5.4.1 力传感器

外部传感器的第一站是接触。只要末端执行器碰到环境，关节上的编码器就再也说不出接触面上发生了什么：力有多大、朝哪个方向、会不会把工件别坏。本节把「力 → 电信号」这条链拆开看：先讲最基本的张力计与惠斯通电桥，再讲轴转矩传感器（关节力矩怎么测），然后是腕上的六维力传感器（3 个力分量 + 3 个力矩分量怎么解耦、怎么重构），最后回答一个容易被忽略的问题——测到的力是相对哪个坐标系的，怎么变换到真正要用的那个坐标系里去。录播 02:01:51–02:11:31。

5.4.1.1 从力到电信号：张力计与惠斯通电桥

教材 §5.4.1 的第一句就是全节的方法论：

对力或转矩的测量通常转化为对力（转矩）作用到一个具有合适特征的可扩张元件上所产生的张力的测量。因此，通过测量小的位移就可以对力进行间接测量。

也就是说，力传感器本身并不「直接感知力」：它先让力去变形一个弹性体，再去测这个变形。老师 02:00:32 的版本更直白：「力传感器一般也都是基于张力测量原理来进行测量的」——他把这条链一路讲到了电路（02:00:53–02:01:46）：力作用在张力敏感元件上 ⇒ 元件产生应变 ⇒ 贴在元件上的金属丝同样应变（「我们认为它的应变跟张力敏感元件上的应变是一样的」）⇒ 金属丝电阻变化 ⇒ 电流 / 电压变化。力与最后那个电压之间，是一串可以逐段标定的关系。

定义 5.4.2 · 张力计（应变片）strain gauge

张力计是力传感器最基本的组成元件，它利用金属丝在张力作用下电阻发生变化的原理。

构造（图 5.15a）：一根低温度系数的金属丝，布置在一个绝缘支撑上；在压/应力的作用下，这个绝缘支撑被粘合到受张力作用的元件上。金属丝的尺寸随之变化，导致电阻变化。
选型原则：使电阻 $R_s$ 在可扩张元件的容许张力范围内线性变化。
电桥：为了把电阻变化变成电信号，张力计被嵌入惠斯通电桥的一个桥臂；在张力计上没有应力时，电桥是平衡的（输出为零）。电桥的电压平衡由下式描述（式 5.30）：

$V_o=\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{R_s}{R_3+R_s}\right)V_i$

温度补偿：如果温度变化，没有外力时金属丝也会改变长度——这会污染测量输出。解决办法是在电桥相邻的臂上再嵌入另一个张力计，并把它粘合到可扩张元件不受张力作用的部分。两个张力计处于同一环境，温度引起的那部分电阻变化就在电桥里被相减抵消。
提高灵敏度：可能要用到两个张力计，让它们以「一个受牵引、一个受压缩」的方式贴到可扩展元件上，并嵌入电桥的两个相邻臂——同一位置的两种应变符号相反，于是两路的信号变化在输出中相加。

课堂幻灯片 · 02:01:58：5.4.1 力传感器——张力计由其低温度系数金属丝与绝缘支撑构成，嵌入惠斯通电桥的一个桥臂（含式 5.30），以及温度补偿与灵敏度提升的两段说明

老师 02:03:44 用一个梁的例子说明第二条设计（灵敏度）为什么自然可行：梁受弯曲时，「上面其实是受拉的，下面是受压的」；于是在同一位置上下各贴一个张力计，「它的灵敏度是大体相反的」——一路增、一路减，电桥输出就把两路的变化都收进来。他同时强调这两个技巧都是力传感器的通用手段：「这个也是材料（力学）的一个（道理）」。

5.4.1.2 关节力矩的测量：轴转矩传感器

要让伺服电机当力矩控制发生器用，就得知道它到底输出了多大力矩。教材给出一条常见但「有条件」的捷径：间接测量——例如测永磁直流伺服马达的电枢电流。间接测量的软肋是：它把转矩与被测量之间的联系建立在若干参数（磁链、电阻…）上，而这些参数会漂移。教材的判据是：如果需要确保对这种参数变化的不敏感性，就需要利用直接的转矩测量。

