯被动的自位轮才只提供支撑；
以为「不能即时横移 = 不能横移」——式 (1.1) 是速度约束，非全向机器人仍可通过机动操纵获得任意净位移；
忽略阿克曼几何——汽车式前两轮方向不一致是避免滑动的机构要求，不是工艺误差；
数移动机器人自由度时直接数轮子——应数容许瞬时运动的方向数，它与位形变量数（平面刚体是 3： $x,y,\theta$ ）未必相等（定义 1.3.2）。