5.2 Hermite 插值

对应教材 5.2、定理 5.2、例 3。老师课堂未讲，按教材补齐，标“教材有、课堂未讲”。 与普通插值的区别：不仅要求函数值相等，还要求若干阶导数相等。

5.2.1 Hermite 插值问题

给定互异节点 (x_0,\dots,x_n)，以及 $$f(x_i),\ f'(x_i),\ \dots,\ f^{(m_i)}(x_i),\qquad i=0,\dots,n.$$ 求次数不超过 $$N=\sum_{i=0}^n(m_i+1)-1$$ 的多项式 (H_N(x))，使 $$H_N^{(r)}(x_i)=f^{(r)}(x_i),\qquad r=0,\dots,m_i.$$ 这就是 Hermite 插值问题；(H_N) 称为 Hermite 插值多项式。

定理 5.2（存在唯一与余项）：上述 Hermite 插值多项式存在且唯一。若 (f) 足够光滑，则 $$f(x)-H_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)^{m_i+1},$$ 其中 (\xi) 在包含 (x) 与所有节点的区间内。

证明要点：把条件写成关于 (N+1) 个系数的线性方程组；系数矩阵是“广义范德蒙德”矩阵，由节点互异及导数条件可证非奇异。余项用 Rolle 定理反复求零（或构造辅助函数），与 Lagrange 余项同法。$\blacksquare$

5.2.2 构造方法

方法一（待定系数）：设 (H_N(x)=\sum_{k=0}^N a_kx^k)，代入所有条件，解线性方程组。

方法二（Newton 型）：把重节点看成“节点重合”，用带重节点的差商表；重节点差商用导数代替： $$f[x_i,x_i]=f'(x_i),\qquad f[x_i,x_i,x_i]=\frac{f''(x_i)}{2!},\ \dots$$

方法三（降阶法）：先作满足函数值的 (p_n(x))，再令 $$H_N(x)=p_n(x)+q(x)\prod_{i=0}^n(x-x_i)^{m_i+1},$$ 用导数条件定 (q)。例 3 就用这个办法。

5.2.3 例 3（教材 5.2）

给定 $$\begin{array}{c|cccc} x&-1&0&1&2\ \hline f(x)&10&14&16&15 \end{array}$$ 并要求 (H_5’(-1)=1,\ H_5’(1)=0.1)。

先作满足函数值的三次插值 (p_3)，再令 $$H_5(x)=p_3(x)+(ax+b)(x+1)x(x-1)(x-2).$$ 由两个导数条件解出 $$a=\frac{59}{360},\qquad b=\frac{161}{360}.$$ 于是 $$H_5(x)=p_3(x)+\frac{59x+161}{360}(x+1)x(x-1)(x-2).$$ 这个例子说明：Hermite 插值不是“另起炉灶”，而是在普通插值上加一个在节点处为零的修正项，再用导数条件定系数。