直接测量怎么做？把张力计装在一段「可扩展设备」上，让这段设备夹在马达与关节之间——典型实现是一段中空转轴。教材给出三个设计要点：

低抗扭刚度：转轴要「软」到扭转时能产生足够大的变形，让张力计读出信号；
高抗弯刚度：转轴同时要「硬」到弯曲变形足够小，保证张力计的电阻变化由扭转引起、而不是由弯曲引起；
张力与转矩成正比：设计必须确保「作用的转矩和引起的张力成比例关系」，否则标定无从谈起。

信号怎么引出来？ 靠石墨电刷把安装在中空转轴（本身构成惠斯通电桥结构）上的张力计与集电环连接起来——既为电桥提供输入信号，又同时测量与作用转矩成比例的不平衡信号。

老师说这叫「结构设计」里的一门手艺（02:04:31–02:05:06）：「这空心轴呢，它要保证……有低的抗扭刚度、有高的抗弯刚度。这可以保证应变片或者这个张力计的电阻变化是由扭转引起的，而不是由弯曲引起的」；具体做法上「一般是 45 度设计」——应变片沿与轴线成 45° 的方向粘贴，正好对准扭转产生的主应力方向。

C_m

（缺惯性、摩擦与上游传动）集电环 + 石墨电刷输出：与作用转矩成比例的不平衡信号（电刷—集电环同时给电桥供激励）

轴转矩传感器的结构与信号通路（本教程绘）：中空转轴是「弹性体 + 电桥」的合体，45° 粘贴的应变片保证电阻变化只认扭转；电刷与集电环把它与静止侧的电路连起来。右侧最后两行是教材特意提醒的口径差别：这样测到的是「伺服器传到关节的力矩」，不是执行系统框图里的驱动力矩

C_m

。

一个必须记住的口径（教材 §5.4.1）：这样测出的力矩「与执行系统框图中的驱动力矩 $C_m$ 不一致」，因为「这样的测量没有计入惯性和摩擦力矩的作用，以及位于测量点上游的传动装置的作用」——测量点选在哪儿，就决定了你「看不见」哪些量。

5.4.1.3 腕力传感器：六维力/力矩与「马耳他十字」

定义 5.4.3 · 腕力传感器 wrist force sensor

当机械手末端执行器与工作环境相接触时，力传感器容许测量相对于附着在其上的坐标系的力的 3 个分量和力矩的 3 个分量（合称六维力/力矩）。

装在哪：传感器作为腕上的一个连接设备，连接机械手的外链（远端连杆）与末端执行器（图 5.16）。
怎么连接：通过适当数量的可扩展元件在力和力矩作用下产生的张力实现；张力计被粘合在每一个提供张力的元件上。
放置要求：元件必须以灵活的方式放置，以确保至少有一个元件在任何可能方向的力和力矩作用下会产生轻微的变形——否则某个方向的力就会「测不到」。
解耦要求：固连在传感器坐标系上的一个单独分量应该能够产生最少可能数量的变形，以获得力分量之间解耦的良好结构。
为什么变形数要大于 6：由于难以做到完全解耦，为了重构力和力矩向量的 6 个分量，所需要的明显变形数量应该大于 6。

老师 02:06:23 把「解耦」翻译成了最好懂的一句话：「最好的情况下，就是我测六个分量，每个分量对应一个（组）张力计的（电桥），这样其实是最好……但实际的过程中，不可能完全解耦」——「目前没有人设计出来这种完全解耦的一种结构」。教材举的典型结构就是马耳他十字（图 5.17），它的要点是四条：

可扩展元件按马耳他十字形方式布置；
把外部连杆与末端执行器连接起来的元件是 4 个平行六面体形状的棒；
在每一个棒的对面粘合两个张力计，它们构成一个惠斯通电桥的两个桥臂；
一共有 8 个桥臂，因此可以测量 8 个张力 $w_1,\dots,w_8$ 。

