5.3 三次样条插值

对应教材 5.3.1–5.3.4、定理 5.4–5.5、例 4–5。老师课堂未讲，按教材补齐，标“教材有、课堂未讲”。 目标：分段三次 + 在内节点处 $S,S',S''$ 连续，兼顾精度与光滑性。

5.3.1 三次样条的定义

给定分划 $a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b$ 和函数值 $y_i=f(x_i)$。三次样条 $S(x)$ 满足：

1. 在每个子区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上 $S$ 是三次多项式；
2. $S(x_i)=y_i$；
3. $S,S',S''$ 在 $[a,b]$ 上连续。

共有 $n$ 段、每段 4 个系数，共 $4n$ 个未知；插值条件 $n+1$ 个，内节点连续性 $3(n-1)$ 个，共 $4n-2$ 个，还差 2 个条件，由边界条件补：

• 自然边界：$S''(x_0)=S''(x_n)=0$；
• 固支边界：$S'(x_0)=f'(x_0), S'(x_n)=f'(x_n)$；
• 周期边界：$S'(x_0)=S'(x_n), S''(x_0)=S''(x_n)$。

5.3.2 三弯矩法

记 $M_i=S''(x_i)$，$h_i=x_{i+1}-x_i$。由 $S''$ 的线性插值和两次积分，得

$$S_i(x)=\frac{M_i(x_{i+1}-x)^3+M_{i+1}(x-x_i)^3}{6h_i} +\left(y_i-\frac{M_ih_i^2}{6}\right)\frac{x_{i+1}-x}{h_i} +\left(y_{i+1}-\frac{M_{i+1}h_i^2}{6}\right)\frac{x-x_i}{h_i}.$$

利用 $S'$ 在内节点连续，得到三弯矩方程：

$$\mu_iM_{i-1}+2M_i+\lambda_iM_{i+1}=d_i,\qquad i=1,\dots,n-1,$$

其中 $$\mu_i=\frac{h_{i-1}}{h_{i-1}+h_i},\quad \lambda_i=1-\mu_i,\quad d_i=\frac{6}{h_{i-1}+h_i}\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}-\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right).$$

这是三对角方程组，用追赶法 $O(n)$ 求解。自然边界补 $M_0=M_n=0$；固支边界把 $S'(x_0),S'(x_n)$ 写成 $M_0,M_1$ 与 $M_{n-1},M_n$ 的方程。

定理 5.4：在自然/固支/周期边界条件下，三次样条插值问题存在唯一解。

定理 5.5：若 $f\in C^4[a,b]$，则三次样条 $S$ 满足 $$\lVert f^{(r)}-S^{(r)}\rVert_\infty=O(h^{4-r}),\qquad r=0,1,2,3,$$ 其中 $h=\max h_i$。即函数值四阶、二阶导数二阶收敛。

5.3.3 三转角法

若改以 $m_i=S'(x_i)$ 为未知，利用 $S'$ 在内节点连续和 $S''$ 连续，得到关于 $m_i$ 的三对角方程： $$\lambda_i m_{i-1}+2m_i+\mu_i m_{i+1}=c_i,$$ 其中 $c_i=3\left(\lambda_i\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}+\mu_i\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i}\right)$。与三弯矩法等价，只是未知量换成一阶导数；边界条件直接给 $m_0,m_n$ 时更方便。

5.3.4 例题与数值例子

例 4（教材 5.3.2）：给定 $$\begin{array}{c|ccc} x&1&2&3\ \hline f(x)&2&4&8 \end{array} \qquad f'(1)=1.3863,\quad f'(3)=5.5452.$$ 这是固支边界、$n=2$、$h=1$ 的三次样条。三弯矩方程组为 $$\begin{pmatrix} 4&2&0\ 1&4&1\ 0&2&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14.7726\24\36.9096\end{pmatrix}.$$ 解得 $$(c_1,c_2,c_3)=(1.846575,\ 3.693150,\ 7.380825).$$ 代回分段公式，可算得 $$S(1.5)\approx2.827397,\qquad S(2.5)\approx5.652741.$$ 这组数据来自 $f(x)=2^x$：$2^{1.5}=2.828427$、$2^{2.5}=5.656854$，与 $S(1.5),S(2.5)$ 相差约 $10^{-3}$；重点是把“边界条件 → 三对角方程 → 分段表达式”走通。

例 5（教材 5.3.4）：对例 4 的数据，比较三弯矩法与三转角法的数值结果；两者给出同一条样条（唯一性），只是未知量不同。实际编程用追赶法，避免 $O(n^3)$ 的通用解方程。