老师的读图法（02:07:12）：「相当于为了（提高）灵敏度，用每个方向的（力），让我们上下分别（贴）一些张力（计）」——八路测量、六个未知量，这正是下面那个矩阵要处理的问题。

定理 5.4.A · 传感器校准矩阵（式 5.31）

把张力测量值与固连于传感器上的坐标系 $s$ 的力的分量联系起来的矩阵，称为传感器校准矩阵（sensor calibration matrix）。令 $w_i,\ i=1,\dots,8$ 表示八个电桥的输出信号，则

$\begin{bmatrix}f^s_x\\ f^s_y\\ f^s_z\\ \mu^s_x\\ \mu^s_y\\ \mu^s_z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&c_{13}&0&0&0&c_{17}&0\\ c_{21}&0&0&0&c_{25}&0&0&0\\ 0&c_{32}&0&c_{34}&0&c_{36}&0&c_{38}\\ 0&0&0&0&c_{44}&0&0&c_{48}\\ 0&c_{52}&0&0&0&c_{56}&0&0\\ c_{61}&0&c_{63}&0&c_{65}&0&c_{67}&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4\\ w_5\\ w_6\\ w_7\\ w_8\end{bmatrix} \tag{5.31}$

读法：每一行给出一个分量是哪几个张力的线性组合，每个 $c_{ij}$ 是标定出来的系数。重构由传感器中可用的信号处理电路完成；工程上系数通常由厂商标定给出，用户不自己标。

为什么需要它：因为完全解耦做不到——因此所需的明显变形数（8）要大于 6 个待求分量。矩阵的稀疏结构（每行少数几个非零）正是「尽可能解耦」的结果。

八个张力怎么变成六个分量？答案是一个标定出来的矩阵。 把张力测量值与固连于传感器上的坐标系 $s$ 上的力的分量联系起来的矩阵，称为传感器校准矩阵（sensor calibration matrix）。令 $w_i,\ i=1,\dots,8$ 表示八个电桥的输出信号，则（教材式 5.31）：

$\begin{bmatrix}f^s_x\ f^s_y\ f^s_z\ \mu^s_x\ \mu^s_y\ \mu^s_z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&0&c_{13}&0&0&0&c_{17}&0\ c_{21}&0&0&0&c_{25}&0&0&0\ 0&c_{32}&0&c_{34}&0&c_{36}&0&c_{38}\ 0&0&0&0&c_{44}&0&0&c_{48}\ 0&c_{52}&0&0&0&c_{56}&0&0\ c_{61}&0&c_{63}&0&c_{65}&0&c_{67}&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}w_1\ w_2\ w_3\ w_4\ w_5\ w_6\ w_7\ w_8\end{bmatrix}$

读这个矩阵的方法：每一行给出一个分量是哪几个张力的线性组合，每个 $c_{ij}$ 是标定出来的系数。老师的两个例子（02:07:58–02:08:32）：

$f^s_x$ 只看第 1 行： $f^s_x=c_{13}w_3+c_{17}w_7$ ——「它就（与）这个数和这个数 $w_3$ （有关）……再相加，就得到了 $x$ 方向的力」；
$\mu^s_z$ 看最后一行： $\mu^s_z=c_{61}w_1+c_{63}w_3+c_{65}w_5+c_{67}w_7$ ——「这一方向的矩，（与）一、三、五、七（号张力计有关）」。

谁来算：通过校准矩阵实现力测量信息的重构，由传感器中可用的信号处理电路完成（教材 §5.4.1）。老师 02:08:39 补了一句工程现实：「咱们一般也不是自己（标定），主要是用这种（成品传感器）」，系数由厂商给出。

典型指标（教材 §5.4.1）：传感器直径约 10 cm、高约 5 cm；力的测量范围 50 N 到 500 N，转矩 5 N·m 到 70 N·m；分辨率分别为最大力的 0.1% 与最大转矩的 0.05%；信号处理电路输出端的采样频率为 1 kHz。

课堂幻灯片 · 02:06:58：5.4.1 力传感器——马耳他十字力传感器的示意性表示（4 个棒、8 个张力计桥臂）与式 5.31 的传感器校准矩阵，右下角为直径/高度/量程/分辨率/采样频率等典型指标

5.4.1.4 从传感器坐标系到约束坐标系：等价力/力矩

到这里，六个数已经算出来了。但教材紧接着泼了一盆冷水：

力传感器的测量值不能被直接应用于力/运动控制算法，原因在于测量信息表征的是作用在传感器上的等价力，但是它与作用在机械手末端执行器上的力是不同的。

差别从哪来？参考点与参考方向不同。传感器有它自己的坐标系 $s$ （六个数都写在 $s$ 里），而真正要做力控制的是接触点附近的那个坐标系——教材称约束坐标系 $c$ （第 9 章正式引入）。同一个力系，在 $s$ 里是一组分量，在 $c$ 里是另一组分量，两者之间要靠一个坐标变换沟通：

方法 5.4.B · 传感器坐标系 → 约束坐标系的等价力/力矩变换

由两坐标系间的力变换关系（教材式 3.116），得到力传感器要用的结论（式 5.32）：

$\begin{bmatrix}f^c_c\\ \mu^c_c\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}R^c_s & O\\ S(r^c_{cs})R^c_s & R^c_s\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f^s_s\\ \mu^s_s\end{bmatrix}$

要准备哪两个量（两者都在坐标系 $c$ 中表示）：

$r^c_{cs}$ ：坐标系 $s$ 的原点在坐标系 $c$ 中的位置；
$R^c_s$ ：坐标系 $s$ 相对于坐标系 $c$ 的方位。

与 3.8.2 的对偶结构对照：平移块 $S(r^c_{cs})R^c_s$ 与旋转块 $R^c_s$ 的搭配，和那里「速度变换的转置 = 力变换」是同一套结构——同一条对偶，换了两个坐标系重新出现。力矩那一行分两项读：旋转项 $R^c_s\mu^s_s$ （把力矩的方向转过去）加平移迁移项 $S(r^c_{cs})R^c_s f^s_s$ （把力挪一个新的参考点，附加的力偶）。

一条使用条件（教材特意点明）： $r^c_{cs}$ 与 $R^c_s$ 这两个量「只有当末端执行器是静止的时候两个参数才保持恒定不变」——一旦末端在动，参考系本身在变，变换就要跟着更新。

老师 02:09:24 把这条变换放回了知识的坐标里：「所有的测量其实都是相对于（它）自己的坐标系的」——因为出厂时不知道你要怎么用。到第 9 章会引入约束坐标系：「所有的工件和（环境）之间的接触就是有约束的，包括人工约束和自然约束」，一般需要在那个坐标系里表示力或计算力。至于怎么换算，他直接指回了第三章的对偶：「就是用（前面）给大家提的那个叫广义雅可比矩阵，或者是广义雅可比矩阵的转置……这也是有对偶关系」（02:10:23）——「我们只要知道这两个空间之间的相对姿态关系和相对位置关系，那么……就可以得到同一个力在两个空间的转换」（02:11:07）。

例题 5.4.C · 接触情形下的等价力与力矩（作业 5.6 的算例）

已知图 5.16 所示的接触情形中，传感器坐标系 $s$ 相对约束坐标系 $c$ 的位置与方位，以及力传感器的测量值：

$r^c_{cs}=\begin{bmatrix}-0.3\\0\\0.2\end{bmatrix}\mathrm{m},\qquad R^c_s=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix},\qquad f^s_s=\begin{bmatrix}20\\0\\0\end{bmatrix}\mathrm{N},\qquad \mu^s_s=\begin{bmatrix}0\\6\\0\end{bmatrix}\mathrm{N\cdot m}$

求接触坐标系下的等价力与力矩。

解：代入方法 5.4.B 的变换式。先算力（只有旋转块）：

$f^c_c=R^c_sf^s_s=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}20\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\20\end{bmatrix}\mathrm{N}$

再算力矩，两项分开写（ $S(r^c_{cs})=\begin{bmatrix}0&-0.2&0\\0.2&0&0.3\\0&-0.3&0\end{bmatrix}$ ）：

$S(r^c_{cs})R^c_sf^s_s=\begin{bmatrix}0&-0.2&0\\0.2&0&0.3\\0&-0.3&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\20\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\6\\0\end{bmatrix}\mathrm{N\cdot m},\qquad R^c_s\mu^s_s=\begin{bmatrix}0\\-6\\0\end{bmatrix}\mathrm{N\cdot m}$

$\mu^c_c=\begin{bmatrix}0\\6\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\-6\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\mathrm{N\cdot m}$

结果怎么读：接触坐标系下的等效力是 20 N（沿 $c$ 的 $z$ 轴），等价力矩为零——平移迁移项与旋转项恰好互相抵消。物理含义是： $s$ 系里那「20 N 的力 + 6 N·m 的力偶」这两个分量，与 $c$ 系里「一个过原点的纯力」描述的是同一个力系，只是写法不同；等价力矩为零说明这个力的作用线恰好穿过 $c$ 系的原点。

考点 · 老师原话（录播时间点）

测量链是一条可以逐段标定的关系。 「力作用在张力敏感元件上……张力敏感元件会产生应变……我们认为它的应变跟张力敏感元件上的应变是一样的」（02:01:05–02:01:18）。

不直接用一个张力计的读数。 「为了更准确地测量，我们不直接测量一个张力计的读数，我们一般把它接到（电桥）」（02:02:00–02:02:11）——「当不发生（应变）的时候，电桥平衡，就是输出是零；当我们发生（应变）的时候……电桥是有输出」（02:02:24–02:02:41）。

温度与灵敏度各靠一个「外加的张力计」。 「温度会影响金属丝的电阻（和电压）……其实我们可以再加一个（张力计），接到这个相邻的臂上，但是呢，这个相邻的臂上它不贴在有应变的地方……那么温度（引起的变化）就可以通过这个（电桥）减掉了」（02:02:50–02:03:26）；提高灵敏度则「一般可以用两个张力计来配合使用」（02:03:31）。

梁的上下。 「比如说一个梁，它受这样一个（弯）……那上面其实是受拉的，下面是受压的，那我们其实可以上面贴一个，下面贴一个」（02:03:44–02:03:55）。

完全解耦做不到。 「最好的情况下，就是我测六个分量，每个分量对应一个张力计的（电桥）……但实际的过程中，不可能完全（解耦）」「目前没有人设计出来这种完全解耦的一种结构」（02:06:24–02:06:41）。

测量永远是相对自己的坐标系。 「所有的测量其实都是相对于（它）自己的坐标系的，因为我们不知道实际应用的情况是什么样的」（02:09:26–02:09:37）；「在第 9 章大家会（接触）到一个约束坐标系」（02:09:40）。

默写点 · 合上书再写（主动回忆）

「力 → 张力 → 电阻 → 电压」这条链上，各环节的物理关系是什么？为什么张力计要嵌入惠斯通电桥而不是直接测电阻？
温度补偿与提高灵敏度各自的办法是什么？为什么都要求「再加一个张力计」？
轴转矩传感器的中空转轴为什么必须低抗扭刚度 + 高抗弯刚度？它测到的力矩为什么不等于 $C_m$ ？
腕力传感器的 8 个张力如何变成 6 个分量？写出式（5.32），并说出它成立的附加条件。

核对

力作用在可扩张元件（弹性体）上产生张力/应变；粘合其上的低温度系数金属丝随之变形，尺寸变化导致电阻 $R_s$ 变化（在容许张力范围内线性）；张力计嵌入惠斯通电桥的一个桥臂，电桥无应力时平衡，有应力时输出与 $R_s$ 的变化相关——所以测的是电压而不是直接测电阻（直接测电阻既受引线/接触电阻干扰，也难以做到高灵敏度与线性）。

温度补偿：在电桥相邻臂再嵌一个张力计，粘在不受张力作用的部位，两个张力计同处一个温度环境，温度引起的电阻变化在电桥里相减抵消。提高灵敏度：用两个张力计，一个受拉、一个受压，贴在可扩展元件上并嵌入相邻两臂，两路应变符号相反 ⇒ 输出变化相加（梁的上下表面正是这种情形）。

低抗扭刚度：扭转时产生足够大的、可被张力计读出的变形；高抗弯刚度：把弯曲变形压小，保证电阻变化由扭转引起而不是弯曲引起（应变片一般按 45° 粘贴、对准主应力方向）。这样测出的是伺服器传到关节的力矩，它没有计入惯性和摩擦力矩，也没有计入测量点上游传动装置的作用，因此与执行系统框图里的驱动力矩 $C_m$ 不一致。

八个电桥输出 $w_1,\dots,w_8$ 经传感器校准矩阵 $C$ （式 5.31）线性组合成 6 个分量： $[f^s_x,f^s_y,f^s_z,\mu^s_x,\mu^s_y,\mu^s_z]^{\mathrm T}=C[w_1,\dots,w_8]^{\mathrm T}$ ，每一行说明该分量由哪几个张力决定（如 $f^s_x=c_{13}w_3+c_{17}w_7$ 、 $\mu^s_z=c_{61}w_1+c_{63}w_3+c_{65}w_5+c_{67}w_7$ ），重构由传感器自带的信号处理电路完成。

$\begin{bmatrix}f^c_c\\ \mu^c_c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R^c_s & O\\ S(r^c_{cs})R^c_s & R^c_s\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f^s_s\\ \mu^s_s\end{bmatrix}$

其中 $r^c_{cs}$ 是 $s$ 的原点在 $c$ 中的位置、 $R^c_s$ 是 $s$ 相对 $c$ 的方位（两者都在 $c$ 中表示）。附加条件：这两个量只有在末端执行器静止时才保持不变。

5.4.1 小结与常见错误

一条测量链：力 ⇒ 可扩张元件的张力/应变 ⇒ 张力计金属丝的电阻变化 ⇒ 惠斯通电桥的电压输出（式 5.30）；温度补偿与灵敏度靠第二个张力计（相邻臂 / 一拉一压）。
两种直接测量：轴转矩传感器（中空转轴：低抗扭、高抗弯、45° 粘贴、电刷—集电环引信号；口径 ≠ $C_m$ ）；腕力传感器（六维、马耳他十字、8 张力 → 校准矩阵式 5.31 → 6 分量，典型量程 50–500 N / 5–70 N·m，1 kHz 采样）。
一步变换：测量值写在传感器坐标系 $s$ 里，要用于控制必须换到约束坐标系 $c$ （式 5.32）；平移迁移项与旋转项各司其职，且 $r^c_{cs}$ 、 $R^c_s$ 只在末端静止时不变。

常见错误清单 · 自查三条

把张力计当成「传感器」的全部——它只是一个桥臂元件；真正的输出要靠电桥 + 标定（力传感器的基本组成才是张力计，但测量系统远不止它）。
认为测到的力/力矩可以直接用——测量值是相对传感器坐标系的等价力/力矩，与末端执行器上的力不同；必须变换到约束坐标系（式 5.32）。
算变换时漏掉平移迁移项 $S(r^c_{cs})R^c_s f^s_s$ ——力的参考点一挪，就会多出一个力偶；漏掉它，力矩至少错一项（例题 5.4.C 里这一项恰好与旋转项等值反向，是被数据「藏起来」了，不是没有）。